Giải Toán 7 - Tập 1 trang 29

Bài 6: SỐ VÔ TỈ. CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

---

Hoạt động 1 (HĐ1)

Đề bài: Cắt một hình vuông có cạnh bằng 2 dm, rồi cắt nó thành bốn tam giác vuông bằng nhau dọc theo hai đường chéo của hình vuông (H.2.2a).

Cách giải

Bước 1: Vẽ hình vuông ABCD có cạnh 2 dm.

Bước 2: Vẽ hai đường chéo AC và BD. Hai đường chéo này cắt nhau tại tâm O của hình vuông.

Bước 3: Cắt theo hai đường chéo, ta được 4 tam giác vuông cân bằng nhau:

• Tam giác AOB
• Tam giác BOC
• Tam giác COD
• Tam giác DOA

Kết quả: Ta thu được 4 tam giác vuông cân bằng nhau, mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông bằng nhau và bằng một nửa đường chéo của hình vuông ban đầu.

---

Hoạt động 2 (HĐ2)

Đề bài: Lấy hai trong bốn tam giác nhận được ở trên ghép thành một hình vuông (H.2.2b). Em hãy tính diện tích hình vuông nhận được.

Cách giải

Phân tích:

• Hình vuông ban đầu có cạnh 2 dm nên diện tích là: $S_1 = 2 \times 2 = 4 \text{ dm}^2$
• Hình vuông ban đầu được chia thành 4 tam giác bằng nhau
• Mỗi tam giác có diện tích: $\dfrac{4}{4} = 1 \text{ dm}^2$

Tính diện tích hình vuông mới:

Ghép 2 tam giác lại thành hình vuông mới, ta có:

$$S = 2 \times 1 = 2 \text{ dm}^2$$

Đáp án: Diện tích hình vuông nhận được bằng 2 dm².

---

Hoạt động 3 (HĐ3)

Đề bài: Dùng thước có vạch chia để đo độ dài cạnh hình vuông nhận được trong HĐ2. Độ dài cạnh hình vuông này bằng bao nhiêu đêximét?

Cách giải

Phân tích:

• Gọi cạnh hình vuông mới là $x$ (dm), với $x > 0$
• Diện tích hình vuông: $S = x^2 = 2 \text{ dm}^2$

Nhận xét:

• Ta cần tìm số $x$ sao cho $x^2 = 2$
• Khi đo bằng thước, ta được giá trị xấp xỉ khoảng 1,41 dm hoặc 1,414 dm

Đáp án: Độ dài cạnh hình vuông xấp xỉ 1,41 dm (hay chính xác là $\sqrt{2}$ dm ≈ 1,414 dm).

💡 Mẹo nhớ: Số $\sqrt{2}$ ≈ 1,414 — nhớ "một bốn một bốn" như số đối xứng!

---

Vận dụng 1

Đề bài: Người xưa đã tính đường kính thân cây theo quy tắc "quân bát, phát tam, tổn ngũ, quân nhị", tức là lấy chu vi thân cây chia làm 8 phần bằng nhau (quân bát); bớt đi ba phần (phát tam) còn lại 5 phần (tổn ngũ) rồi chia đôi kết quả (quân nhị). Hãy cho biết người xưa đã ước lượng số π bằng bao nhiêu.

Cách giải

Phân tích đề bài:

• Gọi chu vi thân cây là $C$
• Đường kính thân cây là $d$
• Ta có công thức: $C = \pi \times d$, suy ra $d = \dfrac{C}{\pi}$

Theo quy tắc người xưa:

Bước 1: Chia chu vi làm 8 phần bằng nhau
$$\text{Mỗi phần} = \dfrac{C}{8}$$

Bước 2: Bớt đi 3 phần, còn lại 5 phần
$$\text{Còn lại} = 5 \times \dfrac{C}{8} = \dfrac{5C}{8}$$

Bước 3: Chia đôi kết quả
$$d = \dfrac{5C}{8} \div 2 = \dfrac{5C}{16}$$

So sánh với công thức chuẩn:

Từ $C = \pi \times d$, ta có: $d = \dfrac{C}{\pi}$

Theo người xưa: $d = \dfrac{5C}{16} = \dfrac{C}{\frac{16}{5}}$

Suy ra: $\pi = \dfrac{16}{5} = 3,2$

Đáp án: Người xưa đã ước lượng số π bằng 3,2 (hay $\dfrac{16}{5}$).

💡 Nhận xét: Giá trị này khá gần với π ≈ 3,14159... Sai số khoảng 1,9%.

---

Ví dụ 2

Đề bài: Tính:

• a) $\sqrt{100}$
• b) $\sqrt{191^2}$
• c) $\sqrt{21{,}5^2}$

Cách giải

a) Tính $\sqrt{100}$

Ta có: $10^2 = 100$ và $10 > 0$

Vậy $\sqrt{100} = 10$

Đáp án: $\sqrt{100} = \textbf{10}$

---

b) Tính $\sqrt{191^2}$

Vì $191 > 0$ nên theo định nghĩa căn bậc hai số học:

$$\sqrt{191^2} = 191$$

Đáp án: $\sqrt{191^2} = \textbf{191}$

---

c) Tính $\sqrt{21{,}5^2}$

Vì $21{,}5 > 0$ nên:

$$\sqrt{21{,}5^2} = 21{,}5$$

Đáp án: $\sqrt{21{,}5^2} = \textbf{21,5}$

💡 Mẹo nhớ: Với mọi số $a \geq 0$: $\sqrt{a^2} = a$ (căn bình phương của số không âm bằng chính nó)

---

Luyện tập 1

Đề bài: Tính:

• a) $\sqrt{16}$
• b) $\sqrt{81}$
• c) $\sqrt{2021^2}$

Cách 1 — Dùng định nghĩa căn bậc hai số học

a) Tính $\sqrt{16}$

Ta tìm số $x \geq 0$ sao cho $x^2 = 16$

Vì $4^2 = 16$ và $4 > 0$

Vậy $\sqrt{16} = 4$

Đáp án: $\sqrt{16} = \textbf{4}$

---

b) Tính $\sqrt{81}$

Ta tìm số $x \geq 0$ sao cho $x^2 = 81$

Vì $9^2 = 81$ và $9 > 0$

Vậy $\sqrt{81} = 9$

Đáp án: $\sqrt{81} = \textbf{9}$

---

c) Tính $\sqrt{2021^2}$

Vì $2021 > 0$ nên theo tính chất: $\sqrt{a^2} = a$ với $a \geq 0$

$$\sqrt{2021^2} = 2021$$

Đáp án: $\sqrt{2021^2} = \textbf{2021}$

Cách 2 — Bấm máy tính

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Câu a: Bấm √ → 16 → = → Kết quả: 4 - Câu b: Bấm √ → 81 → = → Kết quả: 9 - Câu c: Bấm √ → ( → 2021 → x² → ) → = → Kết quả: 2021

---

Vận dụng 2

Đề bài: Sàn thi đấu bộ môn cử tạ có dạng một hình vuông, diện tích 144 m². Em hãy tính chu vi của sàn thi đấu đó.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Tìm độ dài cạnh hình vuông

Gọi cạnh hình vuông là $a$ (m), với $a > 0$

Diện tích hình vuông: $S = a^2 = 144$

Ta cần tìm $a = \sqrt{144}$

Vì $12^2 = 144$ và $12 > 0$ nên $a = 12$ m

Bước 2: Tính chu vi hình vuông

$$P = 4 \times a = 4 \times 12 = 48 \text{ m}$$

Đáp án: Chu vi sàn thi đấu là 48 m.

Cách 2 — Công thức nhanh

Với hình vuông có diện tích $S$:

• Cạnh: $a = \sqrt{S}$
• Chu vi: $P = 4\sqrt{S}$

Áp dụng: $P = 4\sqrt{144} = 4 \times 12 = 48$ m

Đáp án: Chu vi sàn thi đấu là 48 m.

💡 Mẹo bấm máy: Bấm 4 → × → √ → 144 → = → Kết quả: 48

---

🎯 Ghi nhớ quan trọng

💡 Mẹo nhớ các số chính phương thường gặp: - $1^2 = 1$; $2^2 = 4$; $3^2 = 9$; $4^2 = 16$; $5^2 = 25$ - $6^2 = 36$; $7^2 = 49$; $8^2 = 64$; $9^2 = 81$; $10^2 = 100$ - $11^2 = 121$; $12^2 = 144$; $13^2 = 169$; $14^2 = 196$; $15^2 = 225$

💡 Tính chất quan trọng: Với mọi $a \geq 0$: $\sqrt{a^2} = a$