Giải Toán 7 - Tập 1 trang 57

Tóm tắt lý thuyết

Một định lí thường có dạng "Nếu... thì...":

• Phần "Nếu..." là giả thiết (viết tắt là GT) — những điều cho trước.
• Phần "thì..." là kết luận (viết tắt là KL) — điều cần suy ra.

Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết, suy ra được kết luận.

Trong sách đã chứng minh định lí "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau" dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song và tiên đề Euclid.

---

Luyện tập 1: Vẽ hình, viết GT – KL của định lí "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau"

Hình vẽ: Hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$, tạo thành hai cặp góc đối đỉnh. Trong đó $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_3}$ là một cặp góc đối đỉnh.

---

Luyện tập 2: Chứng minh "Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông"

GT – KL:

Chứng minh:

Vì $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$ là hai góc kề bù nên:

$$\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 180^\circ$$

Theo giả thiết $\widehat{xOz} = \widehat{zOy}$, thay vào ta được:

$$\widehat{xOz} + \widehat{xOz} = 180^\circ \;\Rightarrow\; 2\,\widehat{xOz} = 180^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{xOz} = 90^\circ$$

Suy ra $\widehat{zOy} = 90^\circ$. Vậy mỗi góc là một góc vuông.

---

Tranh luận: "Hai góc bằng nhau thì có đối đỉnh không?"

Trả lời: Khẳng định "hai góc bằng nhau thì đối đỉnh" là sai.

Cách bác bỏ: chỉ cần đưa ra một phản ví dụ. Chẳng hạn vẽ hai góc $\widehat{xOy} = 50^\circ$ và $\widehat{aIb} = 50^\circ$ ở hai vị trí khác nhau trên trang giấy. Hai góc này bằng nhau nhưng không đối đỉnh (vì không chung đỉnh, không có cặp tia đối nhau).

Như vậy bạn nói "điều đó không đúng" là chính xác, và cách khẳng định nó sai là nêu một phản ví dụ.

---

Bài 3.24

Đề: Có thể coi định lí "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song không? Suy ra như thế nào?

Giải:

Có thể suy ra trực tiếp được.

Gọi hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$. Khi đó $c$ cắt $a$ và $b$, tạo ra cặp góc đồng vị đều bằng $90^\circ$.

Hai góc đồng vị này bằng nhau (cùng bằng $90^\circ$). Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng mà tạo ra một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song), suy ra $a \parallel b$.

---

Bài 3.25

Đề: Hãy chứng minh định lí ở Ví dụ trang 56: "Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại". Trong chứng minh đó ta đã sử dụng những điều đúng đã biết nào?

GT – KL:

Chứng minh:

Vì $d \perp d'$ nên $d$ cắt $d'$, tạo với $d'$ một góc $90^\circ$.

Vì $d' \parallel d''$ và $d$ cắt $d'$ nên $d$ cũng cắt $d''$. Đường thẳng $d$ cắt hai đường thẳng song song $d'$, $d''$ nên hai góc đồng vị tạo thành bằng nhau.

Mà góc tạo bởi $d$ và $d'$ bằng $90^\circ$, nên góc đồng vị tương ứng tạo bởi $d$ và $d''$ cũng bằng $90^\circ$.

Vậy $d \perp d''$.

Những điều đúng đã sử dụng:

• Định lí: một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau.
• Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau tạo góc $90^\circ$).

---

Bài 3.26

Đề: Cho góc $xOy$ không phải là góc bẹt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(1) Nếu $Ot$ là tia phân giác của góc $xOy$ thì $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$.

(2) Nếu tia $Ot$ thỏa mãn $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$ thì $Ot$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Giải:

Khẳng định (1) đúng.

Theo định nghĩa, tia phân giác của một góc là tia chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Vậy nếu $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ thì hiển nhiên $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$.

Khẳng định (2) không đúng.

Điều kiện $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$ chưa đủ, vì tia $Ot$ phải nằm giữa hai tia $Ox$ và $Oy$ thì mới là tia phân giác.

Phản ví dụ (theo gợi ý: xét tia đối của tia phân giác):

Gọi $Om$ là tia phân giác thật của $\widehat{xOy}$, và $Ot$ là tia đối của $Om$. Khi đó:

• $\widehat{xOt}$ là góc kề bù với $\widehat{xOm}$.
• $\widehat{tOy}$ là góc kề bù với $\widehat{mOy}$.

Vì $\widehat{xOm} = \widehat{mOy}$ (do $Om$ là phân giác) nên hai góc kề bù tương ứng cũng bằng nhau:

$$\widehat{xOt} = 180^\circ - \widehat{xOm} = 180^\circ - \widehat{mOy} = \widehat{tOy}$$

Vậy $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$ nhưng tia $Ot$ không nằm giữa $Ox$ và $Oy$, nên $Ot$ không phải là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Kết luận: chỉ có khẳng định (1) đúng.

---

Điểm cần nhớ qua bài này: muốn chứng minh một mệnh đề sai, em chỉ cần một phản ví dụ; còn muốn khẳng định nó đúng thì phải chứng minh tổng quát.