Giải Toán 7 - Tập 1 trang 87
Lời giải chi tiết SGK Lớp 7 · Môn ToĂ¡n · Trang 87–88
BÀI TẬP (Trang 86)
Bài 4.29
Đề bài: Cho Hình 4.73. Hãy tìm số đo x, y của các góc và độ dài a, b của các đoạn thẳng trên hình vẽ.
(Hình 4.73: Có tam giác với các góc 75°, 45°, 60° và các cạnh 4 cm, 3,3 cm)
Cách giải
Phân tích hình vẽ:
- Tam giác có góc C = 75°, góc tại A có phần x và 45°, góc tại B có phần y và 60°
- Góc D = 75°
- Cạnh trên = 4 cm, cạnh a nằm cạnh góc 75°
- Cạnh dưới = 3,3 cm, cạnh b nằm bên trái
Tìm x:
Xét tam giác bên trái (tam giác ACD):
- Tổng ba góc trong tam giác = 180°
- Ta có: x + 45° + 75° + góc còn lại = 180°
Quan sát hình: Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.
- Góc C = 75°, góc D = 75° → Tam giác cân tại đỉnh có góc 75°
Trong tam giác có góc x:
- x + (x + 20°) + (x + 10°) = 180° (nếu là tam giác cân)
Từ hình vẽ, xét tam giác trên bên trái:
- Góc đỉnh = x
- Hai góc đáy: (x + 20°) và (x + 10°)
Tổng ba góc: x + (x + 20°) + (x + 10°) = 180°
→ 3x + 30° = 180°
→ 3x = 150°
→ x = 50°
Tìm y:
Xét tam giác bên phải:
- Góc đỉnh = y
- Hai góc đáy: 60° và 2y
Tổng ba góc: y + 60° + 2y = 180°
→ 3y + 60° = 180°
→ 3y = 120°
→ y = 40°
Tìm a và b:
Từ tính chất tam giác cân (hai cạnh bên bằng nhau):
- Cạnh a = 4 cm (cạnh đối diện với góc bằng nhau trong tam giác cân)
- Cạnh b = 3,3 cm (cạnh đối diện với góc bằng nhau trong tam giác cân)
Đáp án: - x = 50° - y = 40° - a = 4 cm - b = 3,3 cm
Bài 4.30
Đề bài: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, M; trên tia Oy lấy hai điểm B, N sao cho OA = OB, OM = ON, OA > OM.
Chứng minh rằng:
a) △OAN = △OBM
b) △AMN = △BNM
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
a) Chứng minh △OAN = △OBM
Xét △OAN và △OBM, ta có:
- OA = OB (giả thiết)
- Góc AON = góc BOM (góc chung, cùng là góc xOy)
- ON = OM (giả thiết)
→ △OAN = △OBM (c.g.c: cạnh – góc – cạnh)
Kết luận: △OAN = △OBM (c.g.c)
b) Chứng minh △AMN = △BNM
Từ △OAN = △OBM (chứng minh trên), suy ra:
- AN = BM (hai cạnh tương ứng)
- Góc OAN = góc OBM (hai góc tương ứng)
Ta có:
- OA = OB và OM = ON
- Suy ra: OA – OM = OB – ON
- Hay: AM = BN
Xét △AMN và △BNM, ta có:
- AM = BN (chứng minh trên)
- AN = BM (chứng minh trên)
- MN là cạnh chung
→ △AMN = △BNM (c.c.c: cạnh – cạnh – cạnh)
Kết luận: △AMN = △BNM (c.c.c)
Bài 4.31
Đề bài: Cho Hình 4.74, biết OA = OB, OC = OD. Chứng minh rằng:
a) AC = BD
b) △ACD = △BDC
Cách giải
a) Chứng minh AC = BD
Xét △OAC và △OBD, ta có:
- OA = OB (giả thiết)
- Góc AOC = góc BOD (hai góc đối đỉnh)
- OC = OD (giả thiết)
→ △OAC = △OBD (c.g.c)
Suy ra: AC = BD (hai cạnh tương ứng)
Kết luận: AC = BD
b) Chứng minh △ACD = △BDC
Từ △OAC = △OBD, suy ra:
- Góc OCA = góc ODB (hai góc tương ứng)
Xét △ACD và △BDC, ta có:
- AC = BD (chứng minh trên)
- Góc ACD = góc BDC (chứng minh trên)
- CD là cạnh chung
→ △ACD = △BDC (c.g.c)
Kết luận: △ACD = △BDC (c.g.c)
Bài 4.32
Đề bài: Cho tam giác MBC vuông tại M có góc B = 60°. Gọi A là điểm nằm trên tia đối của tia MB sao cho MA = MB. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Cách giải
Bước 1: Tính các góc của tam giác MBC
Tam giác MBC vuông tại M:
- Góc M = 90°
- Góc B = 60°
- Góc C = 180° – 90° – 60° = 30°
Bước 2: Xét tam giác AMC
Vì A nằm trên tia đối của tia MB nên M nằm giữa A và B.
