Giải Toán 7 - Tập 1 trang 77

Hai trang này thuộc bài "Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông". Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt các hoạt động và bài tập nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Tam giác vuông có một góc bằng $90^\circ$, nên việc xét bằng nhau gọn hơn tam giác thường. Ở phần này có các trường hợp:

HĐ2: Trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề

Đề: Hai tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $A$) và $A'B'C'$ (vuông tại $A'$) có $AB = A'B'$ và $\widehat{B} = \widehat{B'}$. Giải thích vì sao $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

Giải. Xét $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$:

• $\widehat{B} = \widehat{B'}$ (giả thiết)
• $AB = A'B'$ (giả thiết)
• $\widehat{A} = \widehat{A'} = 90^\circ$

Cạnh $AB$ là cạnh kề với hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{B}$, nên theo trường hợp góc – cạnh – góc:

$$\triangle ABC = \triangle A'B'C' \ (\text{g.c.g})$$

Từ đó rút ra kết luận: nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng cạnh góc vuông và góc nhọn kề của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông bằng nhau.

Luyện tập 1: Lí do của bạn Tròn

Mỗi chiếc cột cùng bóng của nó tạo thành một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có:

• một cặp cạnh góc vuông (chiều cao cột) bằng nhau,
• hai góc ở đỉnh cột bằng nhau.

Cạnh góc vuông đó kề với góc ở đỉnh cột, nên hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề.

Vậy lí do bạn Tròn đưa ra là đúng.

HĐ3: Trường hợp cạnh huyền – góc nhọn

Đề: $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $\triangle A'B'C'$ vuông tại $A'$, có $BC = B'C'$ (cạnh huyền) và $\widehat{B} = \widehat{B'}$.

a) Giải thích vì sao hai tam giác vuông bằng nhau.

Vì tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$:

$$\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} = 90^\circ - \widehat{B}$$

$$\widehat{C'} = 90^\circ - \widehat{B'}$$

Mà $\widehat{B} = \widehat{B'}$ nên $\widehat{C} = \widehat{C'}$.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$:

• $\widehat{B} = \widehat{B'}$
• $BC = B'C'$
• $\widehat{C} = \widehat{C'}$

Cạnh $BC$ kề hai góc $\widehat{B}, \widehat{C}$, nên $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ (g.c.g).

b) So sánh độ cao hai con dốc.

Vì $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ nên $AC = A'C'$ (hai cạnh tương ứng). Vậy hai con dốc cao bằng nhau.

Câu hỏi (?): Tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau trong Hình 4.48

Dựa vào các kí hiệu (dấu bằng nhau và góc đánh dấu) trên hình, các tam giác vuông ghép thành 3 cặp:

Cặp 1 – cạnh góc vuông và góc nhọn kề:
$$\triangle ABC = \triangle ZYX$$
Hai tam giác vuông có một cạnh góc vuông (dấu $\times$) và góc nhọn kề cạnh ấy bằng nhau.

Cặp 2 – cạnh huyền và góc nhọn:
$$\triangle DEF = \triangle GKH$$
Hai tam giác vuông có cạnh huyền (dấu $*$) và một góc nhọn bằng nhau.

Cặp 3 – hai cạnh góc vuông:
$$\triangle MNP = \triangle RST$$
Hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông (dấu $/\!/$ và dấu gạch đơn) tương ứng bằng nhau.

Lưu ý: cách ghép cặp ở trên đọc theo các kí hiệu trên hình. Khi làm bài, em hãy đối chiếu kĩ vị trí từng dấu trên sách để viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng.

Ví dụ 1 (Hình 4.49)

Đề: $AB \perp BC$, $AD \perp CD$, $AC$ cắt $BD$ tại $E$ và $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$. Chứng minh:
a) $\triangle BAC = \triangle DAC$; b) $AC \perp BD$ tại $E$.

a) Xét hai tam giác vuông $BAC$ (vuông tại $B$) và $DAC$ (vuông tại $D$):

• $AC$ là cạnh chung (cạnh huyền);
• $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ (giả thiết).

Vậy $\triangle BAC = \triangle DAC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ câu a) suy ra $AB = AD$. Xét $\triangle BAE$ và $\triangle DAE$:

• $AE$ là cạnh chung;
• $\widehat{BAE} = \widehat{DAE}$ (giả thiết);
• $AB = AD$.

Vậy $\triangle BAE = \triangle DAE$ (c.g.c), suy ra $\widehat{BEA} = \widehat{DEA}$.

Mà $\widehat{BEA} + \widehat{DEA} = 180^\circ$ nên $\widehat{BEA} = \widehat{DEA} = 90^\circ$. Vậy $AC \perp BD$ tại $E$.

Luyện tập 2 (Hình 4.50)

Đề: $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$. Lấy điểm $M$ trên tia $Oz$; hai điểm $A, B$ lần lượt trên $Ox, Oy$ sao cho $MA \perp Ox$, $MB \perp Oy$. Chứng minh $MA = MB$.

Giải. Xét hai tam giác vuông $OMA$ (vuông tại $A$) và $OMB$ (vuông tại $B$):

• $OM$ là cạnh chung (cạnh huyền);
• $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (vì $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$).

Vậy $\triangle OMA = \triangle OMB$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng). $\blacksquare$

Điểm mấu chốt ở bài này là nhận ra cạnh huyền chung $OM$ và hai góc nhọn bằng nhau nhờ tia phân giác, từ đó dùng ngay trường hợp cạnh huyền – góc nhọn.