Giải Toán 8 - Tập 2 trang 24
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 24–25
BÀI TẬP (Trang 24)
Bài 6.31
Đề bài: Thực hiện các phép tính:
a) 1/(xy) + 1/(yz) + 1/(zx)
b) x/(2x − y) + y/(2x + y) + 3xy/(y² − 4x²)
Câu a) 1/(xy) + 1/(yz) + 1/(zx)
Cách 1 — Quy đồng mẫu thức
Bước 1: Tìm mẫu thức chung (MTC)
- Mẫu 1: xy
- Mẫu 2: yz
- Mẫu 3: zx
MTC = xyz
Bước 2: Quy đồng các phân thức
- 1/(xy) = z/(xyz)
- 1/(yz) = x/(xyz)
- 1/(zx) = y/(xyz)
Bước 3: Cộng các phân thức
1/(xy) + 1/(yz) + 1/(zx) = z/(xyz) + x/(xyz) + y/(xyz)
= (z + x + y)/(xyz)
= (x + y + z)/(xyz)
Đáp án: (x + y + z)/(xyz)
Cách 2 — Nhân cả tử và mẫu
Nhận xét: Mỗi phân thức thiếu một biến ở mẫu, ta nhân thêm biến đó.
- 1/(xy) × (z/z) = z/(xyz)
- 1/(yz) × (x/x) = x/(xyz)
- 1/(zx) × (y/y) = y/(xyz)
Kết quả: (x + y + z)/(xyz)
Câu b) x/(2x − y) + y/(2x + y) + 3xy/(y² − 4x²)
Cách 1 — Quy đồng mẫu thức
Bước 1: Phân tích mẫu thức
- Mẫu 1: 2x − y
- Mẫu 2: 2x + y
- Mẫu 3: y² − 4x² = (y − 2x)(y + 2x) = −(2x − y)(2x + y)
Bước 2: Xác định MTC
MTC = (2x − y)(2x + y)
Bước 3: Quy đồng
- x/(2x − y) = x(2x + y)/[(2x − y)(2x + y)]
- y/(2x + y) = y(2x − y)/[(2x − y)(2x + y)]
- 3xy/(y² − 4x²) = 3xy/[−(2x − y)(2x + y)] = −3xy/[(2x − y)(2x + y)]
Bước 4: Cộng các phân thức
Tử số = x(2x + y) + y(2x − y) − 3xy
= 2x² + xy + 2xy − y² − 3xy
= 2x² + xy + 2xy − 3xy − y²
= 2x² + 0 − y²
= 2x² − y²
Bước 5: Kết quả
= (2x² − y²)/[(2x − y)(2x + y)]
= (2x² − y²)/(4x² − y²)
Đáp án: (2x² − y²)/(4x² − y²)
Bài 6.32
Đề bài: Thực hiện các phép tính:
a) [(4x − 6)/(5x² − x)] × [(25x² − 10x + 1)/(27 − 8x³)]
b) [(2x + 10)/(x − 3)²] ÷ [(x + 5)³/(x² − 9)]
Câu a) [(4x − 6)/(5x² − x)] × [(25x² − 10x + 1)/(27 − 8x³)]
Cách 1 — Phân tích nhân tử rồi rút gọn
Bước 1: Phân tích các đa thức
- 4x − 6 = 2(2x − 3)
- 5x² − x = x(5x − 1)
- 25x² − 10x + 1 = (5x − 1)²
- 27 − 8x³ = 3³ − (2x)³ = (3 − 2x)(9 + 6x + 4x²)
Bước 2: Viết lại biểu thức
= [2(2x − 3)]/[x(5x − 1)] × [(5x − 1)²]/[(3 − 2x)(9 + 6x + 4x²)]
Bước 3: Nhận xét
3 − 2x = −(2x − 3)
Bước 4: Thay vào và rút gọn
= [2(2x − 3)]/[x(5x − 1)] × [(5x − 1)²]/[−(2x − 3)(9 + 6x + 4x²)]
= [2(2x − 3)(5x − 1)²]/[−x(5x − 1)(2x − 3)(9 + 6x + 4x²)]
= [2(5x − 1)]/[−x(9 + 6x + 4x²)]
= −2(5x − 1)/[x(4x² + 6x + 9)]
Đáp án: −2(5x − 1)/[x(4x² + 6x + 9)] hay (2 − 10x)/[x(4x² + 6x + 9)]
Câu b) [(2x + 10)/(x − 3)²] ÷ [(x + 5)³/(x² − 9)]
Cách 1 — Đổi phép chia thành phép nhân
Bước 1: Phân tích nhân tử
- 2x + 10 = 2(x + 5)
- x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Bước 2: Đổi phép chia thành nhân với nghịch đảo
= [(2x + 10)/(x − 3)²] × [(x² − 9)/(x + 5)³]
= [2(x + 5)/(x − 3)²] × [(x − 3)(x + 3)/(x + 5)³]
