Giải Toán 7 - Tập 1 trang 83
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 83–84
Phần lý thuyết chính
Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Các bài tập cần giải
Câu HĐ3 (Hoạt động 3)
Đề bài: Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau. Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng d theo nếp gấp.
a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?
b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?
Cách giải
Phần a)
Bước 1: Khi gấp giấy sao cho điểm A trùng với điểm B, nếp gấp sẽ chia đôi khoảng cách từ A đến B.
Bước 2: Gọi O là giao điểm của nếp gấp (đường thẳng d) với đoạn AB.
Bước 3: Do A và B trùng nhau khi gấp, nên O cách đều A và B.
Đáp án: O là trung điểm của đoạn thẳng AB (vì OA = OB).
Phần b)
Bước 1: Dùng thước đo góc đặt tại điểm O.
Bước 2: Đo góc tạo bởi đường thẳng d và đoạn AB.
Bước 3: Kết quả đo được góc bằng 90°.
Đáp án: Đường thẳng d vuông góc với AB (góc giữa d và AB bằng 90°).
💡 Kết luận: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB vì d đi qua trung điểm O và vuông góc với AB.
Câu hỏi về Hình 4.64
Đề bài: Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?
Cách giải
Phân tích từng hình:
Hình a) Đoạn thẳng AB với đường thẳng vuông góc:
- Đường thẳng đi qua trung điểm của AB (có dấu chia đôi)
- Đường thẳng vuông góc với AB (có ký hiệu góc vuông)
- ✅ Đúng
Hình b) Đoạn thẳng CD với đường thẳng:
- Đường thẳng đi qua trung điểm của CD
- Đường thẳng vuông góc với CD
- ✅ Đúng
Hình c) Đoạn thẳng EF với đường thẳng:
- Đường thẳng không đi qua trung điểm của EF (điểm cắt lệch về phía E)
- ❌ Sai (không đi qua trung điểm)
Đáp án: Hình a) và hình b) Lan vẽ đúng. Hình c) Lan vẽ sai vì đường thẳng không đi qua trung điểm của đoạn EF.
💡 Mẹo nhớ: Đường trung trực phải thỏa mãn 2 điều kiện: 1. Đi qua trung điểm của đoạn thẳng 2. Vuông góc với đoạn thẳng đó
Câu HĐ4 (Hoạt động 4)
Đề bài: Trên mảnh giấy trong HĐ3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).
Cách giải
Bước 1: Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d (đường trung trực của AB).
Bước 2: Dùng thước đo độ dài AM.
Bước 3: Dùng thước đo độ dài BM.
Bước 4: So sánh hai kết quả.
Đáp án: AM = BM. Điều này đúng với mọi điểm M nằm trên đường trung trực d.
💡 Giải thích: Đây chính là tính chất của đường trung trực: "Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó."
Luyện tập 2
Đề bài: Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và góc MAB = 60° (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.
Cách 1 — Sử dụng tính chất đường trung trực
Tính BM:
Bước 1: M nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
Bước 2: Áp dụng tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai mút.
Bước 3: Suy ra MA = MB.
Đáp án: BM = AM = 3 cm
Tính góc MBA:
Bước 1: Vì MA = MB = 3 cm, tam giác MAB là tam giác cân tại M.
Bước 2: Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Bước 3: Góc MAB = góc MBA (hai góc ở đáy của tam giác cân).
Đáp án: Góc MBA = góc MAB = 60°
Cách 2 — Xác định loại tam giác
Bước 1: Ta có MA = MB = 3 cm (tính chất đường trung trực).
Bước 2: Tam giác MAB cân tại M với góc MAB = 60°.
Bước 3: Tính góc AMB:
- Góc AMB = 180° - góc MAB - góc MBA
- Góc AMB = 180° - 60° - 60° = 60°
Bước 4: Tam giác MAB có cả 3 góc đều bằng 60°, nên đây là tam giác đều.
Đáp án: - BM = 3 cm - Góc MBA = 60° - (Bonus: Tam giác MAB là tam giác đều, nên AB = 3 cm)
Thực hành
Đề bài: Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cách thực hiện
Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB.
Bước 2: Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính lớn hơn AB/2.
Bước 3: Lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính như bước 2.
Bước 4: Hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm M và N.
Bước 5: Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN.
Đáp án: Đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
💡 Giải thích tại sao cách này đúng: - Điểm M cách đều A và B (vì MA = MB = bán kính) - Điểm N cách đều A và B (vì NA = NB = bán kính) - Hai điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực - Vậy đường thẳng MN chính là đường trung trực của AB
💡 Lưu ý quan trọng: Bán kính phải lớn hơn AB/2 để hai cung tròn có thể cắt nhau.
🎯 Ghi nhớ
- Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
- Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
- Cách vẽ đường trung trực bằng compa: Vẽ hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính (lớn hơn AB/2), nối hai giao điểm của hai cung tròn.
- Mẹo nhớ: "Trung trực = Trung điểm + Vuông góc"