Giải Toán 7 - Tập 1 trang 71
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 71–72
Tóm tắt lý thuyết
Trường hợp bằng nhau thứ hai: Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)
- Trong tam giác $ABC$, góc $BAC$ (góc $A$) được gọi là góc xen giữa hai cạnh $AB$ và $AC$.
- Định lí: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Điểm cần nhớ: góc phải nằm xen giữa đúng hai cạnh đó thì mới áp dụng được c.g.c.
Hoạt động 1 (HĐ1)
Đề: Vẽ $\widehat{xAy} = 60^\circ$. Lấy điểm $B$ trên tia $Ax$, điểm $C$ trên tia $Ay$ sao cho $AB = 4$ cm, $AC = 3$ cm. Nối $B$ với $C$ được tam giác $ABC$. Dùng thước đo độ dài cạnh $BC$.
Lời giải:
Sau khi vẽ đúng theo yêu cầu và dùng thước đo, em sẽ được:
$$BC \approx 3{,}6 \text{ cm}$$
Đây là hoạt động thực hành để em làm quen với việc dựng tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa.
Hoạt động 2 (HĐ2)
Đề: Vẽ thêm tam giác $A'B'C'$ với $\widehat{B'A'C'} = 60^\circ$, $A'B' = 4$ cm, $A'C' = 3$ cm. So sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.
Lời giải:
- Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ bằng nhau, vì chúng có hai cạnh và góc xen giữa bằng nhau (cùng là $4$ cm, $3$ cm và góc $60^\circ$).
- Độ dài $BC$ và $B'C'$ bằng nhau (đều khoảng $3{,}6$ cm). Khi đo trên hình bạn khác vẽ cũng cho kết quả tương tự.
- Hai tam giác em vẽ bằng với hai tam giác các bạn khác vẽ.
Kết luận: Khi cho trước hai cạnh và góc xen giữa thì tam giác được xác định duy nhất, từ đó dẫn đến định lí c.g.c.
Câu hỏi (Hình 4.29)
Đề: Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?
Phân tích các tam giác:
- Tam giác $ABC$: có $AB = AC$ (hai cạnh ký hiệu một gạch), góc $A$ xen giữa được đánh dấu.
- Tam giác $DEF$: có hai cạnh đánh dấu một gạch và góc $D$ xen giữa.
- Tam giác $MNP$: có hai cạnh đánh dấu một gạch và góc xen giữa.
- Tam giác $GHK$: có hai cạnh đánh dấu một gạch và góc xen giữa.
Lời giải:
Hai tam giác có hai cạnh tương ứng được đánh dấu bằng nhau và góc xen giữa được đánh dấu bằng nhau sẽ bằng nhau theo trường hợp c.g.c.
$$\triangle ABC = \triangle KGH \quad \text{(c.g.c)}$$
Lý do: cả hai có hai cạnh bằng nhau (ký hiệu một gạch) cùng với góc xen giữa bằng nhau, nên áp dụng trực tiếp được định lí c.g.c.
Ví dụ 1 (Hình 4.30)
Đây là ví dụ mẫu trong sách. Xét hai tam giác $ABC$ và $ADC$:
- $AB = AD$
- $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$
- $AC$ là cạnh chung
Vậy $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c.g.c).
Em chú ý cách trình bày này để áp dụng cho các bài sau.
Luyện tập 1 (Hình 4.31)
Đề: Hai tam giác $ABC$ và $MNP$ trong Hình 4.31 có bằng nhau không? Vì sao?
Dữ kiện từ hình:
- Tam giác $ABC$: $\widehat{A} = 60^\circ$, có $AB$ và $AC$ đánh dấu bằng nhau (hai cạnh ký hiệu).
- Tam giác $MNP$: $\widehat{N} = 50^\circ$, $\widehat{P} = 70^\circ$, có $MN$ và $MP$ đánh dấu.
Lời giải:
Xét tam giác $MNP$, tính góc $M$:
$$\widehat{M} = 180^\circ - \widehat{N} - \widehat{P} = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$$
Bây giờ so sánh:
- $AB = MN$ (cạnh ký hiệu)
- $\widehat{A} = \widehat{M} = 60^\circ$ (góc xen giữa)
- $AC = MP$ (cạnh ký hiệu)
Vậy:
$$\triangle ABC = \triangle MNP \quad \text{(c.g.c)}$$
Kết luận: Hai tam giác bằng nhau. Mẹo nhỏ là khi đề chỉ cho góc $N$ và $P$, em phải tính góc $M$ trước để tìm đúng góc xen giữa hai cạnh đã đánh dấu.
Vận dụng (Hình 4.32)
Đề: Cho Hình 4.32, biết $\widehat{OAB} = \widehat{ODC}$, $OA = OD$ và $AB = CD$. Chứng minh rằng:
a) $AC = DB$
b) $\triangle OAC = \triangle ODB$
Quan sát hình: Bốn điểm $A, B, C, D$ thẳng hàng theo thứ tự đó, điểm $O$ nằm phía trên.
Lời giải:
a) Chứng minh $AC = DB$
Ta có $A, B, C, D$ thẳng hàng theo thứ tự $A - B - C - D$ nên:
$$AC = AB + BC$$
$$DB = DC + CB$$
Mà theo giả thiết $AB = CD$, và $BC = CB$ là đoạn chung, nên:
$$AC = AB + BC = CD + CB = DB$$
Vậy $AC = DB$. ✓
b) Chứng minh $\triangle OAC = \triangle ODB$
Xét hai tam giác $OAC$ và $ODB$ có:
- $OA = OD$ (giả thiết)
- $\widehat{OAC} = \widehat{ODB}$ — chính là $\widehat{OAB} = \widehat{ODC}$ (giả thiết), vì các điểm thẳng hàng nên góc tại $A$ và tại $D$ giữ nguyên
- $AC = DB$ (đã chứng minh ở câu a)
Đây là hai cạnh và góc xen giữa bằng nhau. Vậy:
$$\triangle OAC = \triangle ODB \quad \text{(c.g.c)}$$
Lưu ý cách làm: câu a tạo ra điều kiện cạnh còn thiếu, để câu b ghép đủ bộ "cạnh – góc – cạnh". Đây là kiểu bài rất hay gặp, em nhớ thứ tự góc phải xen đúng giữa hai cạnh nhé.
Em có muốn cô giải thêm phần lý thuyết góc – cạnh – góc (g.c.g) ở trang sau không?