Giải Toán 7 - Tập 2 trang 21
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 21–22
BÀI TẬP
Bài 6.27
Đề bài: Các giá trị của hai đại lượng x và y được cho bởi bảng sau đây:
| x | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 2,5 | 5 | 7,5 | 10 | 12,5 |
Hỏi hai đại lượng x và y có quan hệ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch không? Viết công thức liên hệ giữa x và y.
Cách 1 — Kiểm tra tỉ lệ thuận
Bước 1: Nhắc lại lý thuyết
- Hai đại lượng tỉ lệ thuận khi tỉ số y/x luôn không đổi (y = k × x)
- Hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi tích x × y luôn không đổi (x × y = k)
Bước 2: Kiểm tra tỉ số y/x
- Khi x = 0,5 và y = 2,5: y/x = 2,5/0,5 = 5
- Khi x = 1 và y = 5: y/x = 5/1 = 5
- Khi x = 1,5 và y = 7,5: y/x = 7,5/1,5 = 5
- Khi x = 2 và y = 10: y/x = 10/2 = 5
- Khi x = 2,5 và y = 12,5: y/x = 12,5/2,5 = 5
Bước 3: Kết luận
Tỉ số y/x = 5 không đổi với mọi cặp giá trị.
Đáp án: Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau. Công thức liên hệ: y = 5x (hoặc y/x = 5)
Cách 2 — Kiểm tra tỉ lệ nghịch để loại trừ
Bước 1: Tính tích x × y
- 0,5 × 2,5 = 1,25
- 1 × 5 = 5
- 1,5 × 7,5 = 11,25
- 2 × 10 = 20
- 2,5 × 12,5 = 31,25
Bước 2: Nhận xét
Tích x × y thay đổi (1,25 ≠ 5 ≠ 11,25...) nên không phải tỉ lệ nghịch.
Kết hợp với Cách 1, ta khẳng định x và y tỉ lệ thuận.
💡 Mẹo nhớ: - Tỉ lệ thuận: "Thương không đổi" (y/x = k) - Tỉ lệ nghịch: "Tích không đổi" (x × y = k)
Bài 6.28
Đề bài: Cho ba đại lượng x, y, z. Tìm mối quan hệ giữa hai đại lượng x và z, biết rằng:
a) x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ thuận;
b) x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ nghịch;
c) x và y tỉ lệ nghịch, y và z tỉ lệ nghịch.
Cách giải
Phần a) x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ thuận
- x và y tỉ lệ thuận: y = k₁ × x (k₁ là hằng số)
- y và z tỉ lệ thuận: z = k₂ × y (k₂ là hằng số)
Thay y = k₁ × x vào z = k₂ × y:
z = k₂ × (k₁ × x) = (k₁ × k₂) × x
Đặt k = k₁ × k₂, ta có: z = k × x
Đáp án a: x và z tỉ lệ thuận với nhau.
Phần b) x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ nghịch
- x và y tỉ lệ thuận: y = k₁ × x
- y và z tỉ lệ nghịch: y × z = k₂ (hay z = k₂/y)
Thay y = k₁ × x vào y × z = k₂:
(k₁ × x) × z = k₂
x × z = k₂/k₁
Đặt k = k₂/k₁, ta có: x × z = k (hằng số)
Đáp án b: x và z tỉ lệ nghịch với nhau.
Phần c) x và y tỉ lệ nghịch, y và z tỉ lệ nghịch
- x và y tỉ lệ nghịch: x × y = k₁ (hay y = k₁/x)
- y và z tỉ lệ nghịch: y × z = k₂ (hay z = k₂/y)
Thay y = k₁/x vào z = k₂/y:
z = k₂/(k₁/x) = k₂ × x/k₁ = (k₂/k₁) × x
Đặt k = k₂/k₁, ta có: z = k × x
Đáp án c: x và z tỉ lệ thuận với nhau.
💡 Mẹo nhớ: - Thuận × Thuận = Thuận - Thuận × Nghịch = Nghịch - Nghịch × Nghịch = Thuận (Giống quy tắc nhân dấu: cùng dấu được dương, khác dấu được âm)
Bài 6.29
Đề bài: Để thu được một loại đồng thau, người ta pha chế đồng và kẽm nguyên chất theo tỉ lệ 6 : 4. Tính khối lượng đồng và kẽm nguyên chất cần thiết để sản xuất 150 kg đồng thau.
Cách 1 — Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Bước 1: Gọi ẩn
Gọi khối lượng đồng là a (kg), khối lượng kẽm là b (kg).
