Giải Toán 7 - Tập 1 trang 86

LUYỆN TẬP CHUNG

Trang 85-86 chứa phần Ví dụ 1 và Ví dụ 2 đã có lời giải mẫu trong sách. Phần BÀI TẬP bắt đầu từ bài 4.29.

---

Bài 4.29

Đề bài: Cho Hình 4.73. Hãy tìm số đo x, y của các góc và độ dài a, b của các đoạn thẳng trên hình vẽ.

(Hình 4.73: Tam giác có các góc 75°, 45°, 60°, 75° và các cạnh 4 cm, 3,3 cm)

---

Cách giải

Bước 1: Phân tích hình vẽ

Quan sát Hình 4.73, ta thấy có hai tam giác:

• Tam giác phía trên có các góc: 75°, 45°, và góc còn lại
• Tam giác phía dưới có các góc: góc x, 60°, 75°

Bước 2: Tìm góc x

Xét tam giác phía dưới (tam giác ABD):

• Tổng ba góc trong tam giác bằng 180°
• Ta có: x + 60° + 75° = 180°
• Suy ra: x = 180° - 60° - 75° = 45°

Bước 3: Tìm góc y

Xét tam giác phía trên (tam giác ABC):

• Góc tại A = 45°
• Góc tại C = 75°
• Ta có: 45° + y + 75° = 180°
• Suy ra: y = 180° - 45° - 75° = 60°

Bước 4: Tìm độ dài a và b

Nhận xét hai tam giác:

• Tam giác ABC có các góc: 45°, 60°, 75°
• Tam giác ABD có các góc: 45°, 60°, 75°

Hai tam giác có ba góc bằng nhau từng đôi một → Hai tam giác đồng dạng.

Xét sự tương ứng các cạnh đối diện với các góc bằng nhau:

• Cạnh đối diện góc 75° ở tam giác trên: 4 cm
• Cạnh đối diện góc 75° ở tam giác dưới: 3,3 cm

Do hai tam giác bằng nhau (cùng chung cạnh AB), ta có:

• a = 3,3 cm (cạnh đối diện góc 45°)
• b = 4 cm (cạnh đối diện góc 60°)

Đáp án: - x = 45° - y = 60° - a = 3,3 cm - b = 4 cm

---

Bài 4.30

Đề bài: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, M; trên tia Oy lấy hai điểm B, N sao cho OA = OB, OM = ON, OA > OM.

Chứng minh rằng:

• a) △OAN = △OBM
• b) △AMN = △BNM

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Phần a) Chứng minh △OAN = △OBM

Bước 1: Liệt kê giả thiết

• OA = OB (gt)
• OM = ON (gt)
• Góc O chung (góc xOy)

Bước 2: Xét hai tam giác OAN và OBM

Bước 3: Kết luận

△OAN = △OBM (c.g.c)

(Hai cạnh và góc xen giữa bằng nhau)

---

Phần b) Chứng minh △AMN = △BNM

Bước 1: Từ kết quả phần a

Vì △OAN = △OBM nên:

• AN = BM (hai cạnh tương ứng)
• Góc OAN = Góc OBM (hai góc tương ứng)

Bước 2: Tính AM và BN

• AM = OA - OM (vì M nằm giữa O và A do OA > OM)
• BN = OB - ON (vì N nằm giữa O và B do OB > ON)

Mà OA = OB và OM = ON nên:

• AM = BN

Bước 3: Xét hai tam giác AMN và BNM

Bước 4: Kết luận

△AMN = △BNM (c.c.c)

(Ba cạnh bằng nhau)

---

Cách 2 — Trình bày gọn

a) Xét △OAN và △OBM có:

• OA = OB (gt)
• Góc AON = Góc BOM (góc chung)
• ON = OM (gt)

⇒ △OAN = △OBM (c.g.c)

b) Từ △OAN = △OBM ⇒ AN = BM

Ta có: AM = OA - OM = OB - ON = BN

Xét △AMN và △BNM có:

• AM = BN (cmt)
• AN = BM (cmt)
• MN là cạnh chung

⇒ △AMN = △BNM (c.c.c)

💡 Mẹo nhớ: Khi có OA = OB và OM = ON, nghĩ ngay đến việc tính hiệu AM = OA - OM và BN = OB - ON để suy ra AM = BN.

