Giải Toán 7 - Tập 1 trang 80

Hai trang này thuộc phần cuối Bài 15 (các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông) và mở đầu Bài 16 (Tam giác cân). Lưu ý nhỏ: số trang in trên ảnh là 79 và 80 nhé, mình giải theo đúng nội dung ảnh.

Tóm tắt lý thuyết

• Hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông: nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia.
• Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Với tam giác cân $ABC$ ($AB = AC$): cân tại $A$, hai cạnh $AB, AC$ là cạnh bên, $BC$ là cạnh đáy, $\widehat{B}, \widehat{C}$ là hai góc ở đáy, $\widehat{A}$ là góc ở đỉnh.

---

Luyện tập 3

Đề: Cho ba điểm $A, B, C$ nằm trên đường tròn tâm $O$ và các điểm $M, N, P$ như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau.

Trong hình, $P, N, M$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ tâm $O$ xuống các dây $AB, AC, BC$. Vì $A, B, C$ nằm trên đường tròn tâm $O$ nên:

$$OA = OB = OC \ (\text{cùng là bán kính})$$

Ba cặp tam giác vuông bằng nhau:

Mỗi cặp đều vuông tại chân đường vuông góc ($P, N, M$), có chung một cạnh góc vuông và hai cạnh huyền bằng nhau (đều là bán kính).

---

Thử thách nhỏ

Đề: Hai chiếc thang dài như nhau dựa vào tường với cùng độ cao $BH = B'H'$ (Hình 4.55). Các góc $\widehat{BAH}$ và $\widehat{B'A'H'}$ có bằng nhau không? Vì sao?

Trả lời: Có, hai góc bằng nhau.

Xét hai tam giác vuông $BAH$ (vuông tại $H$) và $B'A'H'$ (vuông tại $H'$):

• $AB = A'B'$ (hai thang dài như nhau – cạnh huyền);
• $BH = B'H'$ (cùng độ cao – một cạnh góc vuông).

Vậy $\triangle BAH = \triangle B'A'H'$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra $\widehat{BAH} = \widehat{B'A'H'}$.

---

Bài 4.20

Đề: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Hình a) $AC$ là đường cao, có dấu cho biết $\widehat{BAC} = \widehat{CAD}$:

• $\triangle ABC = \triangle ADC$ (cạnh góc vuông – góc nhọn): $AC$ chung, $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$.

Hình b) Vuông tại $E$ và $F$, có $EH = FG$:

• $\triangle EHG = \triangle FGH$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông): cạnh huyền $HG$ chung, cạnh góc vuông $EH = FG$.

Hình c) $PM \perp KN$ tại $M$, có $PK = PN$:

• $\triangle PMK = \triangle PMN$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông): $PM$ chung, $PK = PN$.

Hình d) Vuông tại $S$ và $T$, có $VS = UT$:

• $\triangle VST = \triangle UTS$ (hai cạnh góc vuông): $VS = UT$, $ST$ chung.

---

Bài 4.21

Đề: Cho Hình 4.56, biết $AB = CD$, $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^\circ$. Chứng minh $\triangle ABE = \triangle DCE$.

Lời giải:

Vì $E$ nằm trên $AC$ nên $\widehat{BAE} = \widehat{BAC} = 90^\circ$, tức $\triangle ABE$ vuông tại $A$.
Vì $E$ nằm trên $BD$ nên $\widehat{CDE} = \widehat{BDC} = 90^\circ$, tức $\triangle DCE$ vuông tại $D$.

Hai góc $\widehat{AEB}$ và $\widehat{DEC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{AEB} = \widehat{DEC}$.

Trong hai tam giác vuông:

$$\widehat{ABE} = 90^\circ - \widehat{AEB}, \quad \widehat{DCE} = 90^\circ - \widehat{DEC} \Rightarrow \widehat{ABE} = \widehat{DCE}.$$

Xét $\triangle ABE$ và $\triangle DCE$:

• $\widehat{BAE} = \widehat{CDE} = 90^\circ$;
• $AB = DC$ (giả thiết);
• $\widehat{ABE} = \widehat{DCE}$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle ABE = \triangle DCE$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

---

Bài 4.22

Đề: Cho hình chữ nhật $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Chứng minh $\triangle ABM = \triangle DCM$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên:

• $AB = DC$ (hai cạnh đối);
• $\widehat{ABM} = \widehat{DCM} = 90^\circ$ (các góc của hình chữ nhật).

$M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = CM$.

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle DCM$:

• $AB = DC$;
• $\widehat{ABM} = \widehat{DCM} = 90^\circ$;
• $BM = CM$.

Vậy $\triangle ABM = \triangle DCM$ (hai cạnh góc vuông).

---

Mở đầu Bài 16 (Hình 4.57)

Đề: Kiến trúc sư vẽ nhà hình tam giác tỉ lệ $1:100$, nhà cao $5$ m, mặt sàn rộng $4$ m, hai mái nghiêng như nhau. Làm thế nào để xác định chính xác đỉnh $C$?

Định hướng: Vì hai mái nghiêng như nhau nên tam giác là tam giác cân với đáy $AB = 4$ cm (trên bản vẽ) và chiều cao $5$ cm. Đỉnh $C$ nằm trên đường vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$ (đường trung trực của $AB$), cách $AB$ một khoảng $5$ cm. Cách dựng cụ thể sẽ học ở phần đường trung trực.

---

Câu hỏi (Hình 4.59)

Đề: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân, nêu cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy.

Từ các số đo: $AB = 3$ cm, $AC = 3$ cm, $AD = 3$ cm, $BC = 2$ cm, $CD = 4$ cm.

Có hai tam giác cân:

Hai tam giác này có chung cạnh bên $AC$, đều cân tại đỉnh $A$.

Nếu bạn muốn mình đi sâu hơn phần lý thuyết tam giác cân ở các trang tiếp theo, cứ gửi ảnh tiếp nhé.