Giải Toán 7 - Tập 1 trang 59
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 59–60
Tóm tắt lý thuyết ôn tập
Phần này ôn lại các kiến thức chính của chương về góc và đường thẳng song song:
- Hai góc kề bù có tổng bằng $180^\circ$.
- Tia phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng nửa góc ban đầu.
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: nếu hai góc so le trong bằng nhau (hoặc hai góc đồng vị bằng nhau) thì hai đường thẳng song song.
- Tính chất: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song; một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại.
Ví dụ (đã giải trong sách): Chứng minh "Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông". Kết quả: $\widehat{uOv}=\dfrac{1}{2}\cdot 180^\circ = 90^\circ$.
Bài 3.27: Tính các góc của hình thang
Đề: Cho hình thang $ABCD$ có cạnh $AD$ vuông góc với hai đáy $AB$ và $CD$. Số đo góc ở đỉnh $B$ gấp đôi số đo góc ở đỉnh $C$. Tính số đo các góc của hình thang.
Lời giải:
Vì $AD \perp AB$ và $AD \perp CD$ nên:
$$\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$$
Vì $AB$ và $CD$ là hai đáy của hình thang nên $AB \parallel CD$. Hai góc $B$ và $C$ là hai góc trong cùng phía, nên:
$$\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$
Theo đề $\widehat{B} = 2\widehat{C}$, thay vào:
$$2\widehat{C} + \widehat{C} = 180^\circ \Rightarrow 3\widehat{C} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{C} = 60^\circ$$
Suy ra $\widehat{B} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Kết luận: $\widehat{A} = 90^\circ,\ \widehat{B} = 120^\circ,\ \widehat{C} = 60^\circ,\ \widehat{D} = 90^\circ$.
Bài 3.28: Vẽ hình, viết GT–KL của định lí
Đề: Vẽ hình minh hoạ và viết giả thiết, kết luận của định lí: "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".
Lời giải:
Gọi hai đường thẳng phân biệt là $a$, $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$.
| Nội dung | |
|---|---|
| GT | $a$ và $b$ phân biệt; $a \perp c$; $b \perp c$ |
| KL | $a \parallel b$ |
Hình minh hoạ: vẽ đường thẳng $c$ nằm ngang, hai đường thẳng $a$ và $b$ thẳng đứng cùng cắt vuông góc với $c$.
Bài 3.29: Hai tia phân giác nằm trên hai đường thẳng song song
Đề: Kẻ các tia phân giác $Ax$, $By$ của một cặp góc so le trong tạo bởi đường thẳng $b$ vuông góc với hai đường thẳng song song $c$, $d$ (H.3.48). Chứng minh hai tia phân giác đó nằm trên hai đường thẳng song song.
Lời giải:
Vì $b \perp c$ tại $A$ và $b \perp d$ tại $B$ nên các góc tạo thành đều bằng $90^\circ$.
Xét cặp góc so le trong tạo bởi đường thẳng $b$ cắt hai đường $c$, $d$: mỗi góc đều bằng $90^\circ$ nên chúng bằng nhau.
- $Ax$ là tia phân giác của một góc so le trong nên góc giữa $Ax$ và $b$ bằng $\dfrac{1}{2}\cdot 90^\circ = 45^\circ$.
- $By$ là tia phân giác của góc so le trong còn lại nên góc giữa $By$ và $b$ cũng bằng $45^\circ$.
Hai góc này nằm so le trong đối với đường thẳng $b$ và bằng nhau ($45^\circ = 45^\circ$). Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chứa $Ax$ và $By$ song song với nhau. $\blacksquare$
Bài 3.30: Chứng minh song song và vuông góc
Đề: Cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ cùng vuông góc với đường thẳng $c$; $d$ là một đường thẳng khác $c$ và $d$ vuông góc với $a$. Chứng minh:
a) $a \parallel b$; b) $c \parallel d$; c) $b \perp d$.
Lời giải:
a) $a \perp c$ và $b \perp c$. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng $c$ nên:
$$a \parallel b$$
b) $c \perp a$ và $d \perp a$. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng $a$ nên:
$$c \parallel d$$
c) Theo câu a) ta có $a \parallel b$. Mà $d \perp a$. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường còn lại, nên:
$$d \perp b \ \text{(tức } b \perp d)$$
Bài 3.31: Chứng minh dựa vào Hình 3.49
Đề: Cho Hình 3.49. Chứng minh rằng:
a) $d \parallel BC$; b) $d \perp AH$; c) Trong các kết luận trên, kết luận nào suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song, kết luận nào suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?
Lời giải:
Trên hình: đường thẳng $d$ đi qua $A$, góc giữa $d$ và $AC$ bằng $50^\circ$, góc $\widehat{ACB} = 50^\circ$, và $AH \perp BC$ tại $H$.
a) Xét đường thẳng $AC$ cắt hai đường thẳng $d$ và $BC$. Góc giữa $d$ và $AC$ bằng $50^\circ$, góc $\widehat{ACB}$ bằng $50^\circ$, đây là hai góc so le trong và bằng nhau:
$$50^\circ = 50^\circ \Rightarrow d \parallel BC$$
b) Ta có $AH \perp BC$ (theo hình) và $d \parallel BC$ (câu a). Đường thẳng $AH$ vuông góc với $BC$, mà $d$ song song với $BC$, nên:
$$AH \perp d \ \text{(tức } d \perp AH)$$
c)
- Kết luận a) $d \parallel BC$ được suy ra từ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (hai góc so le trong bằng nhau).
- Kết luận b) $d \perp AH$ được suy ra từ tính chất của hai đường thẳng song song (đường vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).
Bài 3.32: Tính duy nhất của đường vuông góc
Đề: Chứng minh rằng: Cho điểm $A$ và đường thẳng $d$ thì có duy nhất đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $d$, tức là nếu có hai đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $d$ thì chúng phải trùng nhau.
Lời giải:
Giả sử có hai đường thẳng $m$ và $n$ cùng đi qua điểm $A$ và cùng vuông góc với $d$.
Vì $m \perp d$ và $n \perp d$ (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng $d$) nên nếu $m$ và $n$ phân biệt thì $m \parallel n$.
Nhưng $m$ và $n$ lại cùng đi qua điểm $A$, tức chúng có điểm chung. Hai đường thẳng song song thì không có điểm chung — mâu thuẫn.
Vậy $m$ và $n$ không thể phân biệt, tức chúng phải trùng nhau. Do đó qua điểm $A$ chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với $d$. $\blacksquare$
Bài 3.33: Đếm cặp song song và vuông góc
Đề: Vẽ ba đường thẳng phân biệt $a$, $b$, $c$ sao cho $a \parallel b$, $b \parallel c$ và hai đường thẳng phân biệt $m$, $n$ cùng vuông góc với $a$. Hỏi trên hình có bao nhiêu cặp đường thẳng song song, bao nhiêu cặp đường thẳng vuông góc?
Lời giải:
Từ $a \parallel b$ và $b \parallel c$ suy ra $a \parallel c$. Vậy ba đường $a, b, c$ đôi một song song.
Vì $m \perp a$, $n \perp a$ và $m, n$ phân biệt nên $m \parallel n$.
Các cặp đường thẳng song song:
$$\{a,b\},\ \{b,c\},\ \{a,c\},\ \{m,n\} \Rightarrow \textbf{4 cặp}$$
Các cặp đường thẳng vuông góc: Vì $m \perp a$ mà $b \parallel a$, $c \parallel a$ nên $m \perp b$, $m \perp c$. Tương tự với $n$:
$$m \perp a,\ m \perp b,\ m \perp c,\ n \perp a,\ n \perp b,\ n \perp c \Rightarrow \textbf{6 cặp}$$
Kết luận: Có 4 cặp đường thẳng song song và 6 cặp đường thẳng vuông góc.