---

Bài 4.31

Đề bài: Cho Hình 4.74, biết OA = OB, OC = OD. Chứng minh rằng:

• a) AC = BD
• b) △ACD = △BDC

(Hình 4.74: Hình thoi với tâm O, các đỉnh A, B, C, D)

---

Cách giải

Phần a) Chứng minh AC = BD

Bước 1: Xét hai tam giác OAC và OBD

Bước 2: Kết luận

△OAC = △OBD (c.g.c)

Suy ra: AC = BD (hai cạnh tương ứng)

Đáp án phần a: AC = BD

---

Phần b) Chứng minh △ACD = △BDC

Bước 1: Xác định các yếu tố bằng nhau

Từ phần a: AC = BD

Ta cần chứng minh thêm:

• AD = BC
• CD là cạnh chung

Bước 2: Chứng minh AD = BC

Xét △OAD và △OBC:

• OA = OB (gt)
• Góc AOD = Góc BOC (đối đỉnh)
• OD = OC (gt)

⇒ △OAD = △OBC (c.g.c)

⇒ AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Bước 3: Xét hai tam giác ACD và BDC

Bước 4: Kết luận

△ACD = △BDC (c.c.c)

---

Cách 2 — Trình bày liền mạch

a) Xét △OAC và △OBD có:

• OA = OB (gt)
• Góc AOC = Góc BOD (hai góc đối đỉnh)
• OC = OD (gt)

⇒ △OAC = △OBD (c.g.c) ⇒ AC = BD

b) Tương tự, xét △OAD và △OBC có:

• OA = OB, Góc AOD = Góc BOC (đối đỉnh), OD = OC

⇒ △OAD = △OBC (c.g.c) ⇒ AD = BC

Xét △ACD và △BDC có: AC = BD, AD = BC, CD chung

⇒ △ACD = △BDC (c.c.c)

💡 Mẹo nhớ: Khi có hai đường chéo cắt nhau tại O với OA = OB, OC = OD, luôn nghĩ đến góc đối đỉnh để chứng minh các tam giác bằng nhau.

---

Bài 4.32

Đề bài: Cho tam giác MBC vuông tại M có góc B = 60°. Gọi A là điểm nằm trên tia đối của tia MB sao cho MA = MB. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

---

Cách 1 — Phương pháp chứng minh ba cạnh bằng nhau

Bước 1: Phân tích đề bài

• △MBC vuông tại M ⇒ Góc M = 90°
• Góc B = 60°
• A nằm trên tia đối của tia MB ⇒ M nằm giữa A và B
• MA = MB

Bước 2: Tính góc C trong tam giác MBC

Tổng ba góc trong tam giác MBC:

• Góc M + Góc B + Góc C = 180°
• 90° + 60° + Góc C = 180°
• Góc C = 30°

Bước 3: Xét tam giác AMC

• Góc AMC = 180° - 90° = 90° (góc kề bù với góc BMC)
• Vậy △AMC cũng vuông tại M

Bước 4: Chứng minh △AMC = △BMC

Xét △AMC và △BMC:

• Góc AMC = Góc BMC = 90°
• MA = MB (gt)
• MC là cạnh chung

⇒ △AMC = △BMC (hai cạnh góc vuông)

Bước 5: Suy ra các yếu tố bằng nhau

Từ △AMC = △BMC:

• AC = BC (hai cạnh tương ứng)
• Góc MAC = Góc MBC = 60°

Bước 6: Tính góc trong tam giác ABC

• Góc ABC = Góc MBC = 60°
• Góc BAC = Góc MAC = 60°
• Góc ACB = Góc ACM + Góc MCB = 30° + 30° = 60°

(Vì △AMC = △BMC nên góc ACM = góc BCM = 30°)

Bước 7: Kết luận

Tam giác ABC có ba góc đều bằng 60°.

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

---

Cách 2 — Sử dụng tính chất tam giác vuông

Bước 1: Trong △MBC vuông tại M, góc B = 60° ⇒ góc C = 30°

Bước 2: Vì A nằm trên tia đối của MB nên góc AMC = 90° (kề bù với góc BMC)

Bước 3: Xét △AMC vuông tại M:

• MA = MB (gt)
• MC chung với △BMC

⇒ △AMC = △BMC (hai cạnh góc vuông)

Bước 4: Từ đó:

• AC = BC
• Góc CAM = Góc CBM = 60°

Bước 5: Trong △ABC:

• Góc A = 60°, Góc B = 60°
• ⇒ Góc C = 180° - 60° - 60° = 60°

Kết luận: △ABC có ba góc bằng 60° nên là tam giác đều.

---

🎯 Ghi nhớ: - Trường hợp bằng nhau c.g.c: Hai cạnh và góc xen giữa bằng nhau - Trường hợp bằng nhau c.c.c: Ba cạnh bằng nhau - Tam giác đều: Có ba góc bằng 60° hoặc ba cạnh bằng nhau - Góc đối đỉnh: Hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau - Đường trung trực: Mọi điểm trên đường trung trực cách đều hai đầu đoạn thẳng