Giải Toán 7 - Tập 1 trang 74
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 74–75
Tóm tắt lý thuyết
Phần này luyện tập về ba trường hợp bằng nhau của tam giác:
- c.c.c (cạnh – cạnh – cạnh)
- c.g.c (cạnh – góc – cạnh)
- g.c.g (góc – cạnh – góc)
Một mẹo hay dùng: trong tam giác, biết 2 góc thì suy ra góc thứ ba (vì tổng ba góc bằng $180^\circ$).
Luyện tập 2
Đề: Chứng minh hai tam giác $ABD$ và $CBD$ trong Hình 4.37 bằng nhau.
Lời giải:
Trong Hình 4.37, đường chéo $BD$ chia tứ giác thành hai tam giác. Theo các ký hiệu trên hình:
Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CBD$ có:
- $\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$ (ký hiệu trên hình);
- $BD$ là cạnh chung;
- $\widehat{ADB} = \widehat{CDB}$ (ký hiệu trên hình).
Vậy $\triangle ABD = \triangle CBD$ (g.c.g).
Thử thách nhỏ
Đề: Bạn Lan nói: "Nếu tam giác này có một cạnh, một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh, một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau" (H.4.38). Bạn Lan nói đúng không? Vì sao?
Trả lời: Bạn Lan nói đúng.
Giải thích: Theo gợi ý, ta chỉ cần kiểm tra góc còn lại.
Trong Hình 4.38, giả thiết cho:
- $AC = A'C'$ (một cạnh);
- $\widehat{A} = \widehat{A'}$ (góc kề cạnh $AC$);
- $\widehat{B} = \widehat{B'}$ (góc đối diện cạnh $AC$).
Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$ nên:
$$\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A'} - \widehat{B'} = \widehat{C'}.$$
Khi đó hai tam giác có cạnh $AC = A'C'$ cùng hai góc kề $\widehat{A} = \widehat{A'}$ và $\widehat{C} = \widehat{C'}$, nên bằng nhau theo trường hợp g.c.g. Vậy lập luận của Lan là chính xác.
Bài 4.12
Đề: Trong mỗi hình (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CDB$ có:
- $AB = CD$ (ký hiệu trên hình);
- $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$ (hai góc so le trong, ký hiệu trên hình);
- $BD$ là cạnh chung.
Vậy $\triangle ABD = \triangle CDB$ (c.g.c).
b) Hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ với $OA = OC$, $OB = OD$ (ký hiệu trên hình).
Xét $\triangle AOD$ và $\triangle COB$ có:
- $OA = OC$ (ký hiệu);
- $\widehat{AOD} = \widehat{COB}$ (hai góc đối đỉnh);
- $OD = OB$ (ký hiệu).
Vậy $\triangle AOD = \triangle COB$ (c.g.c).
Bài 4.13
Đề: Cho hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ sao cho $OA = OC$, $OB = OD$ (Hình 4.40).
a) Tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh $O$ bằng nhau.
b) Chứng minh $\triangle DAB = \triangle BCD$.
a) Cặp thứ nhất – Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$:
- $OA = OC$ (gt);
- $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (đối đỉnh);
- $OB = OD$ (gt).
$\Rightarrow \triangle OAB = \triangle OCD$ (c.g.c).
Cặp thứ hai – Xét $\triangle OAD$ và $\triangle OCB$:
- $OA = OC$ (gt);
- $\widehat{AOD} = \widehat{COB}$ (đối đỉnh);
- $OD = OB$ (gt).
$\Rightarrow \triangle OAD = \triangle OCB$ (c.g.c).
b) Từ kết quả câu a:
- $\triangle OAB = \triangle OCD \Rightarrow AB = CD$;
- $\triangle OAD = \triangle OCB \Rightarrow AD = CB$.
Xét $\triangle DAB$ và $\triangle BCD$ có:
- $AB = CD$ (chứng minh trên);
- $DA = BC$ (chứng minh trên);
- $DB$ là cạnh chung.
Vậy $\triangle DAB = \triangle BCD$ (c.c.c).