Bước 3: Nhân và rút gọn
= [2(x + 5)(x − 3)(x + 3)]/[(x − 3)²(x + 5)³]
= [2(x + 3)]/[(x − 3)(x + 5)²]
Đáp án: 2(x + 3)/[(x − 3)(x + 5)²]
Bài 6.33
Đề bài: Thực hiện các phép tính:
a) [(4x² − 1)/(16x² − 1)] × [1/(2x + 1) + 1/(2x − 1) + 1/(1 − 4x²)]
b) [(x + y)/(xy) − 2/x] × [x³y³/(x³ − y³)]
Câu a) [(4x² − 1)/(16x² − 1)] × [1/(2x + 1) + 1/(2x − 1) + 1/(1 − 4x²)]
Cách giải
Bước 1: Phân tích nhân tử
- 4x² − 1 = (2x − 1)(2x + 1)
- 16x² − 1 = (4x − 1)(4x + 1)
- 1 − 4x² = −(4x² − 1) = −(2x − 1)(2x + 1)
Bước 2: Tính biểu thức trong ngoặc vuông
MTC = (2x + 1)(2x − 1)
1/(2x + 1) + 1/(2x − 1) + 1/(1 − 4x²)
= (2x − 1)/[(2x + 1)(2x − 1)] + (2x + 1)/[(2x + 1)(2x − 1)] + (−1)/[(2x + 1)(2x − 1)]
= [(2x − 1) + (2x + 1) − 1]/[(2x + 1)(2x − 1)]
= (4x − 1)/[(2x + 1)(2x − 1)]
Bước 3: Nhân hai phân thức
= [(2x − 1)(2x + 1)]/[(4x − 1)(4x + 1)] × [(4x − 1)]/[(2x + 1)(2x − 1)]
= (4x − 1)/[(4x − 1)(4x + 1)]
= 1/(4x + 1)
Đáp án: 1/(4x + 1)
Câu b) [(x + y)/(xy) − 2/x] × [x³y³/(x³ − y³)]
Cách giải
Bước 1: Tính biểu thức trong ngoặc đầu
(x + y)/(xy) − 2/x
MTC = xy
= (x + y)/(xy) − 2y/(xy)
= (x + y − 2y)/(xy)
= (x − y)/(xy)
Bước 2: Phân tích x³ − y³
x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
Bước 3: Nhân hai phân thức
= [(x − y)/(xy)] × [x³y³/((x − y)(x² + xy + y²))]
= [(x − y) × x³y³]/[xy × (x − y)(x² + xy + y²)]
= x³y³/[xy(x² + xy + y²)]
= x²y²/(x² + xy + y²)
Đáp án: x²y²/(x² + xy + y²)
Bài 6.34
Đề bài: Cho biểu thức P = (x² − 6x + 9)/(9 − x²) + (4x + 8)/(x + 3)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P tại x = 7.
c) Chứng tỏ P = 3 + 2/(x + 3). Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.
Câu a) Rút gọn P
Cách giải
Bước 1: Phân tích nhân tử
- x² − 6x + 9 = (x − 3)²
- 9 − x² = (3 − x)(3 + x) = −(x − 3)(x + 3)
- 4x + 8 = 4(x + 2)
Bước 2: Viết lại P
P = (x − 3)²/[−(x − 3)(x + 3)] + 4(x + 2)/(x + 3)
= −(x − 3)/(x + 3) + 4(x + 2)/(x + 3)
Bước 3: Cộng hai phân thức (cùng mẫu)
P = [−(x − 3) + 4(x + 2)]/(x + 3)
= (−x + 3 + 4x + 8)/(x + 3)
= (3x + 11)/(x + 3)
Đáp án: P = (3x + 11)/(x + 3) với x ≠ 3 và x ≠ −3
Câu b) Tính giá trị của P tại x = 7
Cách giải
Thay x = 7 vào P = (3x + 11)/(x + 3):
P = (3 × 7 + 11)/(7 + 3)
P = (21 + 11)/10
P = 32/10
P = 16/5
Đáp án: P = 16/5
💡 Mẹo bấm máy: Bấm(3×7+11)÷(7+3)=→ Kết quả: 16/5
Câu c) Chứng tỏ P = 3 + 2/(x + 3) và tìm x nguyên để P nguyên
Cách giải
Phần 1: Chứng minh
Ta có P = (3x + 11)/(x + 3)
Chia tử cho mẫu:
3x + 11 = 3(x + 3) + 2
Vậy: P = [3(x + 3) + 2]/(x + 3) = 3 + 2/(x + 3)
Kết luận: P = 3 + 2/(x + 3) (đpcm)
Phần 2: Tìm x nguyên để P nguyên
Để P nguyên thì 2/(x + 3) phải nguyên.
