Giải Toán 8 - Tập 2 trang 26
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 26–27
B. TỰ LUẬN
Bài 6.41: Tìm đa thức P trong các đẳng thức sau
Câu 6.41a
Đề bài: P + 1/(x+2) = x/(x² - 2x + 4)
Cách 1 — Chuyển vế và quy đồng
Bước 1: Chuyển vế để tìm P
P = x/(x² - 2x + 4) - 1/(x+2)
Bước 2: Phân tích mẫu thức
Nhận thấy: x³ + 8 = (x+2)(x² - 2x + 4)
Vậy mẫu chung là: (x+2)(x² - 2x + 4)
Bước 3: Quy đồng mẫu thức
P = x(x+2)/[(x+2)(x² - 2x + 4)] - (x² - 2x + 4)/[(x+2)(x² - 2x + 4)]
Bước 4: Thực hiện phép trừ
P = [x(x+2) - (x² - 2x + 4)] / [(x+2)(x² - 2x + 4)]
P = [x² + 2x - x² + 2x - 4] / [(x+2)(x² - 2x + 4)]
P = (4x - 4) / [(x+2)(x² - 2x + 4)]
P = 4(x - 1) / (x³ + 8)
Đáp án: P = 4(x - 1)/(x³ + 8) hoặc P = (4x - 4)/(x³ + 8)
Câu 6.41b
Đề bài: P - 4(x-2)/(x+2) = 16/(x-2)
Cách 1 — Chuyển vế và quy đồng
Bước 1: Chuyển vế
P = 16/(x-2) + 4(x-2)/(x+2)
Bước 2: Tìm mẫu chung
Mẫu chung: (x-2)(x+2) = x² - 4
Bước 3: Quy đồng
P = 16(x+2)/[(x-2)(x+2)] + 4(x-2)²/[(x+2)(x-2)]
Bước 4: Tính tử số
Tử số = 16(x+2) + 4(x-2)²
= 16x + 32 + 4(x² - 4x + 4)
= 16x + 32 + 4x² - 16x + 16
= 4x² + 48
= 4(x² + 12)
Bước 5: Kết quả
P = 4(x² + 12)/(x² - 4)
Đáp án: P = 4(x² + 12)/(x² - 4) hoặc P = (4x² + 48)/(x² - 4)
Câu 6.41c
Đề bài: P · (x-2)/(x+3) = (x² - 4x + 4)/(x² - 9)
Cách 1 — Chia hai phân thức
Bước 1: Chuyển về phép chia
P = [(x² - 4x + 4)/(x² - 9)] : [(x-2)/(x+3)]
Bước 2: Phân tích thành nhân tử
- x² - 4x + 4 = (x-2)²
- x² - 9 = (x-3)(x+3)
Bước 3: Thực hiện phép chia (nhân với nghịch đảo)
P = [(x-2)²]/[(x-3)(x+3)] × (x+3)/(x-2)
Bước 4: Rút gọn
P = (x-2)²(x+3) / [(x-3)(x+3)(x-2)]
P = (x-2)/(x-3)
Đáp án: P = (x-2)/(x-3)
Câu 6.41d
Đề bài: P : (x² - 9)/(2x + 4) = (x² - 4)/(x² + 3x)
Cách 1 — Chuyển về phép nhân
Bước 1: Áp dụng quy tắc chia phân thức
P = [(x² - 4)/(x² + 3x)] × [(x² - 9)/(2x + 4)]
Bước 2: Phân tích thành nhân tử
- x² - 4 = (x-2)(x+2)
- x² + 3x = x(x+3)
- x² - 9 = (x-3)(x+3)
- 2x + 4 = 2(x+2)
Bước 3: Thay vào và rút gọn
P = [(x-2)(x+2)]/[x(x+3)] × [(x-3)(x+3)]/[2(x+2)]
P = [(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)] / [x(x+3) × 2(x+2)]
P = [(x-2)(x-3)] / (2x)
P = (x² - 5x + 6)/(2x)
Đáp án: P = (x-2)(x-3)/(2x) hoặc P = (x² - 5x + 6)/(2x)
Bài 6.42: Rút gọn các biểu thức sau
Câu 6.42a
Đề bài: 2/(3x) + x/(x-1) + (6x² - 4)/[2x(1-x)]
Cách 1 — Quy đồng mẫu thức
Bước 1: Biến đổi mẫu thức thứ ba
2x(1-x) = -2x(x-1)
Vậy: (6x² - 4)/[2x(1-x)] = (6x² - 4)/[-2x(x-1)] = -(6x² - 4)/[2x(x-1)] = (4 - 6x²)/[2x(x-1)]
Bước 2: Tìm mẫu chung
Mẫu chung: 6x(x-1)
Bước 3: Quy đồng từng phân thức
- 2/(3x) = 2 × 2(x-1) / [6x(x-1)] = 4(x-1)/[6x(x-1)]
- x/(x-1) = 6x²/[6x(x-1)]