Bước 2: Lập tỉ lệ thức
Theo đề bài: a/6 = b/4
Tổng khối lượng: a + b = 150 (kg)
Bước 3: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
a/6 = b/4 = (a + b)/(6 + 4) = 150/10 = 15
Bước 4: Tính từng đại lượng
- a = 15 × 6 = 90 (kg)
- b = 15 × 4 = 60 (kg)
Bước 5: Kiểm tra
90 + 60 = 150 ✓
Đáp án: Cần 90 kg đồng và 60 kg kẽm nguyên chất.
Cách 2 — Tính theo phần
Bước 1: Tính tổng số phần
Tỉ lệ đồng : kẽm = 6 : 4
Tổng số phần = 6 + 4 = 10 (phần)
Bước 2: Tính giá trị mỗi phần
Mỗi phần = 150/10 = 15 (kg)
Bước 3: Tính khối lượng từng chất
- Đồng: 6 × 15 = 90 (kg)
- Kẽm: 4 × 15 = 60 (kg)
💡 Mẹo bấm máy: Bấm 150 ÷ (6+4) × 6 = để tính khối lượng đồng.
Bài 6.30
Đề bài: Với thời gian để một thợ lành nghề làm được 12 sản phẩm thì người thợ học việc chỉ làm được 8 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 48 giờ?
Cách 1 — Tính năng suất rồi suy ra thời gian
Bước 1: Phân tích đề bài
Trong cùng một khoảng thời gian:
- Thợ lành nghề làm được: 12 sản phẩm
- Thợ học việc làm được: 8 sản phẩm
Bước 2: Tính số sản phẩm thợ lành nghề làm trong 48 giờ
Gọi t là thời gian để thợ lành nghề làm 12 sản phẩm.
Trong 48 giờ, thợ lành nghề làm được: (12/t) × 48 sản phẩm
Bước 3: Tìm tỉ lệ năng suất
Năng suất thợ lành nghề : Năng suất thợ học việc = 12 : 8 = 3 : 2
Bước 4: Sử dụng tỉ lệ nghịch
Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch (cùng khối lượng công việc).
Thời gian thợ lành nghề : Thời gian thợ học việc = 2 : 3
Bước 5: Tính thời gian thợ học việc
Thời gian thợ học việc = 48 × (3/2) = 72 (giờ)
Đáp án: Người thợ học việc cần 72 giờ.
Cách 2 — Quy về cùng số sản phẩm
Bước 1: Tính số sản phẩm thợ lành nghề làm trong 48 giờ
Gọi t là thời gian để thợ lành nghề làm 12 sản phẩm.
Trong thời gian t: thợ lành nghề làm 12 sp, thợ học việc làm 8 sp.
Trong 48 giờ, thợ lành nghề làm được số sản phẩm gấp (48/t) lần so với t giờ.
Bước 2: Lập tỉ lệ
Để làm cùng số sản phẩm:
- Thợ lành nghề cần: 48 giờ
- Thợ học việc cần: x giờ
Vì năng suất tỉ lệ nghịch với thời gian:
8/12 = 48/x
x = 48 × 12/8 = 72 (giờ)
💡 Mẹo nhớ: Năng suất cao → thời gian ít (tỉ lệ nghịch)
Bài 6.31
Đề bài: Học sinh khối lớp 7 đã quyên góp được một số sách nộp cho thư viện. Sĩ số của các lớp 7A, 7B, 7C, 7D tương ứng là 38; 39; 40 và 40 em. Biết rằng số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh của lớp và lớp 7D góp được nhiều hơn lớp 7A là 4 quyển sách. Hỏi mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển sách?
Cách giải
Bước 1: Gọi ẩn
Gọi số sách lớp 7A, 7B, 7C, 7D quyên góp lần lượt là a, b, c, d (quyển).
Bước 2: Lập tỉ lệ thức
Số sách tỉ lệ với số học sinh nên:
a/38 = b/39 = c/40 = d/40
Bước 3: Sử dụng điều kiện
Lớp 7D góp nhiều hơn lớp 7A là 4 quyển:
d - a = 4
Bước 4: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
a/38 = d/40 = (d - a)/(40 - 38) = 4/2 = 2
Bước 5: Tính số sách mỗi lớp
- a = 2 × 38 = 76 (quyển)
- b = 2 × 39 = 78 (quyển)
- c = 2 × 40 = 80 (quyển)
- d = 2 × 40 = 80 (quyển)
Bước 6: Kiểm tra
d - a = 80 - 76 = 4 ✓
Đáp án: - Lớp 7A: 76 quyển - Lớp 7B: 78 quyển - Lớp 7C: 80 quyển - Lớp 7D: 80 quyển
Bài 6.32
Đề bài: Thư viện của một trường Trung học cơ sở mua ba đầu sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8, tổng cộng 121 cuốn. Giá của mỗi cuốn sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8 lần lượt là 40 nghìn đồng, 45 nghìn đồng và 50 nghìn đồng. Hỏi thư viện đó mua bao nhiêu cuốn sách tham khảo môn Toán mỗi loại, biết rằng số tiền dùng để mua mỗi loại sách đó là như nhau?
Cách giải
Bước 1: Gọi ẩn
Gọi số sách Toán lớp 6, 7, 8 lần lượt là a, b, c (cuốn).
Bước 2: Phân tích điều kiện
Số tiền mua mỗi loại sách bằng nhau:
- Tiền mua sách lớp 6: 40a (nghìn đồng)
- Tiền mua sách lớp 7: 45b (nghìn đồng)
- Tiền mua sách lớp 8: 50c (nghìn đồng)
Ta có: 40a = 45b = 50c
Bước 3: Tìm tỉ lệ
Từ 40a = 45b = 50c, chia cả ba cho BCNN(40, 45, 50) = 1800:
40a = 45b = 50c
Chia cho 40, 45, 50:
a/(1/40) = b/(1/45) = c/(1/50)
Hay: a/45 = b/40 = c/36 (nhân chéo để đơn giản)
Giải thích: Từ 40a = 45b → a/b = 45/40 = 9/8
Từ 45b = 50c → b/c = 50/45 = 10/9
Quy đồng: a : b : c = 45 : 40 : 36
Bước 4: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
a/45 = b/40 = c/36 = (a + b + c)/(45 + 40 + 36) = 121/121 = 1
Bước 5: Tính số sách mỗi loại
- a = 1 × 45 = 45 (cuốn)
- b = 1 × 40 = 40 (cuốn)
- c = 1 × 36 = 36 (cuốn)
Bước 6: Kiểm tra
- Tổng: 45 + 40 + 36 = 121 ✓
- Tiền: 40 × 45 = 45 × 40 = 50 × 36 = 1800 (nghìn đồng) ✓
Đáp án: - Sách Toán lớp 6: 45 cuốn - Sách Toán lớp 7: 40 cuốn - Sách Toán lớp 8: 36 cuốn
💡 Mẹo nhớ: Giá cao → mua ít cuốn (số sách tỉ lệ nghịch với giá khi tổng tiền bằng nhau)
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
Bài 6.33
Đề bài: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số sau: 0,2; 0,3; 0,8; 1,2.
Cách giải
Bước 1: Kiểm tra điều kiện lập tỉ lệ thức
Bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức a/b = c/d khi và chỉ khi a × d = b × c (tích ngoại = tích trung).
Bước 2: Tính các tích có thể
- 0,2 × 1,2 = 0,24
- 0,3 × 0,8 = 0,24
Ta thấy: 0,2 × 1,2 = 0,3 × 0,8 = 0,24
Bước 3: Lập các tỉ lệ thức
Từ 0,2 × 1,2 = 0,3 × 0,8, ta có các tỉ lệ thức:
- 0,2/0,3 = 0,8/1,2
- 0,2/0,8 = 0,3/1,2
- 0,3/0,2 = 1,2/0,8
- 0,8/0,2 = 1,2/0,3
- 1,2/0,8 = 0,3/0,2
- 1,2/0,3 = 0,8/0,2
- 0,3/1,2 = 0,2/0,8
- 0,8/1,2 = 0,2/0,3
Đáp án: Có 8 tỉ lệ thức có thể lập được: - 0,2/0,3 = 0,8/1,2 - 0,2/0,8 = 0,3/1,2 - 0,3/0,2 = 1,2/0,8 - 0,8/0,2 = 1,2/0,3 - 1,2/0,8 = 0,3/0,2 - 1,2/0,3 = 0,8/0,2 - 0,3/1,2 = 0,2/0,8 - 0,8/1,2 = 0,2/0,3
💡 Mẹo nhớ: Từ một đẳng thức tích (ad = bc), ta lập được 8 tỉ lệ thức bằng cách hoán vị.
Bài 6.34
Đề bài: Tìm thành phần chưa biết x trong tỉ lệ thức: x/2,5 = 10/15.
Cách 1 — Dùng tính chất tỉ lệ thức
Bước 1: Áp dụng tính chất
Trong tỉ lệ thức a/b = c/d, ta có: a = b × c/d
Bước 2: Tính x
x = 2,5 × 10/15
x = 25/15
x = 5/3 ≈ 1,67
Bước 3: Rút gọn
x = 5/3 (hoặc x = 1 2/3)
Đáp án: x = 5/3 (hoặc x ≈ 1,67)
Cách 2 — Rút gọn trước khi tính
Bước 1: Rút gọn vế phải
10/15 = 2/3
Bước 2: Giải tỉ lệ thức
x/2,5 = 2/3
x = 2,5 × 2/3 = 5/3
💡 Mẹo bấm máy: Bấm 2.5 × 10 ÷ 15 = được kết quả 5/3.