⇒ (x + 3) phải là ước của 2.
Ước của 2 là: −2, −1, 1, 2
| x + 3 | x |
|---|---|
| −2 | −5 |
| −1 | −4 |
| 1 | −2 |
| 2 | −1 |
Kiểm tra điều kiện: x ≠ 3 và x ≠ −3 → Tất cả đều thỏa mãn.
Đáp án: x ∈ {−5; −4; −2; −1}
Bài 6.35
Đề bài: Một xưởng may lập kế hoạch may 80 000 bộ quần áo trong x ngày. Nhờ cải tiến kĩ thuật, xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm 11 ngày và may vượt kế hoạch 100 bộ quần áo.
a) Hãy viết phân thức theo biến x biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được theo kế hoạch.
b) Viết phân thức biểu thị số bộ quần áo thực tế xưởng may được mỗi ngày.
c) Viết biểu thức biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch.
d) Nếu theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp may 800 bộ quần áo thì nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch bao nhiêu bộ quần áo?
Câu a) Số bộ quần áo mỗi ngày theo kế hoạch
Cách giải
Theo kế hoạch:
- Tổng số bộ quần áo: 80 000 bộ
- Số ngày: x ngày
Số bộ quần áo mỗi ngày theo kế hoạch = Tổng số bộ ÷ Số ngày
Đáp án: 80000/x (bộ/ngày)
Câu b) Số bộ quần áo thực tế mỗi ngày
Cách giải
Thực tế:
- Tổng số bộ quần áo: 80 000 + 100 = 80 100 bộ
- Số ngày thực tế: x − 11 ngày
Số bộ quần áo thực tế mỗi ngày = 80100/(x − 11)
Đáp án: 80100/(x − 11) (bộ/ngày)
Câu c) Số bộ quần áo mỗi ngày nhiều hơn so với kế hoạch
Cách giải
Số bộ nhiều hơn = Số thực tế mỗi ngày − Số kế hoạch mỗi ngày
= 80100/(x − 11) − 80000/x
Quy đồng với MTC = x(x − 11):
= [80100x − 80000(x − 11)]/[x(x − 11)]
= [80100x − 80000x + 880000]/[x(x − 11)]
= (100x + 880000)/[x(x − 11)]
Đáp án: (100x + 880000)/[x(x − 11)] (bộ/ngày)
Câu d) Tính số bộ nhiều hơn khi mỗi ngày theo kế hoạch may 800 bộ
Cách giải
Bước 1: Tìm x
Theo kế hoạch mỗi ngày may 800 bộ:
80000/x = 800
x = 80000/800 = 100 (ngày)
Bước 2: Thay x = 100 vào biểu thức ở câu c
Số bộ nhiều hơn = (100 × 100 + 880000)/[100 × (100 − 11)]
= (10000 + 880000)/(100 × 89)
= 890000/8900
= 100 (bộ)
Đáp án: Mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn 100 bộ quần áo so với kế hoạch.
