Giải Toán 8 - Tập 2 trang 20
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 20–21
Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số
HĐ1 (Hoạt động 1)
Đề bài: Làm theo hướng dẫn của anh Pi trong tình huống mở đầu để nhân hai phân thức 2x/(x+1) và (x-1)/x.
Cách giải
Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.
Bước 1: Xác định tử và mẫu của từng phân thức
- Phân thức 1: tử là 2x, mẫu là (x + 1)
- Phân thức 2: tử là (x - 1), mẫu là x
Bước 2: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
2x/(x+1) × (x-1)/x = (2x × (x-1)) / ((x+1) × x)
Bước 3: Thực hiện phép nhân
= 2x(x - 1) / (x(x + 1))
Bước 4: Rút gọn (nếu được)
Tử: 2x(x - 1)
Mẫu: x(x + 1)
Ta thấy cả tử và mẫu đều có thừa số chung là x, nên:
= 2(x - 1) / (x + 1)
Đáp án: 2x/(x+1) × (x-1)/x = 2(x - 1)/(x + 1)
Luyện tập 1
Đề bài: Làm tính nhân:
a) x/(x+y) × (2x+2y)/(3xy)
b) 3x/(4x² - 1) × (-2x+1)/(2x²)
Câu a
Đề bài: x/(x+y) × (2x+2y)/(3xy)
Cách 1 — Phân tích nhân tử rồi rút gọn
Bước 1: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
= (x × (2x + 2y)) / ((x + y) × 3xy)
Bước 2: Phân tích nhân tử ở tử số
Tử số: x × (2x + 2y) = x × 2(x + y) = 2x(x + y)
Bước 3: Viết lại phân thức
= 2x(x + y) / (3xy(x + y))
Bước 4: Rút gọn nhân tử chung (x + y)
= 2x / (3xy)
Bước 5: Rút gọn tiếp nhân tử chung x
= 2 / (3y)
Đáp án: x/(x+y) × (2x+2y)/(3xy) = 2/(3y)
Cách 2 — Phân tích trước khi nhân
Bước 1: Phân tích 2x + 2y = 2(x + y)
x/(x+y) × 2(x+y)/(3xy)
Bước 2: Rút gọn (x + y) trước khi nhân
= x/1 × 2/(3xy)
= 2x/(3xy)
Bước 3: Rút gọn x
= 2/(3y)
Đáp án: 2/(3y)
💡 Mẹo nhớ: Luôn phân tích nhân tử TRƯỚC khi nhân để dễ rút gọn hơn!
Câu b
Đề bài: 3x/(4x² - 1) × (-2x+1)/(2x²)
Cách 1 — Phân tích nhân tử rồi rút gọn
Bước 1: Phân tích mẫu 4x² - 1
Đây là hiệu hai bình phương: 4x² - 1 = (2x)² - 1² = (2x - 1)(2x + 1)
Bước 2: Phân tích tử -2x + 1
-2x + 1 = -(2x - 1)
Bước 3: Viết lại phép nhân
= 3x/((2x-1)(2x+1)) × (-(2x-1))/(2x²)
Bước 4: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
= (3x × (-(2x-1))) / ((2x-1)(2x+1) × 2x²)
= -3x(2x-1) / (2x²(2x-1)(2x+1))
Bước 5: Rút gọn nhân tử chung (2x - 1)
= -3x / (2x²(2x+1))
Bước 6: Rút gọn nhân tử chung x
= -3 / (2x(2x+1))
Đáp án: 3x/(4x²-1) × (-2x+1)/(2x²) = -3/(2x(2x+1))
Cách 2 — Rút gọn trước khi nhân
Bước 1: Phân tích tất cả
- 4x² - 1 = (2x - 1)(2x + 1)
- -2x + 1 = -(2x - 1)
Bước 2: Viết lại
= 3x/((2x-1)(2x+1)) × (-(2x-1))/(2x²)
Bước 3: Rút gọn (2x - 1) và x trước
= 3/((2x+1)) × (-1)/(2x)
= -3/(2x(2x+1))
Đáp án: -3/(2x(2x+1))
Luyện tập 2
Đề bài: Làm tính chia: 3x/(2y²) : (-5x²/(12y³))
Cách 1 — Áp dụng quy tắc chia phân thức
Quy tắc: Muốn chia phân thức A/B cho phân thức C/D (khác 0), ta nhân A/B với phân thức nghịch đảo D/C.
Bước 1: Tìm phân thức nghịch đảo của -5x²/(12y³)
Phân thức nghịch đảo là: 12y³/(-5x²)
Bước 2: Chuyển phép chia thành phép nhân
3x/(2y²) : (-5x²/(12y³)) = 3x/(2y²) × 12y³/(-5x²)
Bước 3: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
= (3x × 12y³) / (2y² × (-5x²))
= 36xy³ / (-10x²y²)
Bước 4: Rút gọn
- Hệ số: 36/(-10) = -36/10 = -18/5
- Biến x: x/x² = 1/x
- Biến y: y³/y² = y
= -18y/(5x)
Đáp án: 3x/(2y²) : (-5x²/(12y³)) = -18y/(5x)
Cách 2 — Rút gọn từng bước chi tiết
Bước 1: Chuyển thành phép nhân
= 3x/(2y²) × 12y³/(-5x²)
Bước 2: Rút gọn trước khi nhân
- 3 và 12: ƯCLN = 3 → 3/3 = 1, 12/3 = 4
- 2 giữ nguyên
- x và x²: x/x² = 1/x
- y² và y³: y³/y² = y
= (1 × 4y) / (2 × 1 × (-5) × x/1)
= 4y / (-10x/1)
Chờ, làm lại cho rõ:
= (3 × 12) / (2 × (-5)) × (x × y³) / (y² × x²)
= 36/(-10) × y/x
= -18/5 × y/x
= -18y/(5x)
Đáp án: -18y/(5x)
💡 Mẹo nhớ: "Chia phân thức, đảo rồi nhân" - Đảo phân thức sau dấu chia, rồi nhân bình thường!
Thử thách nhỏ
Đề bài: Kết luận sau đúng hay sai?
(1/x : 1/x) : 1/x = 1/x : (1/x : 1/x)
Cách giải
Bước 1: Tính vế trái (VT)
VT = (1/x : 1/x) : 1/x
Tính trong ngoặc trước:
1/x : 1/x = 1/x × x/1 = x/x = 1
Vậy: VT = 1 : 1/x = 1 × x/1 = x
VT = x
Bước 2: Tính vế phải (VP)
VP = 1/x : (1/x : 1/x)
Tính trong ngoặc trước:
1/x : 1/x = 1 (như trên)
Vậy: VP = 1/x : 1 = 1/x × 1/1 = 1/x
VP = 1/x
Bước 3: So sánh VT và VP
- VT = x
- VP = 1/x
Ta thấy x ≠ 1/x (với x ≠ 1 và x ≠ -1)
Đáp án: Kết luận trên SAI.
💡 Ghi nhớ: Phép chia phân thức KHÔNG có tính kết hợp! Tức là (A : B) : C ≠ A : (B : C) trong trường hợp tổng quát.
🎯 Ghi nhớ chung: 1. Nhân phân thức: A/B × C/D = (A×C)/(B×D) 2. Chia phân thức: A/B : C/D = A/B × D/C (với C/D ≠ 0) 3. Mẹo: "Nhân thì nhân thẳng, chia thì đảo ngược" - Luôn phân tích nhân tử trước để rút gọn dễ hơn!