Giải Toán 8 - Tập 2 trang 8
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 8–9
Tóm tắt lý thuyết
Tính chất cơ bản của phân thức gồm 3 quy tắc:
- Nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0:
$$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} \quad (M \neq 0)$$
- Chia cả tử và mẫu cho một nhân tử chung:
$$\frac{A : N}{B : N} = \frac{A}{B} \quad (N \text{ là nhân tử chung})$$
- Quy tắc đổi dấu (đổi dấu cả tử và mẫu):
$$\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$$
Ứng dụng: rút gọn phân thức (phân tích tử – mẫu thành nhân tử rồi chia cho nhân tử chung).
Bài HĐ1: Nhân tử và mẫu với 2x
Đề: Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{x+y}{x-y}$ với $2x$ ta được phân thức mới nào? Giải thích vì sao bằng phân thức đã cho.
Lời giải:
$$\frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)\cdot 2x}{(x-y)\cdot 2x} = \frac{2x(x+y)}{2x(x-y)}$$
Phân thức mới là $\dfrac{2x(x+y)}{2x(x-y)}$.
Nó bằng phân thức đã cho vì ta đã nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức $2x$ (khác đa thức 0), đúng theo tính chất cơ bản của phân thức.
Bài HĐ2: Chia cho nhân tử chung (x – 1)
Đề: Tử và mẫu của phân thức $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$ có nhân tử chung là $x-1$. Viết phân thức nhận được sau khi chia, rồi so sánh.
Lời giải:
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $x-1$:
$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x+1}{x^2+x+1}$$
So sánh: phân thức mới $\dfrac{x+1}{x^2+x+1}$ bằng phân thức đã cho, vì ta chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung.
Bài Ví dụ 1: Giải thích đẳng thức
Đề: Dùng tính chất cơ bản, giải thích vì sao $\dfrac{2x+2}{x^2-1} = \dfrac{2}{x-1}$.
Lời giải:
$$\frac{2x+2}{x^2-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x-1}$$
Sau khi phân tích tử và mẫu thành nhân tử, ta thấy có nhân tử chung là $(x+1)$. Chia cả tử và mẫu cho $(x+1)$ ta được kết quả.
Bài Luyện tập 1: Khẳng định đúng hay sai?
Đề: Khẳđịnh sau đúng hay sai? Vì sao?
$$\frac{30xy^2(x-y)}{45xy(x-y)^2} = \frac{2y}{3(x-y)}$$
Lời giải: Khẳng định ĐÚNG.
Ta rút gọn vế trái:
| Thành phần | Rút gọn |
|---|---|
| Hệ số | $\dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$ |
| Lũy thừa $x$ | $\dfrac{x}{x} = 1$ |
| Lũy thừa $y$ | $\dfrac{y^2}{y} = y$ |
| $(x-y)$ | $\dfrac{x-y}{(x-y)^2} = \dfrac{1}{x-y}$ |
$$\frac{30xy^2(x-y)}{45xy(x-y)^2} = \frac{2}{3}\cdot y \cdot \frac{1}{x-y} = \frac{2y}{3(x-y)}$$
Đúng bằng vế phải nên khẳng định đúng.
Bài Luyện tập 2: Giải thích đẳng thức
Đề: Giải thích vì sao $\dfrac{-x}{1-x} = \dfrac{x}{x-1}$.
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đổi dấu (đổi dấu cả tử và mẫu thì phân thức không đổi):
$$\frac{-x}{1-x} = \frac{-(-x)}{-(1-x)} = \frac{x}{x-1}$$
Lưu ý đổi dấu mẫu: $-(1-x) = -1 + x = x - 1$. Vậy hai phân thức bằng nhau.
Bài HĐ3: Phân tích tử và mẫu, tìm nhân tử chung
Đề: Phân tích tử và mẫu của phân thức $\dfrac{2x^2+2x}{x^2-1}$ thành nhân tử và tìm nhân tử chung.
Lời giải:
- Tử: $2x^2 + 2x = 2x(x+1)$
- Mẫu: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$
Nhân tử chung của tử và mẫu là $(x+1)$.
Bài HĐ4: Chia cho nhân tử chung
Đề: Chia cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{2x^2+2x}{x^2-1}$ cho nhân tử chung, ta được phân thức đơn giản hơn.
Lời giải:
$$\frac{2x^2+2x}{x^2-1} = \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x-1}$$
Sau khi chia cả tử và mẫu cho $(x+1)$, ta được phân thức $\dfrac{2x}{x-1}$ đơn giản hơn nhưng vẫn bằng phân thức ban đầu.
Bài Ví dụ 2: Rút gọn phân thức
Đề: Rút gọn phân thức $P = \dfrac{x^2 - xy}{3(xy^2 - y^3)}$.
Lời giải:
- Tử: $x^2 - xy = x(x-y)$
- Mẫu: $3(xy^2 - y^3) = 3y^2(x - y)$
$$P = \frac{x(x-y)}{3y^2(x-y)} = \frac{x}{3y^2}$$
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $(x-y)$ ta được kết quả $\dfrac{x}{3y^2}$.
Một mẹo nhỏ cho em: trước khi rút gọn, hãy luôn phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử trước, rồi mới tìm nhân tử chung để chia. Nếu thấy dạng $\dfrac{a-b}{b-a}$ thì nhớ đó bằng $-1$ nhờ quy tắc đổi dấu nhé.