- Góc AMC = 180° – góc BMC = 180° – 90° = 90°
Xét △AMC vuông tại M:
- MA = MB (giả thiết)
- Góc AMC = 90°
Bước 3: Chứng minh △AMC = △BMC
Xét △AMC và △BMC, ta có:
- AM = BM (giả thiết)
- Góc AMC = góc BMC = 90°
- MC là cạnh chung
→ △AMC = △BMC (c.g.c)
Suy ra: AC = BC (hai cạnh tương ứng)
Bước 4: Tính góc của tam giác ABC
Từ △AMC = △BMC:
- Góc MAC = góc MBC = 60°
Trong tam giác ABC:
- Góc ABC = 60°
- Góc BAC = 60°
- Góc ACB = góc ACM + góc MCB = 30° + 30° = 60°
Bước 5: Kết luận
Tam giác ABC có ba góc đều bằng 60°.
Kết luận: Tam giác ABC là tam giác đều (vì có ba góc bằng nhau và bằng 60°)
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV (Trang 87)
Bài 4.33
Đề bài: Tính các số đo x, y trong các tam giác dưới đây (H.4.75).
(Hình 4.75: Hai tam giác cân với các góc được đánh dấu)
Cách giải
Tam giác bên trái:
Tam giác cân có:
- Góc đỉnh = x
- Hai góc đáy: (x + 20°) và (x + 10°)
Vì tam giác cân nên hai góc đáy bằng nhau:
→ x + 20° = x + 10° (Điều này vô lý)
Xét lại: Đây là tam giác có ba góc là x, (x + 20°), (x + 10°).
Tổng ba góc trong tam giác = 180°:
x + (x + 20°) + (x + 10°) = 180°
3x + 30° = 180°
3x = 150°
x = 50°
Tam giác bên phải:
Tam giác cân có:
- Góc đỉnh = y
- Hai góc đáy: 60° và 2y
Tổng ba góc trong tam giác = 180°:
y + 60° + 2y = 180°
3y + 60° = 180°
3y = 120°
y = 40°
Đáp án: - x = 50° - y = 40°
💡 Mẹo nhớ: Tổng ba góc trong tam giác luôn bằng 180°. Lập phương trình rồi giải tìm ẩn.
Bài 4.34
Đề bài: Trong Hình 4.76, có AM = BM, AN = BN. Chứng minh rằng góc MAN = góc MBN.
Cách giải
Xét △MAN và △MBN, ta có:
- MA = MB (giả thiết)
- NA = NB (giả thiết)
- MN là cạnh chung
→ △MAN = △MBN (c.c.c)
Suy ra: Góc MAN = góc MBN (hai góc tương ứng)
Kết luận: Góc MAN = góc MBN (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
Bài 4.35
Đề bài: Trong Hình 4.77, có AO = BO, góc OAM = góc OBN. Chứng minh rằng AM = BN.
Cách giải
Xét △OAM và △OBN, ta có:
- OA = OB (giả thiết)
- Góc OAM = góc OBN (giả thiết)
- Góc AOM = góc BON (hai góc đối đỉnh)
→ △OAM = △OBN (g.c.g: góc – cạnh – góc)
Suy ra: AM = BN (hai cạnh tương ứng)
Kết luận: AM = BN
Bài 4.36
Đề bài: Trong Hình 4.78, có AN = BM, góc BAN = góc ABM. Chứng minh rằng góc BAM = góc ABN.
Cách giải
Xét △BAN và △ABM, ta có:
- AN = BM (giả thiết)
- Góc BAN = góc ABM (giả thiết)
- AB là cạnh chung
→ △BAN = △ABM (c.g.c)
Suy ra: Góc ABN = góc BAM (hai góc tương ứng)
Kết luận: Góc BAM = góc ABN
Bài 4.37
Đề bài: Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MB = NB và góc AMB = góc ANB.
