Giải Toán 7 - Tập 1 trang 79
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 79–80
Phần Hoạt động và Luyện tập
HĐ5
Đề bài: Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có Â' = 90°, A'B' = 3 cm, B'C' = 5 cm.
a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A'C' không.
b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?
Cách giải
a) Kiểm tra AC và A'C':
Bước 1: Vẽ tam giác A'B'C' theo các bước tương tự HĐ4:
- Vẽ đoạn thẳng A'B' = 3 cm
- Vẽ tia A'x vuông góc với A'B' tại A'
- Vẽ cung tròn tâm B' bán kính 5 cm, cắt tia A'x tại C'
- Nối B'C' được tam giác A'B'C'
Bước 2: Dùng thước đo AC và A'C':
- Trong tam giác ABC: AC = √(BC² - AB²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 cm
- Trong tam giác A'B'C': A'C' = √(B'C'² - A'B'²) = √(5² - 3²) = √16 = 4 cm
Kết luận: AC = A'C' = 4 cm
b) Hai tam giác có bằng nhau không?
Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C':
- Góc A = góc A' = 90° (gt)
- AB = A'B' = 3 cm (gt)
- BC = B'C' = 5 cm (cạnh huyền, gt)
Kết luận: Tam giác ABC = Tam giác A'B'C' (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Câu hỏi: Chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau (Hình 4.52)
Đề bài: Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.
Cách giải
Quan sát Hình 4.52, ta thấy có 3 tam giác vuông:
Tam giác ABC vuông tại C (có dấu vuông góc tại C)
Tam giác DEF vuông tại F (có dấu vuông góc tại F)
Tam giác KGH vuông tại G (có dấu vuông góc tại G)
Tam giác MNP vuông tại P (có dấu vuông góc tại P)
Dựa vào các dấu bằng nhau trên hình:
- Các cạnh có cùng số vạch thì bằng nhau
Cặp 1: Tam giác ABC và tam giác DEF
- Góc C = góc F = 90°
- Cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau (theo dấu trên hình)
Cặp 2: Tam giác KGH và tam giác MNP
- Góc G = góc P = 90°
- Cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau (theo dấu trên hình)
Kết luận: - Tam giác ABC = Tam giác DEF (cạnh huyền - cạnh góc vuông) - Tam giác KGH = Tam giác MNP (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Luyện tập 3
Đề bài: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.
Cách giải
Quan sát Hình 4.54:
- O là tâm đường tròn, nên OA = OB = OC (bán kính)
- M, N, P là chân đường vuông góc từ O đến các cạnh
Cặp 1: Tam giác OMA và tam giác OMB
- Góc OMA = góc OMB = 90° (OM vuông góc AB)
- OA = OB (bán kính)
- OM là cạnh chung
Tam giác OMA = Tam giác OMB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Cặp 2: Tam giác ONB và tam giác ONC
- Góc ONB = góc ONC = 90° (ON vuông góc BC)
- OB = OC (bán kính)
- ON là cạnh chung
Tam giác ONB = Tam giác ONC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Cặp 3: Tam giác OPA và tam giác OPC
- Góc OPA = góc OPC = 90° (OP vuông góc AC)
- OA = OC (bán kính)
- OP là cạnh chung
Tam giác OPA = Tam giác OPC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Thử thách nhỏ
Đề bài: Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao BH = B'H' như Hình 4.55. Các góc BAH và B'A'H' có bằng nhau không? Vì sao?
Cách giải
Phân tích bài toán:
- Hai thang có cùng độ dài: AB = A'B' (cạnh huyền)
- Cùng độ cao: BH = B'H' (cạnh góc vuông - chiều cao)
- Góc AHB = góc A'H'B' = 90° (tường vuông góc với mặt đất)
Chứng minh:
Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông A'H'B':
- Góc AHB = góc A'H'B' = 90° (gt)
- AB = A'B' (hai thang dài bằng nhau)
- BH = B'H' (cùng độ cao)
⇒ Tam giác AHB = Tam giác A'H'B' (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
⇒ Góc BAH = góc B'A'H' (hai góc tương ứng)
Kết luận: Các góc BAH và B'A'H' bằng nhau vì hai tam giác vuông AHB và A'H'B' bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.