💡 Mẹo bấm máy: Bấm(100×100+880000)÷(100×89)=
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI (Trang 25)
A. TRẮC NGHIỆM
Bài 6.36
Đề bài: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. (x − 1)²/(x − 2) = (1 − x)²/(2 − x)
B. 3x/(x + 2)² = 3x/(x − 2)²
C. 3x/(x + 2)² = −3x/(x − 2)²
D. 3x/(x + 2)² = 3x/(−x − 2)²
Cách giải
Kiểm tra đáp án A:
- Vế trái: (x − 1)²/(x − 2)
- Vế phải: (1 − x)²/(2 − x)
Ta có: (1 − x)² = [−(x − 1)]² = (x − 1)²
Và: 2 − x = −(x − 2)
Vậy vế phải = (x − 1)²/[−(x − 2)] = −(x − 1)²/(x − 2)
⇒ Vế trái ≠ Vế phải → Sai
Kiểm tra đáp án D:
- Vế trái: 3x/(x + 2)²
- Vế phải: 3x/(−x − 2)²
Ta có: (−x − 2)² = [−(x + 2)]² = (x + 2)²
Vậy vế phải = 3x/(x + 2)² = Vế trái → Đúng
Đáp án: D
Bài 6.37
Đề bài: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. −6x/[−4x²(x + 2)²] = 3/[2x(x + 2)²]
B. −5/(−2) = 10/(4x)
C. (x + 1)/(x − 1) = (x² + x + 1)/(x² − x + 1)
D. −6x/[−4(−x)²(x − 2)²] = 3/[2x(−x + 2)²]
Cách giải
Kiểm tra đáp án B:
- Vế trái: −5/(−2) = 5/2
- Vế phải: 10/(4x) = 5/(2x)
Vế trái = 5/2 (hằng số), Vế phải = 5/(2x) (phụ thuộc x)
⇒ Hai vế không bằng nhau với mọi x → Sai
Kiểm tra đáp án C:
Thử x = 2:
- Vế trái: (2 + 1)/(2 − 1) = 3/1 = 3
- Vế phải: (4 + 2 + 1)/(4 − 2 + 1) = 7/3
3 ≠ 7/3 → Sai
Tuy nhiên, đáp án B rõ ràng sai hơn vì thiếu biến x ở vế trái.
Đáp án: B (hoặc C tùy cách hiểu đề)
Bài 6.38
Đề bài: Trong đẳng thức (2x² + 1)/(4x − 1) = (8x³ + 4x)/Q, Q là đa thức:
A. 4x
B. 4x²
C. 16x − 4
D. 16x² − 4x
Cách giải
Ta có: (2x² + 1)/(4x − 1) = (8x³ + 4x)/Q
⇒ Q = (8x³ + 4x)(4x − 1)/(2x² + 1)
Phân tích: 8x³ + 4x = 4x(2x² + 1)
⇒ Q = [4x(2x² + 1)(4x − 1)]/(2x² + 1)
⇒ Q = 4x(4x − 1)
⇒ Q = 16x² − 4x
Đáp án: D. 16x² − 4x
Bài 6.39
Đề bài: Nếu (−5x + 5)/(2xy) − (−9x − 7)/(2xy) = (bx + c)/(xy) thì b + c bằng:
A. −4
B. 8
C. 4
D. −10
Cách giải
Bước 1: Tính vế trái
(−5x + 5)/(2xy) − (−9x − 7)/(2xy)
= [(−5x + 5) − (−9x − 7)]/(2xy)
= (−5x + 5 + 9x + 7)/(2xy)
= (4x + 12)/(2xy)
= 2(2x + 6)/(2xy)
= (2x + 6)/(xy)
Bước 2: So sánh với vế phải
(2x + 6)/(xy) = (bx + c)/(xy)
⇒ b = 2, c = 6
⇒ b + c = 2 + 6 = 8
Đáp án: B. 8
Bài 6.40
Đề bài: Một ngân hàng huy động vốn với mức lãi suất một năm (tính theo %) là x. Để sau một năm, người gửi được lãi a đồng thì người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là:
A. 100a/x (đồng)
B. a/(x + 100) (đồng)
C. a/(x + 1) (đồng)
D. 100a/(x + 100) (đồng)
Cách giải
Gọi số tiền gửi ban đầu là T (đồng).
Lãi suất một năm là x% = x/100
Tiền lãi sau một năm = T × (x/100) = Tx/100
Theo đề: Tx/100 = a
⇒ T = 100a/x
Đáp án: A. 100a/x (đồng)
💡 Mẹo nhớ: Công thức tính lãi đơn: Lãi = Gốc × Lãi suất. Suy ra: Gốc = Lãi ÷ Lãi suất = a ÷ (x/100) = 100a/x
🎯 Ghi nhớ chương VI: - Khi cộng/trừ phân thức: Quy đồng mẫu rồi cộng/trừ tử số. - Khi nhân phân thức: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu, rồi rút gọn. - Khi chia phân thức: Nhân với nghịch đảo của phân thức chia. - Luôn phân tích nhân tử trước khi thực hiện phép tính để dễ rút gọn. - Chú ý điều kiện xác định của phân thức (mẫu ≠ 0).