Giải Toán 7 - Tập 1 trang 73

Phần lý thuyết: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)

HĐ3 (Hoạt động 3)

Đề bài: Vẽ đoạn thẳng BC = 3 cm. Vẽ hai tia Bx và Cy sao cho góc xBC = 80°, góc yCB = 40° như Hình 4.33. Lấy giao điểm A của hai tia Bx và Cy, ta được tam giác ABC. Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC.

Cách giải

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng BC = 3 cm

Bước 2: Tại B, vẽ tia Bx sao cho góc xBC = 80°

Bước 3: Tại C, vẽ tia Cy sao cho góc yCB = 40°

Bước 4: Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A, ta được tam giác ABC

Bước 5: Dùng thước đo độ dài AB và AC

Kết quả: Học sinh tự đo và ghi lại kết quả. Kết quả đo phụ thuộc vào độ chính xác khi vẽ hình.

---

HĐ4 (Hoạt động 4)

Đề bài: Vẽ thêm tam giác A'B'C' sao cho B'C' = 3 cm, góc A'B'C' = 80°, góc A'C'B' = 40° (H.4.34). Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa so sánh độ dài các cạnh của hai tam giác ABC và A'B'C'. Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Cách giải

Bước 1: Vẽ tam giác A'B'C' với các yếu tố:

• B'C' = 3 cm
• Góc A'B'C' = 80°
• Góc A'C'B' = 40°

Bước 2: So sánh hai tam giác ABC và A'B'C':

Bước 3: Dùng thước hoặc compa đo và so sánh:

• AB = A'B'
• AC = A'C'

Kết luận: Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau vì có một cạnh và hai góc kề bằng nhau tương ứng.

---

Câu hỏi: Hai tam giác nào trong Hình 4.35 bằng nhau?

Đề bài: Quan sát Hình 4.35, xác định các cặp tam giác bằng nhau.

Cách giải

Phân tích các tam giác trong hình:

Tam giác ABC:

• Góc B = 50°
• Góc C = 70°

Tam giác HGK:

• Góc H = 50°
• Góc G = 70°

Tam giác MPN:

• Góc P = 70°
• Góc N = 50°

Tam giác FED:

• Góc F = 70°
• Góc D = 50°

So sánh:

Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g.c.g, cần có:

• Một cạnh bằng nhau
• Hai góc kề cạnh đó bằng nhau tương ứng

Dựa vào hình vẽ và các dấu hiệu bằng nhau (vạch đánh dấu trên cạnh):

Kết luận: - Tam giác ABC và tam giác HGK bằng nhau (nếu BC = GK) - Tam giác MPN và tam giác FED bằng nhau (nếu PN = ED)

---

Luyện tập 2

Đề bài: Chứng minh hai tam giác ABD và CBD trong Hình 4.37 bằng nhau.

Cách 1 — Sử dụng trường hợp g.c.g

Xét tam giác ABD và tam giác CBD:

Từ hình vẽ, ta có:

• Góc ABD = góc CBD (BD là tia phân giác của góc B, được đánh dấu bằng nhau)
• BD là cạnh chung
• Góc ADB = góc CDB (được đánh dấu bằng nhau trong hình)

Kết luận:

△ABD = △CBD (g.c.g) Vì có: Góc ABD = góc CBD, BD chung, góc ADB = góc CDB

Cách 2 — Trình bày chi tiết

Bước 1: Xác định các yếu tố bằng nhau từ hình vẽ

• Cạnh BD là cạnh chung của hai tam giác
• Góc ABD = góc CBD (hai góc được đánh dấu bằng nhau)
• Góc ADB = góc CDB (hai góc được đánh dấu bằng nhau)

Bước 2: Áp dụng trường hợp bằng nhau g.c.g

Xét △ABD và △CBD có:

• Góc ABD = góc CBD (gt)
• BD: cạnh chung
• Góc ADB = góc CDB (gt)

Vậy △ABD = △CBD (g.c.g)

---

Thử thách nhỏ

Đề bài: Bạn Lan nói rằng: "Nếu tam giác này có một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau" (H.4.38). Theo em bạn Lan nói có đúng không? Vì sao?

Cách giải

Phân tích đề bài:

Bạn Lan nói về trường hợp: một cạnh + một góc kề + góc đối diện (không phải hai góc kề)

Xét hai tam giác trong Hình 4.38:

Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

• AC = A'C' (cạnh)
• Góc A = góc A' (góc kề với cạnh AC)
• Góc B = góc B' (góc đối diện với cạnh AC)

Kiểm tra:

Trong một tam giác, tổng ba góc bằng 180°.

Nếu góc A = góc A' và góc B = góc B', thì:

• Góc C = 180° - góc A - góc B
• Góc C' = 180° - góc A' - góc B'

Suy ra: Góc C = góc C'

Như vậy, ta có:

• AC = A'C'
• Góc A = góc A' (góc kề)
• Góc C = góc C' (góc kề còn lại)

Kết luận: Bạn Lan nói ĐÚNG. Giải thích: Vì khi biết một cạnh, một góc kề và góc đối diện bằng nhau, ta suy ra được góc kề còn lại cũng bằng nhau (do tổng ba góc trong tam giác bằng 180°). Khi đó, hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g.c.g.

💡 Mẹo nhớ: "Biết hai góc, suy ra góc ba" - Khi biết 2 góc của tam giác, góc thứ 3 được xác định duy nhất.

---

BÀI TẬP

Bài 4.12

Đề bài: Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Phần a) - Hình 4.39a

Cách giải:

Quan sát hình, ta thấy có tam giác ABD và tam giác CBD.