Bài 4.14
Đề: Chứng minh hai tam giác $ADE$ và $BCE$ trong Hình 4.41 bằng nhau.
Theo Hình 4.41, hai đường thẳng cắt nhau tại $E$ với $\widehat{DAE} = \widehat{CBE}$ và $AE = BE$.
Xét $\triangle ADE$ và $\triangle BCE$ có:
- $\widehat{DAE} = \widehat{CBE}$ (ký hiệu trên hình);
- $AE = BE$ (ký hiệu trên hình);
- $\widehat{AED} = \widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh).
Vậy $\triangle ADE = \triangle BCE$ (g.c.g).
Bài 4.15
Đề: Cho đoạn thẳng $AB$ song song và bằng đoạn thẳng $CD$ (Hình 4.42). Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Hai điểm $G$, $H$ lần lượt nằm trên $AB$ và $CD$ sao cho $G$, $E$, $H$ thẳng hàng. Chứng minh:
a) $\triangle ABE = \triangle DCE$;
b) $EG = EH$.
a) Vì $AB \parallel CD$ nên (hai góc so le trong):
- $\widehat{BAE} = \widehat{CDE}$ (cát tuyến $AD$);
- $\widehat{ABE} = \widehat{DCE}$ (cát tuyến $BC$).
Xét $\triangle ABE$ và $\triangle DCE$ có:
- $\widehat{BAE} = \widehat{CDE}$;
- $AB = DC$ (gt);
- $\widehat{ABE} = \widehat{DCE}$.
Vậy $\triangle ABE = \triangle DCE$ (g.c.g).
b) Từ câu a suy ra $AE = DE$.
Xét $\triangle AEG$ và $\triangle DEH$ có:
- $\widehat{GAE} = \widehat{HDE}$ (chính là $\widehat{BAE} = \widehat{CDE}$);
- $AE = DE$ (chứng minh trên);
- $\widehat{AEG} = \widehat{DEH}$ (hai góc đối đỉnh, do $G,E,H$ thẳng hàng và $A,E,D$ thẳng hàng).
$\Rightarrow \triangle AEG = \triangle DEH$ (g.c.g) $\Rightarrow EG = EH$ (hai cạnh tương ứng).
Ví dụ (đã giải sẵn trong sách)
Cho $M$ thuộc $AB$ và hai điểm $C$, $D$ (Hình 4.43) sao cho $\widehat{BAC} = \widehat{BAD}$, $\widehat{ABC} = \widehat{ABD}$.
a) $\triangle ABC = \triangle ABD$ vì: $\widehat{BAC} = \widehat{BAD}$, cạnh chung $AB$, $\widehat{ABC} = \widehat{ABD}$ → g.c.g.
b) $\triangle AMC = \triangle AMD$ vì: cạnh chung $AM$, $\widehat{MAC} = \widehat{MAD}$, $AC = AD$ (suy từ câu a) → c.g.c.
Bài 4.16
Đề: Cho hai tam giác $ABC$ và $DEF$ thoả mãn $AB = DE$, $AC = DF$, $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 60^\circ$, $BC = 6\text{ cm}$, $\widehat{ABC} = 45^\circ$. Tính độ dài cạnh $EF$ và số đo các góc $ACB$, $DEF$, $EFD$.
Lời giải:
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có:
- $AB = DE$ (gt);
- $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 60^\circ$ (gt);
- $AC = DF$ (gt).
$\Rightarrow \triangle ABC = \triangle DEF$ (c.g.c), với $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
Suy ra:
- $EF = BC = 6\text{ cm}$;
- $\widehat{DEF} = \widehat{ABC} = 45^\circ$;
- Trong $\triangle ABC$: $\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$;
- $\widehat{EFD} = \widehat{ACB} = 75^\circ$.
Đáp số: $EF = 6\text{ cm}$, $\widehat{ACB} = 75^\circ$, $\widehat{DEF} = 45^\circ$, $\widehat{EFD} = 75^\circ$.
Bài 4.17
Đề: Cho hai tam giác $ABC$ và $DEF$ thoả mãn $AB = DE$, $\widehat{ABC} = \widehat{DEF} = 70^\circ$, $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 60^\circ$, $AC = 6\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh $DF$.
Lời giải:
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có:
- $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 60^\circ$ (gt);
- $AB = DE$ (gt);
- $\widehat{ABC} = \widehat{DEF} = 70^\circ$ (gt).
(Cạnh $AB$ nằm giữa hai góc $A$ và $B$; cạnh $DE$ nằm giữa hai góc $D$ và $E$.)
$\Rightarrow \triangle ABC = \triangle DEF$ (g.c.g), với $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
Suy ra $DF = AC = 6\text{ cm}$.
Đáp số: $DF = 6\text{ cm}$.
Bài 4.18
Đề: Cho Hình 4.44, biết $EC = ED$ và $\widehat{AEC} = \widehat{AED}$. Chứng minh:
a) $\triangle AEC = \triangle AED$;
b) $\triangle ABC = \triangle ABD$.
a) Xét $\triangle AEC$ và $\triangle AED$ có:
- $AE$ là cạnh chung;
- $\widehat{AEC} = \widehat{AED}$ (gt);
- $EC = ED$ (gt).
Vậy $\triangle AEC = \triangle AED$ (c.g.c).
b) Từ câu a suy ra:
- $AC = AD$ (hai cạnh tương ứng);
- $\widehat{CAE} = \widehat{DAE}$, tức $\widehat{CAB} = \widehat{DAB}$ (vì $E$ nằm trên $AB$).
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ABD$ có:
- $AC = AD$ (chứng minh trên);
- $\widehat{CAB} = \widehat{DAB}$ (chứng minh trên);
- $AB$ là cạnh chung.
Vậy $\triangle ABC = \triangle ABD$ (c.g.c).
Bài 4.19
Đề: Cho tia $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$. Lấy $A$, $B$, $C$ lần lượt thuộc các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ sao cho $\widehat{CAO} = \widehat{CBO}$.
a) Chứng minh $\triangle OAC = \triangle OBC$.
b) Lấy điểm $M$ trên tia đối của tia $CO$. Chứng minh $\triangle MAC = \triangle MBC$.
a) Vì $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$.
Trong $\triangle OAC$ và $\triangle OBC$, do tổng ba góc bằng $180^\circ$ và đã có $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$, $\widehat{CAO} = \widehat{CBO}$ nên góc còn lại cũng bằng nhau:
$$\widehat{OCA} = \widehat{OCB}.$$
Xét $\triangle OAC$ và $\triangle OBC$ có:
- $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$ (Oz phân giác);
- $OC$ là cạnh chung;
- $\widehat{OCA} = \widehat{OCB}$ (chứng minh trên).
Vậy $\triangle OAC = \triangle OBC$ (g.c.g).
b) Từ câu a suy ra $CA = CB$ và $\widehat{ACO} = \widehat{BCO}$.
Vì $M$ nằm trên tia đối của tia $CO$ nên $\widehat{ACM}$ và $\widehat{ACO}$ là hai góc kề bù, tương tự với $\widehat{BCM}$ và $\widehat{BCO}$:
$$\widehat{ACM} = 180^\circ - \widehat{ACO} = 180^\circ - \widehat{BCO} = \widehat{BCM}.$$
Xét $\triangle MAC$ và $\triangle MBC$ có:
- $CA = CB$ (chứng minh trên);
- $\widehat{ACM} = \widehat{BCM}$ (chứng minh trên);
- $CM$ là cạnh chung.
Vậy $\triangle MAC = \triangle MBC$ (c.g.c).
Mẹo nhỏ để nhớ: cứ gặp hai góc bằng nhau cộng một cạnh thì nghĩ ngay tới g.c.g; gặp hai cạnh kẹp một góc thì dùng c.g.c; gặp ba cạnh thì c.c.c. Khi đề cho hai góc, đừng quên tính góc thứ ba để mở thêm hướng giải nhé.