- (4 - 6x²)/[2x(x-1)] = 3(4 - 6x²)/[6x(x-1)] = (12 - 18x²)/[6x(x-1)]
Bước 4: Cộng các phân thức
Tử số = 4(x-1) + 6x² + 12 - 18x²
= 4x - 4 + 6x² + 12 - 18x²
= -12x² + 4x + 8
= -4(3x² - x - 2)
= -4(3x + 2)(x - 1)
Bước 5: Rút gọn
Biểu thức = -4(3x + 2)(x - 1) / [6x(x-1)]
= -4(3x + 2) / (6x)
= -2(3x + 2) / (3x)
= (-6x - 4) / (3x)
Đáp án: (-6x - 4)/(3x) hoặc -2(3x + 2)/(3x)
Câu 6.42b
Đề bài: (x³ + 1)/(1 - x³) + x/(x - 1) - (x + 1)/(x² + x + 1)
Cách 1 — Phân tích và quy đồng
Bước 1: Phân tích thành nhân tử
- x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)
- 1 - x³ = -(x³ - 1) = -(x - 1)(x² + x + 1)
- x - 1 = x - 1
Bước 2: Biến đổi phân thức đầu
(x³ + 1)/(1 - x³) = (x + 1)(x² - x + 1)/[-(x - 1)(x² + x + 1)]
= -(x + 1)(x² - x + 1)/[(x - 1)(x² + x + 1)]
Bước 3: Mẫu chung: (x - 1)(x² + x + 1) = x³ - 1
Bước 4: Quy đồng
- Phân thức 1: -(x + 1)(x² - x + 1)/(x³ - 1)
- Phân thức 2: x(x² + x + 1)/(x³ - 1)
- Phân thức 3: -(x + 1)(x - 1)/(x³ - 1) = -(x² - 1)/(x³ - 1)
Bước 5: Tính tử số
Tử = -(x + 1)(x² - x + 1) + x(x² + x + 1) - (x² - 1)
= -(x³ - x² + x + x² - x + 1) + x³ + x² + x - x² + 1
= -(x³ + 1) + x³ + x + 1
= -x³ - 1 + x³ + x + 1
= x
Bước 6: Kết quả
Biểu thức = x/(x³ - 1)
Đáp án: x/(x³ - 1)
Câu 6.42c
Đề bài: [2/(x+2) - 2/(1-x)] · (x² - 4)/(4x² - 1)
Cách 1 — Tính trong ngoặc trước
Bước 1: Biến đổi 2/(1-x) = -2/(x-1)
Biểu thức trong ngoặc = 2/(x+2) + 2/(x-1)
Bước 2: Quy đồng trong ngoặc
= [2(x-1) + 2(x+2)] / [(x+2)(x-1)]
= [2x - 2 + 2x + 4] / [(x+2)(x-1)]
= (4x + 2) / [(x+2)(x-1)]
= 2(2x + 1) / [(x+2)(x-1)]
Bước 3: Phân tích các đa thức
- x² - 4 = (x-2)(x+2)
- 4x² - 1 = (2x-1)(2x+1)
Bước 4: Nhân hai phân thức
= [2(2x + 1) / (x+2)(x-1)] × [(x-2)(x+2) / (2x-1)(2x+1)]
Bước 5: Rút gọn
= [2(2x + 1)(x-2)(x+2)] / [(x+2)(x-1)(2x-1)(2x+1)]
= [2(x-2)] / [(x-1)(2x-1)]
= (2x - 4) / [(x-1)(2x-1)]
= (2x - 4) / (2x² - 3x + 1)
Đáp án: (2x - 4)/[(x-1)(2x-1)] hoặc (2x - 4)/(2x² - 3x + 1)
Câu 6.42d
Đề bài: 1 + (x³ - x)/(x² + 1) · [1/(1-x) - 1/(1-x²)]
Cách 1 — Tính từng phần
Bước 1: Tính trong ngoặc vuông
1 - x² = (1-x)(1+x)
1/(1-x) - 1/(1-x²) = 1/(1-x) - 1/[(1-x)(1+x)]
= (1+x)/[(1-x)(1+x)] - 1/[(1-x)(1+x)]
= [(1+x) - 1] / [(1-x)(1+x)]
= x / [(1-x)(1+x)]
= x / (1-x²)
Bước 2: Phân tích x³ - x
x³ - x = x(x² - 1) = x(x-1)(x+1)
Bước 3: Tính phép nhân
(x³ - x)/(x² + 1) × x/(1-x²)
= [x(x-1)(x+1)]/(x² + 1) × x/[-(x-1)(x+1)]
= [x(x-1)(x+1) × x] / [(x² + 1) × (-(x-1)(x+1))]
= -x² / (x² + 1)
Bước 4: Cộng với 1
1 + [-x²/(x² + 1)]
= (x² + 1)/(x² + 1) - x²/(x² + 1)
= (x² + 1 - x²)/(x² + 1)
= 1/(x² + 1)
Đáp án: 1/(x² + 1)
Bài 6.43: Cho phân thức P = (2x + 1)/(x + 1)
Câu 6.43a
Đề bài: Viết điều kiện xác định của P.
Cách giải
Phân thức P xác định khi mẫu số khác 0.
x + 1 ≠ 0
⟺ x ≠ -1
Đáp án: Điều kiện xác định: x ≠ -1
Câu 6.43b
Đề bài: Hãy viết P dưới dạng P = a - b/(x+1), trong đó a, b là hai số nguyên dương.
Cách 1 — Chia đa thức
Bước 1: Thực hiện phép chia tử cho mẫu
2x + 1 = 2(x + 1) - 1
Bước 2: Viết lại phân thức
P = (2x + 1)/(x + 1)
= [2(x + 1) - 1]/(x + 1)
= 2(x + 1)/(x + 1) - 1/(x + 1)
= 2 - 1/(x + 1)
Bước 3: So sánh với dạng a - b/(x+1)
Ta có: a = 2, b = 1 (đều là số nguyên dương)
Đáp án: P = 2 - 1/(x + 1), với a = 2, b = 1
Câu 6.43c
Đề bài: Với giá trị nguyên nào của x thì P có giá trị là số nguyên?
Cách 1 — Dùng kết quả câu b
Bước 1: Từ câu b, ta có P = 2 - 1/(x + 1)
Bước 2: Để P nguyên thì 1/(x + 1) phải nguyên
Bước 3: 1/(x + 1) nguyên khi (x + 1) là ước của 1
Ước của 1 là: 1 và -1
Bước 4: Tìm x
- x + 1 = 1 ⟹ x = 0
- x + 1 = -1 ⟹ x = -2
Bước 5: Kiểm tra
- x = 0: P = (2×0 + 1)/(0 + 1) = 1/1 = 1 ✓
- x = -2: P = (2×(-2) + 1)/(-2 + 1) = (-3)/(-1) = 3 ✓
Đáp án: x ∈ {-2; 0}
💡 Mẹo nhớ: Để phân thức có giá trị nguyên, mẫu phải là ước của tử (sau khi tách).
Bài 6.44: Bài toán xe ô tô đi từ Hà Nội đến Vinh
Đề bài tóm tắt:
- Vận tốc trung bình: 60 km/h
- Dự kiến đến Vinh sau 5 giờ
- Sau 2⅔ giờ chạy với vận tốc 60 km/h, xe dừng nghỉ 20 phút
- Để đến Vinh đúng giờ dự kiến, xe phải tăng vận tốc
Câu 6.44a
Đề bài: Tính độ dài quãng đường Hà Nội – Vinh.
Cách giải
Công thức: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian
S = 60 × 5 = 300 (km)
Đáp án: Quãng đường Hà Nội – Vinh dài 300 km
💡 Mẹo bấm máy: Bấm60×5=được 300
Câu 6.44b
Đề bài: Tính độ dài quãng đường còn lại sau khi dừng nghỉ.
Cách giải
Bước 1: Tính quãng đường đã đi trong 2⅔ giờ
S₁ = 60 × 2⅔ = 60 × 8/3 = 160 (km)
Bước 2: Tính quãng đường còn lại
S₂ = 300 - 160 = 140 (km)
Đáp án: Quãng đường còn lại là 140 km
💡 Mẹo bấm máy: Bấm60×8÷3=được 160
Câu 6.44c
Đề bài: Cho biết ở chặng thứ hai xe tăng vận tốc thêm x (km/h). Hãy viết biểu thức P biểu thị thời gian (tính bằng giờ) thực tế xe chạy hết chặng đường Hà Nội – Vinh.
Cách giải
Bước 1: Phân tích thời gian
- Thời gian chặng 1: 2⅔ giờ = 8/3 giờ
- Thời gian nghỉ: 20 phút = 1/3 giờ
- Vận tốc chặng 2: (60 + x) km/h
- Quãng đường chặng 2: 140 km
- Thời gian chặng 2: 140/(60 + x) giờ
Bước 2: Viết biểu thức tổng thời gian
P = 8/3 + 1/3 + 140/(60 + x)
P = 9/3 + 140/(60 + x)
P = 3 + 140/(60 + x)
Đáp án: P = 3 + 140/(60 + x) (giờ)
Câu 6.44d
Đề bài: Tính giá trị của P lần lượt tại x = 5; x = 10; x = 15
Cách giải
Khi x = 5:
P = 3 + 140/(60 + 5) = 3 + 140/65 = 3 + 28/13
P = 39/13 + 28/13 = 67/13 ≈ 5,15 (giờ)
So với dự kiến 5 giờ: 67/13 - 5 = 67/13 - 65/13 = 2/13 giờ ≈ 9,2 phút
Trả lời: Nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì xe đến Vinh muộn hơn dự kiến 2/13 giờ (khoảng 9 phút)
Khi x = 10:
P = 3 + 140/(60 + 10) = 3 + 140/70 = 3 + 2 = 5 (giờ)
So với dự kiến 5 giờ: 5 - 5 = 0
Trả lời: Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h thì xe đến Vinh đúng thời gian dự kiến
Khi x = 15:
P = 3 + 140/(60 + 15) = 3 + 140/75 = 3 + 28/15
P = 45/15 + 28/15 = 73/15 ≈ 4,87 (giờ)
So với dự kiến 5 giờ: 5 - 73/15 = 75/15 - 73/15 = 2/15 giờ ≈ 8 phút
Trả lời: Nếu tăng vận tốc thêm 15 km/h thì xe đến Vinh sớm hơn dự kiến 2/15 giờ (khoảng 8 phút)
💡 Mẹo bấm máy: Bấm3+140÷(60+10)=được 5
Trang 27 — Chương VII: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất
Nội dung: Đây là trang giới thiệu Chương VII và Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn
Tóm tắt nội dung lý thuyết
Chương VII trình bày:
- Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn và ứng dụng
- Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số
- Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất
- Khái niệm hệ số góc của đường thẳng
Bài toán mở đầu: Bác An gửi tiết kiệm 150 triệu đồng với kì hạn 12 tháng. Đến cuối kì, bác An thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 159 triệu đồng. Tính lãi suất gửi tiết kiệm của bác An.
Hoạt động HĐ1
Đề bài: Gọi x (viết dưới dạng số thập phân) là lãi suất gửi tiết kiệm của bác An. Viết biểu thức tính số tiền lãi mà bác An nhận được sau 1 năm theo x.
Cách giải
Công thức tính tiền lãi: Tiền lãi = Tiền gốc × Lãi suất × Thời gian
Với:
- Tiền gốc: 150 triệu đồng
- Lãi suất: x (dạng thập phân)
- Thời gian: 1 năm
Tiền lãi = 150 × x × 1 = 150x (triệu đồng)
Đáp án: Số tiền lãi bác An nhận được sau 1 năm là 150x (triệu đồng)
Hoạt động HĐ2
Đề bài: Số tiền bác An thu được sau 1 năm bao gồm cả số tiền vốn và số tiền lãi. Dựa vào kết quả của HĐ1, viết hệ thức chứa x biểu thị số tiền bác An thu được là 159 triệu đồng.
Cách giải
Bước 1: Xác định các thành phần
- Tiền vốn: 150 triệu đồng
- Tiền lãi: 150x triệu đồng (từ HĐ1)
- Tổng tiền thu được: 159 triệu đồng
Bước 2: Lập hệ thức
Tiền vốn + Tiền lãi = Tổng tiền thu được
150 + 150x = 159
Đáp án: Hệ thức cần tìm là 150 + 150x = 159
💡 Ghi chú: Đây chính là một phương trình bậc nhất một ẩn với ẩn là x.
🎯 Ghi nhớ chương này: - Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) - Lãi suất thường được công bố dưới dạng phần trăm. Ví dụ: r = 5% = 5/100 = 0,05 - Công thức tính lãi đơn: Tiền lãi = Vốn × Lãi suất × Thời gian