Xét △ABD và △CBD:

Từ hình vẽ (các dấu vạch đánh dấu):

• Góc BAD = góc BCD (được đánh dấu bằng nhau)
• AD = CD (được đánh dấu bằng nhau)
• Góc ADB = góc CDB (hai góc đối đỉnh hoặc được đánh dấu)

Kết luận: △ABD = △CBD (g.c.g) Vì có: Góc BAD = góc BCD, AD = CD, góc ADB = góc CDB

Phần b) - Hình 4.39b

Cách giải:

Quan sát hình, ta thấy có tam giác AOB và tam giác DOC.

Xét △AOB và △DOC:

Từ hình vẽ (các dấu vạch đánh dấu):

• Góc OAB = góc ODC (được đánh dấu bằng nhau)
• AO = DO (được đánh dấu bằng nhau)
• Góc AOB = góc DOC (hai góc đối đỉnh)

Kết luận: △AOB = △DOC (g.c.g) Vì có: Góc OAB = góc ODC, AO = DO, góc AOB = góc DOC (đối đỉnh)

---

Bài 4.13

Đề bài: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như Hình 4.40.
a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau;
b) Chứng minh rằng △DAB = △BCD.

Phần a)

Cách 1 — Liệt kê và chứng minh

Cặp 1: △AOB và △COD

Xét △AOB và △COD có:

• OA = OC (gt)
• Góc AOB = góc COD (hai góc đối đỉnh)
• OB = OD (gt)

⟹ △AOB = △COD (c.g.c)

Cặp 2: △AOD và △COB

Xét △AOD và △COB có:

• OA = OC (gt)
• Góc AOD = góc COB (hai góc đối đỉnh)
• OD = OB (gt)

⟹ △AOD = △COB (c.g.c)

Đáp án: Hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau là: - △AOB = △COD - △AOD = △COB

Phần b)

Cách giải:

Bước 1: Từ phần a), ta có △AOB = △COD

Suy ra: AB = CD và góc OAB = góc OCD

Bước 2: Từ phần a), ta có △AOD = △COB

Suy ra: AD = CB và góc OAD = góc OCB

Bước 3: Chứng minh △DAB = △BCD

Xét △DAB và △BCD có:

• Góc DAB = góc BCD (vì góc OAB = góc OCD, chứng minh ở trên)
• AB = CD (△AOB = △COD)
• Góc ABD = góc CDB (cùng phụ với các góc bằng nhau, hoặc chứng minh tương tự)

Cách khác - Sử dụng c.c.c:

Từ △AOB = △COD: AB = CD
Từ △AOD = △COB: AD = CB
Cạnh BD chung

⟹ △DAB = △BCD (c.c.c)

Kết luận: △DAB = △BCD (c.c.c)

---

Bài 4.14

Đề bài: Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BCE trong Hình 4.41 bằng nhau.

Cách giải

Quan sát hình 4.41:

Từ các dấu hiệu trong hình:

• AD = BC (được đánh dấu bằng nhau)
• Góc DAE = góc CBE (được đánh dấu bằng nhau)
• AE = BE (được đánh dấu bằng nhau)

Xét △ADE và △BCE:

• Góc DAE = góc CBE (gt - đánh dấu trong hình)
• AE = BE (gt - đánh dấu trong hình)
• Góc AED = góc BEC (hai góc đối đỉnh)

Kết luận: △ADE = △BCE (g.c.g) Vì có: Góc DAE = góc CBE, AE = BE, góc AED = góc BEC (đối đỉnh)

---

Bài 4.15

Đề bài: Cho đoạn thẳng AB song song và bằng đoạn thẳng CD như Hình 4.42. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Hai điểm G và H lần lượt nằm trên AB và CD sao cho G, E, H thẳng hàng. Chứng minh rằng:
a) △ABE = △DCE
b) EG = EH

Phần a) Chứng minh △ABE = △DCE

Cách giải:

Bước 1: Xác định các yếu tố từ giả thiết

Vì AB // CD nên:

• Góc ABE = góc DCE (hai góc so le trong, với BC là cát tuyến)
• Góc BAE = góc CDE (hai góc so le trong, với AD là cát tuyến)

Bước 2: Xét △ABE và △DCE

• Góc ABE = góc DCE (so le trong, AB // CD)
• AB = DC (gt)
• Góc BAE = góc CDE (so le trong, AB // CD)

Kết luận: △ABE = △DCE (g.c.g)

Phần b) Chứng minh EG = EH

Cách giải:

Bước 1: Từ △ABE = △DCE (phần a)

Suy ra:

• AE = DE
• BE = CE
• Góc AEB = góc DEC

Bước 2: Chứng minh △GBE = △HCE

Vì AB // CD và GH là cát tuyến nên:

• Góc BGE = góc CHE (hai góc so le trong)

Xét △GBE và △HCE có:

• Góc GBE = góc HCE (chứng minh ở phần a, góc ABE = góc DCE)
• BE = CE (△ABE = △DCE)
• Góc GEB = góc HEC (hai góc đối đỉnh)

⟹ △GBE = △HCE (g.c.g)

Bước 3: Kết luận

Từ △GBE = △HCE, suy ra:

EG = EH (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

---

🎯 Ghi nhớ: Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc (g.c.g): Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 💡 Mẹo nhớ: "G.C.G = Góc - Cạnh - Góc" - Cạnh nằm giữa hai góc (hai góc kề với cạnh đó).