Bài 3.34: Chứng minh $\widehat{C} = \widehat{A} + \widehat{B}$
Đề: Cho Hình 3.50, trong đó hai tia $Ax$, $By$ nằm trên hai đường thẳng song song. Chứng minh rằng $\widehat{C} = \widehat{A} + \widehat{B}$.
Lời giải (theo gợi ý: kẻ qua $C$ đường thẳng song song với $Ax$):
Qua $C$ kẻ tia $Cz$ song song với $Ax$. Vì $Ax \parallel By$ nên $Cz$ cũng song song với $By$.
- $Cz \parallel Ax$, hai góc $\widehat{ACz}$ và $\widehat{A}$ (tức $\widehat{xAC}$) là hai góc so le trong nên bằng nhau:
$$\widehat{ACz} = \widehat{A}$$
- $Cz \parallel By$, hai góc $\widehat{zCB}$ và $\widehat{B}$ (tức $\widehat{yBC}$) là hai góc so le trong nên bằng nhau:
$$\widehat{zCB} = \widehat{B}$$
Vì tia $Cz$ nằm giữa hai tia $CA$ và $CB$ nên:
$$\widehat{C} = \widehat{ACB} = \widehat{ACz} + \widehat{zCB} = \widehat{A} + \widehat{B} \qquad \blacksquare$$
Bài 3.35: Tổng ba góc (Hình 3.51)
Đề: Cho Hình 3.51, trong đó $Ox$ và $Ox'$ là hai tia đối nhau.
a) Tính tổng số đo ba góc $\widehat{O_1}, \widehat{O_2}, \widehat{O_3}$.
b) Cho $\widehat{O_1} = 60^\circ$, $\widehat{O_3} = 70^\circ$. Tính $\widehat{O_2}$.
Lời giải:
a) Theo gợi ý:
$$\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = (\widehat{O_1} + \widehat{O_2}) + \widehat{O_3}$$
Trong đó $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = \widehat{x'Oy}$ (vì hai góc này kề nhau, ghép lại thành góc $x'Oy$).
Mà $\widehat{x'Oy}$ và $\widehat{yOx}$ ($=\widehat{O_3}$) là hai góc kề bù nên:
$$\widehat{x'Oy} + \widehat{yOx} = 180^\circ$$
Do đó:
$$\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 180^\circ$$
b) Thay $\widehat{O_1} = 60^\circ$, $\widehat{O_3} = 70^\circ$:
$$\widehat{O_2} = 180^\circ - \widehat{O_1} - \widehat{O_3} = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$$
Bài 3.36: Tính góc $zOx$ (Hình 3.52)
Đề: Cho Hình 3.52, biết $\widehat{xOy} = 120^\circ$, $\widehat{yOz} = 110^\circ$. Tính số đo góc $zOx$.
Lời giải (theo gợi ý: kẻ thêm tia đối của tia $Oy$):
Ba góc $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOz}$, $\widehat{zOx}$ là ba góc không có điểm trong chung và cùng có đỉnh $O$, các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ tạo thành toàn bộ góc quanh điểm $O$. Tổng ba góc đó bằng $360^\circ$:
$$\widehat{xOy} + \widehat{yOz} + \widehat{zOx} = 360^\circ$$
Suy ra:
$$\widehat{zOx} = 360^\circ - \widehat{xOy} - \widehat{yOz} = 360^\circ - 120^\circ - 110^\circ = 130^\circ$$
Kết luận: $\widehat{zOx} = 130^\circ$.
Vậy là cô đã giải xong toàn bộ bài tập của phần Luyện tập chung (trang 58) và Bài tập cuối chương III (trang 59). Em chú ý ba dạng chính: dùng góc kề bù, dấu hiệu nhận biết hai đường song song, và tính chất của hai đường song song nhé. Có chỗ nào chưa rõ cứ hỏi cô nha!