Bài 6.35
Đề bài: Từ tỉ lệ thức a/b = c/d (với a, b, c, d khác 0) có thể suy ra những tỉ lệ thức nào?
Cách giải
Bước 1: Nhắc lại tính chất của tỉ lệ thức
Từ a/b = c/d, ta có: a × d = b × c (tích ngoại = tích trung)
Bước 2: Liệt kê các tỉ lệ thức suy ra được
Hoán vị ngoại - trung:
- a/c = b/d
- d/b = c/a
Nghịch đảo:
- b/a = d/c
Hoán vị cả hai vế:
- c/d = a/b
- d/c = b/a
- c/a = d/b
- b/d = a/c
Tính chất cộng/trừ tỉ lệ:
- (a + b)/b = (c + d)/d
- (a - b)/b = (c - d)/d
- (a + b)/(a - b) = (c + d)/(c - d) (nếu a ≠ b, c ≠ d)
- a/(a + b) = c/(c + d)
- a/(a - b) = c/(c - d)
Đáp án: Từ tỉ lệ thức a/b = c/d, có thể suy ra các tỉ lệ thức: - a/c = b/d - d/b = c/a - b/a = d/c - (a + b)/b = (c + d)/d - (a - b)/b = (c - d)/d - Và nhiều tỉ lệ thức khác theo tính chất hoán vị và cộng tỉ lệ.
Bài 6.36
Đề bài: Inch (đọc là in-sơ và viết tắt là in) là tên của một đơn vị đo chiều dài trong Hệ đo lường Mỹ. Biết rằng 1 in = 2,54 cm.
a) Hỏi một người cao 170 cm sẽ có chiều cao là bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
b) Chiều cao của một người tính theo xentimét có tỉ lệ thuận với chiều cao của người đó tính theo inch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Cách giải
Phần a)
Bước 1: Lập công thức đổi đơn vị
1 in = 2,54 cm
Suy ra: 1 cm = 1/2,54 in
Bước 2: Tính chiều cao theo inch
Chiều cao = 170 × (1/2,54) = 170/2,54 ≈ 66,93 (in)
Bước 3: Làm tròn đến hàng đơn vị
66,93 ≈ 67 (in)
Đáp án a: Người đó cao khoảng 67 inch.
💡 Mẹo bấm máy: Bấm 170 ÷ 2.54 = được 66,929...
Phần b)
Bước 1: Phân tích mối quan hệ
Gọi chiều cao tính theo cm là h (cm), chiều cao tính theo inch là x (in).
Ta có: h = 2,54 × x
Bước 2: Nhận xét
Công thức h = 2,54 × x có dạng y = k × x với k = 2,54.
Đây là công thức của hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Đáp án b: - Có, chiều cao tính theo cm tỉ lệ thuận với chiều cao tính theo inch. - Hệ số tỉ lệ k = 2,54
Bài 6.37
Đề bài: Số đo ba góc A, B, C của tam giác ABC tỉ lệ với 5; 6; 7. Tính số đo ba góc của tam giác đó.
Cách 1 — Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Bước 1: Gọi ẩn và lập tỉ lệ
Gọi số đo góc A, B, C lần lượt là a, b, c (độ).
Ta có: a/5 = b/6 = c/7
Bước 2: Sử dụng tổng ba góc trong tam giác
a + b + c = 180°
Bước 3: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
a/5 = b/6 = c/7 = (a + b + c)/(5 + 6 + 7) = 180/18 = 10
Bước 4: Tính số đo mỗi góc
- a = 10 × 5 = 50°
- b = 10 × 6 = 60°
- c = 10 × 7 = 70°
Bước 5: Kiểm tra
50° + 60° + 70° = 180° ✓
Đáp án: - Góc A = 50° - Góc B = 60° - Góc C = 70°
Cách 2 — Tính theo phần
Tổng số phần = 5 + 6 + 7 = 18 (phần)
Mỗi phần = 180°/18 = 10°
- Góc A = 5 × 10° = 50°
- Góc B = 6 × 10° = 60°
- Góc C = 7 × 10° = 70°
💡 Mẹo nhớ: Tổng ba góc trong tam giác luôn bằng 180°.
Bài 6.38
Đề bài: Ba đội công nhân làm đường được giao ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 5 ngày và đội thứ ba trong 6 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai là 3 người và năng suất của các công nhân là như nhau trong suốt quá trình làm việc.
Cách giải
Bước 1: Phân tích đề bài
- Ba đội làm cùng khối lượng công việc