Giải Toán 7 - Tập 1 trang 81

Hai trang này mở đầu Bài 16: Tam giác cân – Đường trung trực của đoạn thẳng. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt từng hoạt động, câu hỏi nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Tam giác cân

• Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
• Trong tam giác cân $ABC$ ($AB = AC$): cân tại đỉnh $A$; $AB$, $AC$ là hai cạnh bên; $BC$ là cạnh đáy; $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ là hai góc ở đáy; $\widehat{A}$ là góc ở đỉnh.

Tính chất

• Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
• Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân.

Tam giác đều

• Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (đồng thời ba góc bằng nhau, mỗi góc $60^\circ$).

---

Câu hỏi (Hình 4.59): Nêu tên các tam giác cân

Đề: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân, nêu cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy.

Dựa vào số đo trên hình: $AB = AC = AD = 3\,cm$, $BC = 2\,cm$, $CD = 4\,cm$.

Có hai tam giác cân:

---

HĐ1: Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $D$ là trung điểm $BC$

a) Chứng minh $\triangle ABD = \triangle ACD$ (c-c-c)

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$:

• $AB = AC$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$)
• $BD = CD$ ($D$ là trung điểm của $BC$)
• $AD$ là cạnh chung

$\Rightarrow \triangle ABD = \triangle ACD$ (c-c-c).

b) Hai góc $B$ và $C$ có bằng nhau không?

Có. Vì $\triangle ABD = \triangle ACD$ nên $\widehat{B} = \widehat{C}$ (hai góc tương ứng).

---

HĐ2: Tam giác $MNP$ có $\widehat{M} = \widehat{N}$, $PK$ là phân giác $\widehat{MPN}$

a) Chứng minh $\widehat{MKP} = \widehat{NKP}$

Trong $\triangle MPK$: $\widehat{MKP} = 180^\circ - \widehat{M} - \widehat{MPK}$.

Trong $\triangle NPK$: $\widehat{NKP} = 180^\circ - \widehat{N} - \widehat{NPK}$.

Mà $\widehat{M} = \widehat{N}$ (giả thiết) và $\widehat{MPK} = \widehat{NPK}$ ($PK$ là phân giác).

$\Rightarrow \widehat{MKP} = \widehat{NKP}$.

b) Chứng minh $\triangle MPK = \triangle NPK$

Xét hai tam giác:

• $\widehat{MPK} = \widehat{NPK}$ ($PK$ phân giác)
• $PK$ là cạnh chung
• $\widehat{MKP} = \widehat{NKP}$ (câu a)

$\Rightarrow \triangle MPK = \triangle NPK$ (g-c-g).

c) Tam giác $MNP$ có cân tại $P$ không?

Có. Vì $\triangle MPK = \triangle NPK$ nên $PM = PN$ (hai cạnh tương ứng), do đó $\triangle MNP$ cân tại $P$.

Đây chính là minh họa cho tính chất: tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân.

---

Luyện tập 1: Tính góc và cạnh chưa biết của $\triangle DEF$ (Hình 4.62)

Đề: Cho $\widehat{E} = 60^\circ$, $EF = 4\,cm$, $DF = 4\,cm$.

Lời giải:

• Vì $DF = EF = 4\,cm$ nên $\triangle DEF$ cân tại $F$.
• $\Rightarrow \widehat{D} = \widehat{E} = 60^\circ$ (hai góc ở đáy).
• Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$:

$$\widehat{F} = 180^\circ - \widehat{D} - \widehat{E} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ.$$

• Ba góc đều bằng $60^\circ$ nên $\triangle DEF$ là tam giác đều, suy ra $DE = DF = EF = 4\,cm$.

Kết quả: $\widehat{D} = \widehat{F} = 60^\circ$ và $DE = 4\,cm$.

Nhận xét: Tam giác $DEF$ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau, đó là một tam giác đều.

---

Thử thách nhỏ

a) Tam giác có ba góc bằng nhau?

Gọi mỗi góc là $x$. Vì tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên $3x = 180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ$. Tam giác có ba góc bằng nhau ($60^\circ$) thì ba cạnh cũng bằng nhau, nên đó là tam giác đều.

b) Tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$?

• Nếu góc $60^\circ$ là góc ở đỉnh: hai góc ở đáy bằng nhau và bằng $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$.
• Nếu góc $60^\circ$ là một góc ở đáy: góc đáy kia cũng $60^\circ$, suy ra góc đỉnh $= 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Cả hai trường hợp đều cho ba góc bằng $60^\circ$, nên tam giác cân có một góc $60^\circ$ là tam giác đều.

---

Mục 2: Đường trung trực của một đoạn thẳng

HĐ3 mở đầu phần này: đánh dấu hai điểm $A$, $B$ trên hai mép tờ giấy A4 rồi nối lại để được đoạn thẳng $AB$ (bước chuẩn bị để gấp giấy tìm đường trung trực ở các trang tiếp theo). Phần này chưa có yêu cầu tính toán nên mình chỉ ghi chú lại để em theo dõi mạch bài.

Nếu em muốn mình giải tiếp phần đường trung trực ở trang sau, gửi ảnh trang đó nhé.