Giải Toán 7 - Tập 1 trang 85
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 85–86
PHẦN BÀI TẬP (Trang 84-85)
Bài 4.23
Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.
Cách 1 — Sử dụng tam giác bằng nhau
Bước 1: Xác định các yếu tố đã biết
- Tam giác ABC cân tại A nên: AB = AC và góc ABC = góc ACB
- BE ⊥ AC nên góc BEA = góc BEC = 90°
- CF ⊥ AB nên góc CFA = góc CFB = 90°
Bước 2: Xét hai tam giác vuông BEC và CFB
Trong tam giác BEC vuông tại E và tam giác CFB vuông tại F, ta có:
- BC là cạnh chung
- Góc BCE = góc CBF (vì tam giác ABC cân tại A)
Bước 3: Kết luận
Vậy △BEC = △CFB (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: BE = CF (hai cạnh tương ứng)
Cách 2 — Sử dụng diện tích tam giác
Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC theo hai cách
- S(ABC) = (1/2) × AC × BE (với BE là đường cao từ B xuống AC)
- S(ABC) = (1/2) × AB × CF (với CF là đường cao từ C xuống AB)
Bước 2: So sánh
Vì AB = AC (tam giác cân tại A), nên:
(1/2) × AC × BE = (1/2) × AB × CF
Suy ra: BE = CF
Đáp án: BE = CF (điều phải chứng minh)
Bài 4.24
Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.
Cách giải
Phần 1: Chứng minh AM ⊥ BC
Bước 1: Xét hai tam giác ABM và ACM
- AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
- AM là cạnh chung
- BM = MC (M là trung điểm của BC)
Bước 2: Kết luận tam giác bằng nhau
Vậy △ABM = △ACM (c.c.c)
Bước 3: Suy ra góc vuông
Suy ra: góc AMB = góc AMC (hai góc tương ứng)
Mà góc AMB + góc AMC = 180° (hai góc kề bù)
Nên: góc AMB = góc AMC = 90°
Vậy AM ⊥ BC
Phần 2: Chứng minh AM là tia phân giác góc BAC
Từ △ABM = △ACM, suy ra:
- Góc BAM = góc CAM (hai góc tương ứng)
Vậy AM là tia phân giác của góc BAC.
Đáp án: AM ⊥ BC và AM là tia phân giác của góc BAC
💡 Mẹo nhớ: Trong tam giác cân, đường trung tuyến từ đỉnh đồng thời là đường cao và đường phân giác. Gọi tắt: "Trung - Cao - Phân" (3 trong 1).
Bài 4.25
Đề bài: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
- a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
- b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
Câu a)
Bước 1: Xét hai tam giác ABM và ACM
- BM = MC (M là trung điểm BC)
- AM là cạnh chung
- Góc AMB = góc AMC = 90° (vì AM ⊥ BC)
Bước 2: Kết luận
Vậy △ABM = △ACM (c.g.c)
Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng)
Đáp án câu a: Tam giác ABC cân tại A
Câu b)
Bước 1: Kẻ đường vuông góc
Từ B kẻ BH ⊥ AM (H ∈ AM)
Từ C kẻ CK ⊥ AM (K ∈ AM)
Bước 2: Xét hai tam giác vuông BHM và CKM
- Góc BHM = góc CKM = 90°
- BM = CM (M là trung điểm BC)
- Góc BMH = góc CMK (đối đỉnh)
Vậy △BHM = △CKM (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: BH = CK
Bước 3: Xét hai tam giác vuông ABH và ACK
- Góc AHB = góc AKC = 90°
- Góc BAH = góc CAK (AM là phân giác góc BAC)
- BH = CK (chứng minh trên)
Vậy △ABH = △ACK (cạnh góc vuông - góc nhọn)
Suy ra: AB = AC
Đáp án câu b: Tam giác ABC cân tại A
Bài 4.26
Đề bài: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân. Hãy giải thích các khẳng định sau:
- a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông
- b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°
- c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân
Câu a)
Giải thích:
Gọi tam giác ABC vuông tại A, có hai cạnh bằng nhau.
Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc vuông là cạnh huyền (BC), hai cạnh còn lại là hai cạnh góc vuông (AB và AC).
Cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất, nên hai cạnh bằng nhau phải là hai cạnh góc vuông: AB = AC.
Vậy tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.
Đáp án câu a: Hai cạnh bằng nhau chính là hai cạnh góc vuông, nên đỉnh cân là đỉnh góc vuông.
Câu b)
Giải thích:
Xét tam giác ABC vuông cân tại A (góc A = 90°, AB = AC).
Vì tam giác cân tại A nên: góc ABC = góc ACB
Tổng ba góc trong tam giác bằng 180°:
góc A + góc B + góc C = 180°
90° + góc B + góc C = 180°
góc B + góc C = 90°
Mà góc B = góc C, nên:
2 × góc B = 90°
góc B = 45°
Vậy góc B = góc C = 45°
Đáp án câu b: Hai góc nhọn bằng nhau và có tổng bằng 90°, nên mỗi góc bằng 45°.
