Giải Toán 8 - Tập 2 trang 22
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 22–23
Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
- Nhân phân thức: $\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D}=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot D}$
- Chia phân thức: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}$ (với $\dfrac{C}{D}\ne 0$)
- Sau khi nhân/chia, luôn phân tích thành nhân tử để rút gọn.
- Các hằng đẳng thức hay dùng: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$; $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Vận dụng: Bài toán vay trả góp
Đề: Bác Châu vay 1,2 tỉ = 1200 triệu, trả góp trong $y$ tháng. Mỗi tháng trả tiền gốc (gốc chia đều) cộng tiền lãi (gốc nhân lãi suất tháng).
a) Lập công thức:
- Tiền gốc mỗi tháng: $\dfrac{1200}{y}$ (triệu)
- Lãi suất tháng: $\dfrac{r}{12}$ → tiền lãi mỗi tháng: $1200\cdot\dfrac{r}{12}=100r$
$$x=\frac{1200}{y}+100r$$
Suy ra lãi suất năm:
$$100r=x-\frac{1200}{y}\ \Rightarrow\ r=\frac{xy-1200}{100y}$$
b) Thay $x=30,\ y=48$:
$$r=\frac{30\cdot 48-1200}{100\cdot 48}=\frac{1440-1200}{4800}=\frac{240}{4800}=0{,}05=5\%$$
Vậy nếu trả 30 triệu/tháng trong 4 năm thì lãi suất năm là 5%.
Bài 6.26: Làm tính nhân phân thức
a) $\left(-\dfrac{3x}{5xy^2}\right)\cdot\left(-\dfrac{5y^2}{12xy}\right)$
Tích hai số âm là số dương:
$$=\frac{3x\cdot 5y^2}{5xy^2\cdot 12xy}=\frac{15xy^2}{60x^2y^3}=\boxed{\frac{1}{4xy}}$$
b) $\dfrac{x^2-x}{2x+1}\cdot\dfrac{4x^2-1}{x^3-1}$
Phân tích: $x^2-x=x(x-1)$; $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$; $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$.
$$=\frac{x(x-1)(2x-1)(2x+1)}{(2x+1)(x-1)(x^2+x+1)}=\boxed{\frac{x(2x-1)}{x^2+x+1}}$$
Bài 6.27: Làm tính chia phân thức
a) $\left(-\dfrac{3x}{5xy^2}\right):\left(-\dfrac{5y^2}{12xy}\right)$
Đổi chia thành nhân nghịch đảo:
$$=\left(-\frac{3x}{5xy^2}\right)\cdot\left(-\frac{12xy}{5y^2}\right)=\frac{3x\cdot 12xy}{5xy^2\cdot 5y^2}=\frac{36x^2y}{25xy^4}=\boxed{\frac{36x}{25y^3}}$$
b) $\dfrac{4x^2-1}{8x^3-1}:\dfrac{4x^2+4x+1}{4x^2+2x+1}$
Phân tích: $8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1)$; $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$; $4x^2+4x+1=(2x+1)^2$.
$$=\frac{(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}\cdot\frac{4x^2+2x+1}{(2x+1)^2}=\boxed{\frac{1}{2x+1}}$$
Bài 6.28: Tìm phân thức P và Q
a) $P\cdot\dfrac{x+1}{2x+1}=\dfrac{x^2+x}{4x^2-1}$
$$P=\frac{x^2+x}{4x^2-1}\cdot\frac{2x+1}{x+1}=\frac{x(x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)(x+1)}=\boxed{\frac{x}{2x-1}}$$
b) $Q:\dfrac{x^2}{x^2+4x+4}=\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2-2x}$
$$Q=\frac{(x+1)(x+2)}{x^2-2x}\cdot\frac{x^2}{x^2+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)\cdot x^2}{x(x-2)(x+2)^2}=\boxed{\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+2)}}$$
Bài 6.29: Rút gọn rồi tính P·Q và P:Q
a) Rút gọn:
$$P=\frac{x^2+6x+9}{x^2+3x}=\frac{(x+3)^2}{x(x+3)}=\frac{x+3}{x}$$
$$Q=\frac{x^2+3x}{x^2-9}=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x}{x-3}$$
b) Tính:
$$P\cdot Q=\frac{x+3}{x}\cdot\frac{x}{x-3}=\boxed{\frac{x+3}{x-3}}$$
$$P:Q=\frac{x+3}{x}\cdot\frac{x-3}{x}=\frac{(x+3)(x-3)}{x^2}=\boxed{\frac{x^2-9}{x^2}}$$
Bài 6.30: Trở lại tình huống Vận dụng
Dùng công thức $r=\dfrac{xy-1200}{100y}$.
a) Trả 15 triệu/tháng trong 10 năm $\Rightarrow x=15,\ y=120$:
$$r=\frac{15\cdot 120-1200}{100\cdot 120}=\frac{1800-1200}{12000}=\frac{600}{12000}=0{,}05=5\%$$
Tổng số tiền thực tế phải trả: $15\times 120=1800$ triệu $=1{,}8$ tỉ.
Chênh lệch so với khoản vay: $1800-1200=600$ triệu đồng.
b) Ý nghĩa các điều kiện:
- $x>0$: số tiền trả mỗi tháng phải là số dương (thực tế phải trả tiền).
- $y>0$: số tháng vay là số dương.
- $xy>1200$: tổng số tiền trả ($xy$ triệu) phải lớn hơn số tiền vay (1200 triệu). Điều này hợp lý vì vay có lãi nên tổng trả luôn lớn hơn gốc, đảm bảo lãi suất $r>0$.
Luyện tập chung (Trang 23)
Phần này gồm hai ví dụ mẫu đã có lời giải trong sách. Cô tóm tắt ý chính để em nắm phương pháp.
Ví dụ 1: Kỹ thuật "tách phân thức"
a) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x(x+1)}$
b) Nhờ kết quả câu a, mỗi phân thức tách thành hiệu hai phân thức rồi triệt tiêu liên tiếp (telescoping):
$$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{3}{x(x+3)}$$
c) Biểu thức số $\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}$ chính là biểu thức câu b tại $x=1$:
$$\frac{3}{1\cdot(1+3)}=\frac{3}{4}$$
Bài học: nhận ra cấu trúc lặp giúp tính nhanh, tránh quy đồng cồng kềnh.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức phức hợp
$$P=\frac{x+1}{x^3-1}\left[(4x^2-1)\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1}+1\right)-5\right]$$
Xử lý trong ngoặc trước (nhân phân phối):
$$(4x^2-1)\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1}+1\right)=(2x+1)-(2x-1)+4x^2-1=4x^2+1$$
Thay vào:
$$P=\frac{x+1}{x^3-1}\big[4x^2+1-5\big]=\frac{(x+1)(4x^2-4)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{(x+1)\cdot 4(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{4(x+1)^2}{x^2+x+1}$$
Bài học: làm gọn từng cụm theo thứ tự ưu tiên, phân tích nhân tử để rút gọn triệt để.
Em muốn cô giải kỹ thêm ví dụ nào, hoặc luyện thêm dạng bài tương tự thì nói cô nhé!