Cách giải
Bước 1: Sử dụng tính chất đường trung trực
Vì M nằm trên đường trung trực của AB nên: MA = MB
Vì N nằm trên đường trung trực của AB nên: NA = NB
Bước 2: Chứng minh MB = NB
Ta có:
- MA = MB (tính chất đường trung trực)
- NA = NB (tính chất đường trung trực)
- AM = AN (giả thiết)
Từ MA = MB và NA = NB, mà AM = AN
→ MB = MA = AN = NB
→ MB = NB
Bước 3: Chứng minh góc AMB = góc ANB
Xét △AMB và △ANB, ta có:
- AM = AN (giả thiết)
- MB = NB (chứng minh trên)
- AB là cạnh chung
→ △AMB = △ANB (c.c.c)
Suy ra: Góc AMB = góc ANB (hai góc tương ứng)
Kết luận: MB = NB và góc AMB = góc ANB
Bài 4.38
Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 120°. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh:
a) △BAM = △CAN
b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.
Cách giải
a) Chứng minh △BAM = △CAN
Tam giác ABC cân tại A có góc A = 120°:
- Góc ABC = góc ACB = (180° – 120°)/2 = 30°
Vì MA ⊥ AB nên góc MAB = 90°
Vì NA ⊥ AC nên góc NAC = 90°
Trong tam giác ABM vuông tại A:
- Góc ABM = 30°
- Góc AMB = 180° – 90° – 30° = 60°
Trong tam giác ACN vuông tại A:
- Góc ACN = 30°
- Góc ANC = 180° – 90° – 30° = 60°
Xét △BAM và △CAN, ta có:
- Góc BAM = góc CAN = 90°
- AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
- Góc ABM = góc ACN = 30°
→ △BAM = △CAN (g.c.g)
Kết luận phần a: △BAM = △CAN (g.c.g)
b) Chứng minh các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M
Từ △BAM = △CAN, suy ra:
- AM = AN (hai cạnh tương ứng)
- BM = CN (hai cạnh tương ứng)
Xét tam giác ANB:
- Góc NAC = 90° → Góc NAB = góc NAC + góc CAB = 90° + ...
Ta có góc ANB:
Trong △ANB: góc ANB = góc ANC + góc CNB
Vì AN ⊥ AC và góc ANC = 60°, ta tính góc BNA.
Góc NAB = 120° – 90° = 30° (vì góc NAC = 90°, góc BAC = 120°)
Trong △ANB:
- Góc NAB = 30°
- Góc ABN = 30°
→ Góc ANB = 180° – 30° – 30° = 120°
Vì góc NAB = góc ABN = 30° nên △ANB cân tại N (NA = NB)
Kết luận: △ANB cân tại N
Xét tam giác AMC:
Tương tự, góc MAC = 120° – 90° = 30°
Góc ACM = 30°
Trong △AMC:
- Góc MAC = 30°
- Góc ACM = 30°
→ △AMC cân tại M (MA = MC)
Kết luận: △AMC cân tại M
Bài 4.39
Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho góc CAM = 30°. Chứng minh rằng:
a) Tam giác CAM cân tại M
b) Tam giác BAM là tam giác đều
c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC
Cách giải
Tính các góc của tam giác ABC:
- Góc A = 90°
- Góc B = 60°
- Góc C = 180° – 90° – 60° = 30°
a) Chứng minh tam giác CAM cân tại M
Trong tam giác CAM:
- Góc ACM = góc C = 30°
- Góc CAM = 30° (giả thiết)
- Góc AMC = 180° – 30° – 30° = 120°
Vì góc ACM = góc CAM = 30° nên tam giác CAM cân tại M.
Kết luận phần a: Tam giác CAM cân tại M (vì có hai góc bằng nhau)
b) Chứng minh tam giác BAM là tam giác đều
Ta có:
- Góc BAC = 90°
- Góc CAM = 30°
→ Góc BAM = 90° – 30° = 60°
Trong tam giác BAM:
- Góc ABM = góc B = 60°
- Góc BAM = 60°
- Góc AMB = 180° – 60° – 60° = 60°
Tam giác BAM có ba góc đều bằng 60°.
Kết luận phần b: Tam giác BAM là tam giác đều (vì có ba góc bằng 60°)
c) Chứng minh M là trung điểm của BC
Từ phần a: Tam giác CAM cân tại M → MC = MA
Từ phần b: Tam giác BAM đều → MA = MB
Suy ra: MC = MA = MB
Do đó: MC = MB
Kết luận phần c: M là trung điểm của BC (vì MB = MC)
🎯 Ghi nhớ: - Trường hợp bằng nhau của tam giác: c.c.c (cạnh – cạnh – cạnh), c.g.c (cạnh – góc – cạnh), g.c.g (góc – cạnh – góc) - Tam giác cân: Có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau - Tam giác đều: Có ba cạnh bằng nhau hoặc ba góc bằng 60° - Đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu đoạn thẳng đó