PHẦN BÀI TẬP
Bài 4.20
Đề bài: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Cách giải
a) Hình a:
Xét tam giác ABC vuông tại B và tam giác ADC vuông tại D:
- Góc ABC = góc ADC = 90° (gt)
- AC là cạnh chung (cạnh huyền)
- AB = AD (theo dấu bằng nhau trên hình)
Kết luận: Tam giác ABC = Tam giác ADC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
b) Hình b:
Xét tam giác EHF vuông tại H và tam giác GHF vuông tại H:
- Góc EHF = góc GHF = 90° (gt)
- EF = GF (theo dấu bằng nhau trên hình - cạnh huyền)
- HF là cạnh chung (cạnh góc vuông)
Kết luận: Tam giác EHF = Tam giác GHF (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
c) Hình c:
Xét tam giác KPQ vuông tại P và tam giác MPQ vuông tại P:
- Góc KPQ = góc MPQ = 90° (gt)
- KQ = MQ (theo dấu bằng nhau trên hình - cạnh huyền)
- PQ là cạnh chung (cạnh góc vuông)
Kết luận: Tam giác KPQ = Tam giác MPQ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
d) Hình d:
Xét tam giác VNS vuông tại N và tam giác UTS vuông tại T:
- Góc VNS = góc UTS = 90° (gt)
- VS = US (theo dấu bằng nhau trên hình - cạnh huyền)
- NS = TS (theo dấu bằng nhau trên hình - cạnh góc vuông)
Kết luận: Tam giác VNS = Tam giác UTS (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Bài 4.21
Đề bài: Cho Hình 4.56, biết AB = CD, góc BAC = góc BDC = 90°. Chứng minh rằng tam giác ABE = tam giác DCE.
Cách 1 — Sử dụng trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông
Bước 1: Xác định các tam giác vuông
- Tam giác ABE vuông tại A (vì góc BAC = 90°, mà E nằm trên AC nên góc BAE = 90°)
- Tam giác DCE vuông tại D (vì góc BDC = 90°, mà E nằm trên BD nên góc DCE liên quan đến góc vuông tại D)
Bước 2: Chứng minh BE = CE (cạnh huyền)
Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác DCB vuông tại D:
- Góc BAC = góc BDC = 90° (gt)
- BC là cạnh chung (cạnh huyền)
- AB = CD (gt)
⇒ Tam giác ABC = Tam giác DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
⇒ AC = DB (hai cạnh tương ứng)
Bước 3: Chứng minh tam giác ABE = tam giác DCE
Từ tam giác ABC = tam giác DCB, ta có:
- Góc ACB = góc DBC (hai góc tương ứng)
Xét tam giác ABE và tam giác DCE:
- Góc BAE = góc CDE = 90° (gt)
- AB = DC (gt)
- Góc ABE = góc DCE (vì góc ABC = góc DCB, đã chứng minh)
Kết luận: Tam giác ABE = Tam giác DCE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
Cách 2 — Chứng minh trực tiếp
Xét tam giác ABE vuông tại A và tam giác DCE vuông tại D:
- Góc BAE = góc CDE = 90° (gt)
- AB = CD (gt)
- AE = DE (vì E là giao điểm của AC và BD, và từ tính chất đối xứng)
Kết luận: Tam giác ABE = Tam giác DCE (hai cạnh góc vuông)
Bài 4.22
Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng tam giác ABM = tam giác DCM.
Cách 1 — Sử dụng trường hợp hai cạnh góc vuông
Bước 1: Xác định tính chất hình chữ nhật
- ABCD là hình chữ nhật nên:
- AB = DC (hai cạnh đối)
- Góc ABC = góc DCB = 90° (góc của hình chữ nhật)
Bước 2: Xác định các tam giác vuông
- Tam giác ABM vuông tại B (vì góc ABM = góc ABC = 90°)
- Tam giác DCM vuông tại C (vì góc DCM = góc DCB = 90°)
Bước 3: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
Xét tam giác ABM vuông tại B và tam giác DCM vuông tại C:
- Góc ABM = góc DCM = 90° (góc của hình chữ nhật)
- AB = DC (cạnh đối hình chữ nhật)
- BM = CM (vì M là trung điểm của BC)
Kết luận: Tam giác ABM = Tam giác DCM (hai cạnh góc vuông)
Cách 2 — Sử dụng trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông
Xét tam giác ABM vuông tại B và tam giác DCM vuông tại C:
- Góc ABM = góc DCM = 90°
- AB = DC (cạnh đối hình chữ nhật)
- AM = DM (cạnh huyền - cần chứng minh hoặc tính)
Tính AM và DM:
- AM² = AB² + BM²
- DM² = DC² + CM²
Vì AB = DC và BM = CM (M là trung điểm BC), nên AM = DM.
Kết luận: Tam giác ABM = Tam giác DCM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
🎯 Ghi nhớ: Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 💡 Mẹo nhớ: "Huyền - Góc vuông" → Viết tắt: ch - cgv (cạnh huyền - cạnh góc vuông)