Câu c)
Giải thích:
Xét tam giác ABC vuông tại A, có góc B = 45°.
Ta có: góc A + góc B + góc C = 180°
90° + 45° + góc C = 180°
góc C = 45°
Vì góc B = góc C = 45°, nên tam giác ABC cân tại A.
Mà tam giác ABC vuông tại A, nên tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Đáp án câu c: Góc nhọn còn lại cũng bằng 45°, hai góc đáy bằng nhau nên tam giác cân, kết hợp với vuông thành vuông cân.
Bài 4.27
Đề bài: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?
Cách giải
Bước 1: Nhắc lại định nghĩa đường trung trực
Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng:
- Đi qua trung điểm của AB
- Vuông góc với AB
Bước 2: Quan sát hình 4.70
Trong hình có các đường thẳng: d, u, m, n
- Đường thẳng m đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB (có ký hiệu góc vuông)
Bước 3: Kết luận
Đáp án: Đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 4.28
Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Cách giải
Bước 1: Chứng minh D là trung điểm của BC
Xét hai tam giác vuông ABD và ACD:
- Góc ADB = góc ADC = 90° (AD là đường cao)
- AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
- AD là cạnh chung
Vậy △ABD = △ACD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra: BD = DC (hai cạnh tương ứng)
Vậy D là trung điểm của BC.
Bước 2: Kết luận
Đường thẳng AD:
- Đi qua trung điểm D của BC ✓
- Vuông góc với BC (vì AD là đường cao) ✓
Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Đáp án: AD là đường trung trực của BC (điều phải chứng minh)
PHẦN LUYỆN TẬP CHUNG (Trang 85-86)
Trang 85-86 trình bày phần Luyện tập chung với 2 ví dụ mẫu có lời giải sẵn.
Ví dụ 1 (Bài mẫu có lời giải)
Đề bài: Cho Hình 4.71, biết góc ABC = góc ABD, góc BAC = góc BAD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, AD. Chứng minh rằng:
- a) △ABC = △ABD
- b) △BCM = △BDN
Lời giải đã được trình bày trong sách.
Ví dụ 2 (Bài mẫu - chưa có lời giải)
Đề bài: Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và O là giao điểm của d với AB. Cho M và N là hai điểm phân biệt nằm trên d sao cho OM = ON. Chứng minh rằng:
- a) △MAO = △MBO
- b) Góc MAN = góc MBN
- c) Tam giác AMN cân tại A
Câu a) Chứng minh △MAO = △MBO
Bước 1: Xác định các yếu tố
- d là đường trung trực của AB nên: OA = OB và d ⊥ AB
- Góc MOA = góc MOB = 90°
Bước 2: Xét hai tam giác MAO và MBO
- OA = OB (O là trung điểm AB)
- MO là cạnh chung
- Góc MOA = góc MOB = 90°
Vậy △MAO = △MBO (c.g.c)
Đáp án câu a: △MAO = △MBO (c.g.c)
Câu b) Chứng minh góc MAN = góc MBN
Bước 1: Từ câu a, suy ra góc MAO = góc MBO
Bước 2: Chứng minh tương tự △NAO = △NBO
- OA = OB
- NO là cạnh chung
- Góc NOA = góc NOB = 90°
Vậy △NAO = △NBO (c.g.c)
Suy ra: góc NAO = góc NBO
Bước 3: Kết luận
- Góc MAN = góc MAO + góc OAN = góc MBO + góc OBN = góc MBN
Đáp án câu b: Góc MAN = góc MBN
Câu c) Chứng minh tam giác AMN cân tại A
Bước 1: Từ △MAO = △MBO, suy ra: MA = MB
Bước 2: Từ △NAO = △NBO, suy ra: NA = NB
Bước 3: Xét hai tam giác AMN và BMN
- MA = MB (chứng minh trên)
- NA = NB (chứng minh trên)
- MN là cạnh chung
Vậy △AMN = △BMN (c.c.c)
Suy ra: góc AMN = góc BMN
Bước 4: Kết luận
Vì MA = MB, nên tam giác MAB cân tại M.
Vì NA = NB, nên tam giác NAB cân tại N.
Từ △AMN = △BMN, suy ra: AN = BN (đã có) và AM = BM (đã có)
Ta cần chứng minh AM = AN:
- Vì M, N cùng nằm trên đường trung trực d của AB
- Và OM = ON (giả thiết)
- Nên M và N đối xứng qua O trên đường d
Xét tam giác AMN:
- Từ △MAO = △MBO: MA = MB
- Từ △NAO = △NBO: NA = NB
Vì A nằm cách đều M và N (cùng khoảng cách đến đường d), và OM = ON, nên AM = AN.
Đáp án câu c: Tam giác AMN cân tại A vì AM = AN
🎯 Ghi nhớ quan trọng: - Trong tam giác cân, đường trung tuyến từ đỉnh = đường cao = đường phân giác - Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45° - Đường trung trực của đoạn thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó - Mọi điểm trên đường trung trực cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng