Giải Toán 8 - Tập 2 trang 6

Phần Lý thuyết (Trang 6)

Trang 6 chủ yếu trình bày lý thuyết về:

• Hai phân thức bằng nhau
• Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến

Các bài tập cần giải: Luyện tập 2, Luyện tập 3

---

Luyện tập 2

Đề bài: Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

1/(x² + x + 1) = (1 - x)/(1 - x³)

Cách 1 — Dùng quy tắc hai phân thức bằng nhau

Bước 1: Nhắc lại quy tắc

Hai phân thức A/B = C/D nếu A × D = B × C

Bước 2: Xác định các thành phần

• Phân thức trái: A = 1, B = x² + x + 1
• Phân thức phải: C = 1 - x, D = 1 - x³

Bước 3: Tính A × D

• A × D = 1 × (1 - x³) = 1 - x³

Bước 4: Tính B × C

• B × C = (x² + x + 1) × (1 - x)

Ta nhân đa thức:

• (x² + x + 1)(1 - x)
• = x² × 1 + x × 1 + 1 × 1 + x² × (-x) + x × (-x) + 1 × (-x)
• = x² + x + 1 - x³ - x² - x
• = 1 - x³

Bước 5: So sánh

• A × D = 1 - x³
• B × C = 1 - x³
• Vì A × D = B × C nên hai phân thức bằng nhau

Đáp án: Khẳng định ĐÚNG vì (x² + x + 1)(1 - x) = 1 - x³ = 1 × (1 - x³)

Cách 2 — Dùng hằng đẳng thức

Bước 1: Nhận dạng hằng đẳng thức

Ta có: 1 - x³ = 1³ - x³ = (1 - x)(1 + x + x²)

(Đây là hằng đẳng thức: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²))

Bước 2: Biến đổi vế phải

(1 - x)/(1 - x³) = (1 - x)/[(1 - x)(x² + x + 1)]

Bước 3: Rút gọn

= 1/(x² + x + 1)

Bước 4: Kết luận

Vế phải sau khi rút gọn bằng vế trái

Đáp án: Khẳng định ĐÚNG

💡 Mẹo nhớ: Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

---

Luyện tập 3

Đề bài: Viết điều kiện xác định của phân thức (x + 1)/(x - 1) và tính giá trị của phân thức tại x = 2.

Cách giải

Phần a: Tìm điều kiện xác định

Bước 1: Nhắc lại khái niệm

Điều kiện xác định của phân thức là điều kiện để mẫu thức khác 0.

Bước 2: Tìm điều kiện

Mẫu thức: x - 1

Để phân thức xác định: x - 1 ≠ 0

Suy ra: x ≠ 1

Đáp án: Điều kiện xác định là x ≠ 1

Phần b: Tính giá trị tại x = 2

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

x = 2 ≠ 1, thỏa mãn điều kiện xác định

Bước 2: Thay x = 2 vào phân thức

(x + 1)/(x - 1) = (2 + 1)/(2 - 1) = 3/1 = 3

Đáp án: Giá trị của phân thức tại x = 2 là 3

💡 Mẹo bấm máy: Bấm ( 2 + 1 ) ÷ ( 2 - 1 ) = → Kết quả: 3

---

BÀI TẬP (Trang 7)

Bài 6.1

Đề bài: Viết tử thức và mẫu thức của phân thức (5x - 2)/3

Cách giải

Bước 1: Nhắc lại cấu trúc phân thức

Phân thức có dạng A/B, trong đó:

• A là tử thức (ở trên)
• B là mẫu thức (ở dưới)

Bước 2: Xác định

Phân thức: (5x - 2)/3

Đáp án: - Tử thức: 5x - 2 - Mẫu thức: 3

---

Bài 6.2

Đề bài: Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau?

a) (-20x)/(3y²) và (4x)/(5y²)

b) (3x - 1)/(x² + 1) và (3x - 1)/(x + 1)

c) (x - 1)/(3x + 6) và (x + 1)/[3(x + 2)]

Cách giải

Câu a: (-20x)/(3y²) và (4x)/(5y²)

• Mẫu phân thức 1: 3y²
• Mẫu phân thức 2: 5y²
• 3y² ≠ 5y²

Đáp án a: Hai mẫu KHÔNG giống nhau

Câu b: (3x - 1)/(x² + 1) và (3x - 1)/(x + 1)

• Mẫu phân thức 1: x² + 1
• Mẫu phân thức 2: x + 1
• x² + 1 ≠ x + 1

Đáp án b: Hai mẫu KHÔNG giống nhau

Câu c: (x - 1)/(3x + 6) và (x + 1)/[3(x + 2)]

• Mẫu phân thức 1: 3x + 6 = 3(x + 2)
• Mẫu phân thức 2: 3(x + 2)
• 3(x + 2) = 3(x + 2) ✓

Đáp án c: Hai mẫu GIỐNG nhau vì 3x + 6 = 3(x + 2)

---

Bài 6.3

Đề bài: Vì sao các kết luận sau đúng?

a) (-6)/(-4y) = (3y)/(2y²)

b) (x + 3)/5 = (x² + 3x)/(5x)

c) [3x(4x + 1)]/(16x² - 1) = (-3x)/(1 - 4x)

Câu a: (-6)/(-4y) = (3y)/(2y²)

Cách 1 — Dùng quy tắc hai phân thức bằng nhau

Bước 1: Xác định A, B, C, D

• A = -6, B = -4y
• C = 3y, D = 2y²

Bước 2: Tính A × D

• A × D = (-6) × 2y² = -12y²

Bước 3: Tính B × C

• B × C = (-4y) × 3y = -12y²

Bước 4: So sánh

• A × D = B × C = -12y²

Đáp án a: Kết luận đúng vì (-6) × 2y² = (-4y) × 3y = -12y²

Cách 2 — Rút gọn từng phân thức

• (-6)/(-4y) = 6/(4y) = 3/(2y)
• (3y)/(2y²) = 3/(2y)

Hai phân thức cùng bằng 3/(2y) nên bằng nhau.

---

Câu b: (x + 3)/5 = (x² + 3x)/(5x)

Cách 1 — Dùng quy tắc hai phân thức bằng nhau

Bước 1: Xác định A, B, C, D

• A = x + 3, B = 5
• C = x² + 3x, D = 5x

Bước 2: Tính A × D

• A × D = (x + 3) × 5x = 5x² + 15x = 5x(x + 3)

Bước 3: Tính B × C

• B × C = 5 × (x² + 3x) = 5x² + 15x = 5x(x + 3)

Bước 4: So sánh

• A × D = B × C

Đáp án b: Kết luận đúng vì (x + 3) × 5x = 5 × (x² + 3x) = 5x² + 15x

Cách 2 — Phân tích và rút gọn

• x² + 3x = x(x + 3)
• (x² + 3x)/(5x) = x(x + 3)/(5x) = (x + 3)/5

Vế phải rút gọn được vế trái.

---

Câu c: [3x(4x + 1)]/(16x² - 1) = (-3x)/(1 - 4x)

Cách 1 — Dùng quy tắc hai phân thức bằng nhau

Bước 1: Xác định A, B, C, D

• A = 3x(4x + 1), B = 16x² - 1
• C = -3x, D = 1 - 4x

Bước 2: Tính A × D

• A × D = 3x(4x + 1) × (1 - 4x)
• = 3x(4x + 1)(1 - 4x)
• = 3x × [-(4x + 1)(4x - 1)]
• = -3x(4x + 1)(4x - 1)
• = -3x(16x² - 1)

Bước 3: Tính B × C

• B × C = (16x² - 1) × (-3x)
• = -3x(16x² - 1)

Bước 4: So sánh

• A × D = B × C = -3x(16x² - 1)

Đáp án c: Kết luận đúng vì A × D = B × C = -3x(16x² - 1)

Cách 2 — Phân tích và rút gọn

Bước 1: Phân tích mẫu vế trái

• 16x² - 1 = (4x)² - 1² = (4x - 1)(4x + 1)

Bước 2: Rút gọn vế trái

• [3x(4x + 1)]/[(4x - 1)(4x + 1)] = 3x/(4x - 1)

Bước 3: Biến đổi vế phải

• (-3x)/(1 - 4x) = (-3x)/[-(4x - 1)] = 3x/(4x - 1)

Hai vế cùng bằng 3x/(4x - 1).

💡 Mẹo nhớ: 16x² - 1 = (4x)² - 1² là hiệu hai bình phương: a² - b² = (a-b)(a+b)

---

Bài 6.4

Đề bài: Viết điều kiện xác định của phân thức (x² + x - 2)/(x³ + 2). Tính giá trị của phân thức trên lần lượt tại x = 0; x = 1; x = 2.

Cách giải

Phần 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 1: Xác định mẫu thức

• Mẫu thức: x³ + 2

Bước 2: Tìm điều kiện để mẫu khác 0

• x³ + 2 ≠ 0
• x³ ≠ -2
• x ≠ ³√(-2) (căn bậc 3 của -2)

Đáp án: Điều kiện xác định là x ≠ ³√(-2) hay x³ ≠ -2

(Lưu ý: ³√(-2) ≈ -1,26 là số vô tỉ, nên với x = 0, 1, 2 đều thỏa mãn)

Phần 2: Tính giá trị tại x = 0

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

• 0³ + 2 = 2 ≠ 0 ✓

Bước 2: Thay x = 0

• Tử: 0² + 0 - 2 = -2
• Mẫu: 0³ + 2 = 2
• Giá trị: (-2)/2 = -1

Đáp án: Tại x = 0, giá trị phân thức là -1

Phần 3: Tính giá trị tại x = 1

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

• 1³ + 2 = 3 ≠ 0 ✓

Bước 2: Thay x = 1

• Tử: 1² + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
• Mẫu: 1³ + 2 = 3
• Giá trị: 0/3 = 0

Đáp án: Tại x = 1, giá trị phân thức là 0

Phần 4: Tính giá trị tại x = 2

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

• 2³ + 2 = 8 + 2 = 10 ≠ 0 ✓

Bước 2: Thay x = 2

• Tử: 2² + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4
• Mẫu: 2³ + 2 = 8 + 2 = 10
• Giá trị: 4/10 = 2/5

Đáp án: Tại x = 2, giá trị phân thức là 2/5

💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng CALC - Bấm ALPHA CALC để nhập biểu thức: ( x² + x - 2 ) ÷ ( x³ + 2 ) - Bấm CALC, nhập giá trị x, bấm =

---

Bài 6.5

Đề bài: Cho A là một đa thức khác 0 tùy ý. Hãy giải thích vì sao 0/A = 0 và A/A = 1.

Cách giải

Phần 1: Giải thích 0/A = 0

Bước 1: Hiểu ý nghĩa phân thức

Phân thức 0/A có tử bằng 0, mẫu A ≠ 0.

Bước 2: Giải thích

Khi tử số bằng 0 và mẫu số khác 0, thì giá trị phân số (hoặc phân thức) luôn bằng 0.

Tương tự như: 0/5 = 0, 0/100 = 0

Đáp án: 0/A = 0 vì tử số bằng 0 và mẫu số khác 0 thì phân thức có giá trị bằng 0.

Phần 2: Giải thích A/A = 1

Bước 1: Hiểu ý nghĩa

Phân thức A/A có tử và mẫu giống nhau, với A ≠ 0.

Bước 2: Giải thích

Khi tử số và mẫu số bằng nhau (và khác 0), thì phân số (hoặc phân thức) luôn bằng 1.

Tương tự như: 5/5 = 1, 100/100 = 1

Đáp án: A/A = 1 vì tử số bằng mẫu số (và đều khác 0) thì phân thức có giá trị bằng 1.

---

Bài 6.6

Đề bài: Một ô tô chạy với vận tốc trung bình là x (km/h).

a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô (tính bằng giờ) chạy hết quãng đường 120 km.

b) Tính thời gian ô tô đi được 120 km trong trường hợp vận tốc trung bình của ô tô là 60 km/h.

Câu a

Cách giải

Bước 1: Nhắc lại công thức

Thời gian = Quãng đường ÷ Vận tốc

hay t = s/v

Bước 2: Áp dụng

• Quãng đường: s = 120 km
• Vận tốc: v = x km/h
• Thời gian: t = 120/x (giờ)

Đáp án a: Biểu thức thời gian là 120/x (giờ)

Câu b

Cách giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

• Vận tốc: x = 60 km/h
• Quãng đường: 120 km

Bước 2: Thay vào biểu thức

Thời gian = 120/x = 120/60 = 2 (giờ)

Đáp án b: Thời gian ô tô đi hết 120 km là 2 giờ

💡 Mẹo nhớ: Công thức tam giác vận tốc: - v = s/t (vận tốc = quãng đường ÷ thời gian) - s = v × t (quãng đường = vận tốc × thời gian) - t = s/v (thời gian = quãng đường ÷ vận tốc)

---

Bài Vận dụng (Trang 7)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Nếu biết vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng là 30 km/h, hãy tính thời gian vận động viên đó hoàn thành mỗi chặng đua và tính tổng thời gian để hoàn thành cuộc đua.

Cách giải

Lưu ý: Bài này cần thông tin từ tình huống mở đầu (trang trước). Dựa vào ngữ cảnh, ta giả sử có các chặng đua với quãng đường cụ thể.

Nguyên tắc chung:

Thời gian = Quãng đường ÷ Vận tốc = s/v

Với vận tốc v = 30 km/h:

• Thời gian chặng bằng phẳng = (Quãng đường chặng bằng phẳng)/30 (giờ)

Tổng thời gian = Tổng thời gian các chặng

Đáp án: Cần xem tình huống mở đầu để có số liệu cụ thể về quãng đường từng chặng, sau đó áp dụng công thức t = s/v với v = 30 km/h.

---

🎯 Ghi nhớ: - Hai phân thức A/B = C/D khi A × D = B × C - Điều kiện xác định của phân thức: mẫu thức ≠ 0 - Để tính giá trị phân thức: thay giá trị biến vào rồi tính - Hằng đẳng thức quan trọng: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) và a² - b² = (a - b)(a + b)