Giải Toán 8 - Tập 2 trang 52
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 52–53
Tóm tắt lý thuyết
Hệ số góc:
- Với đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$), ta gọi $a$ là hệ số góc.
- Khi $a > 0$: đường thẳng đi lên từ trái sang phải, góc tạo với trục $Ox$ là góc nhọn.
- Khi $a < 0$: đường thẳng đi xuống từ trái sang phải, góc tạo với trục $Ox$ là góc tù.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$ ($a, a' \neq 0$):
| Quan hệ | Điều kiện |
|---|---|
| Song song | $a = a'$ và $b \neq b'$ |
| Trùng nhau | $a = a'$ và $b = b'$ |
| Cắt nhau | $a \neq a'$ |
Bài HĐ2: Quan hệ giữa hệ số $a$ và góc tạo với trục $Ox$
Đề: Từ kết quả HĐ1, nhận xét gì về quan hệ giữa hệ số $a$ với góc tạo bởi đường thẳng và trục $Ox$?
Trả lời:
- Hệ số $a$ quyết định độ "dốc" và chiều nghiêng của đường thẳng.
- $a > 0$ thì góc với $Ox$ là góc nhọn; $a < 0$ thì là góc tù.
Vì có sự liên quan này nên $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Bài ?: Xác định hệ số góc
Đề: Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng sau: $y = 3x - 1$; $y = 2 - x$; $y = \dfrac{1}{2}(x - 1)$.
Lời giải: Hệ số góc là số đứng trước $x$.
- $y = 3x - 1 \Rightarrow a = 3$
- $y = 2 - x = -x + 2 \Rightarrow a = -1$
- $y = \dfrac{1}{2}(x - 1) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$
Bài Luyện tập 1
Đề: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$.
Lời giải:
- Hệ số góc bằng 3 nên $a = 3$.
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1$, tức là đi qua điểm $(0; -1)$, nên $b = -1$.
Vậy hàm số cần tìm là $y = 3x - 1$.
Bài Tranh luận: Hệ số góc của $y = \dfrac{2x+1}{2}$
Đề: Đường thẳng $y = \dfrac{2x+1}{2}$ có hệ số góc bằng bao nhiêu? Bạn tròn nói $a = 2$, bạn vuông nói $a = 1$. Ai đúng?
Lời giải: Ta rút gọn hàm số về dạng $y = ax + b$:
$$y = \frac{2x + 1}{2} = \frac{2x}{2} + \frac{1}{2} = x + \frac{1}{2}$$
Vậy hệ số góc $a = 1$.
Kết luận: Bạn vuông (nói $a = 1$) trả lời đúng. Bạn tròn sai vì đã lấy nhầm số 2 ở tử mà chưa chia cho mẫu số 2.
Bài HĐ3: Nhận biết hai đường thẳng song song
Đề: Trên cùng mặt phẳng $Oxy$, vẽ hai đường thẳng $y = 2x$ và $y = 2x + 1$. Nhận xét vị trí tương đối của chúng.
Trả lời: Hai đường thẳng có cùng hệ số góc ($a = a' = 2$) nhưng khác hệ số tự do ($b = 0 \neq 1 = b'$) nên chúng song song với nhau.
Bài ?: Tìm các cặp đường thẳng song song
Đề: Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng sau:
a) $y = 2x + 1$; b) $y = -1 - 2x$; c) $y = 2 + 2x$; d) $y = -1 + 2x$.
Lời giải: Liệt kê hệ số góc $a$ và hệ số tự do $b$.
| Đường | $a$ | $b$ |
|---|---|---|
| a) | 2 | 1 |
| b) | $-2$ | $-1$ |
| c) | 2 | 2 |
| d) | 2 | $-1$ |
Hai đường song song khi $a = a'$ và $b \neq b'$. Các đường a, c, d đều có $a = 2$ nhưng khác $b$, nên đôi một song song. Đường b có $a = -2$ nên không song song với đường nào.
Các cặp song song: (a và c), (a và d), (c và d).
Bài Ví dụ 2 (tham khảo)
Đề: Tìm $m$ để $y = (m+1)x + 2$ ($m \neq -1$) song song với $y = -2x + 1$.
Lời giải: Hai đường song song khi $m + 1 = -2$, tức $m = -3$ (thỏa $m \neq -1$). Vậy $m = -3$.
Bài HĐ4: Nhận biết hai đường thẳng cắt nhau
Đề: Cho hai đường thẳng $y = 2x - 1$ và $y = x - 3$. So sánh hai hệ số góc để cho biết chúng có song song hay trùng nhau không.
Lời giải: Hệ số góc lần lượt là $a = 2$ và $a' = 1$. Vì $2 \neq 1$ nên hai đường thẳng không song song cũng không trùng nhau, mà cắt nhau.
Bài ?: Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau
Đề: Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau:
a) $y = 2x + 1$; b) $y = 2x$; c) $y = 2 + 2x$; d) $y = 1 - 2x$.
Lời giải: Liệt kê hệ số góc.
| Đường | $a$ |
|---|---|
| a) | 2 |
| b) | 2 |
| c) | 2 |
| d) | $-2$ |
Hai đường cắt nhau khi $a \neq a'$. Các đường a, b, c cùng có $a = 2$ nên không cắt nhau (chúng song song). Đường d có $a = -2$ khác với cả ba đường còn lại, nên cắt từng đường a, b, c.
Các cặp cắt nhau: (a và d), (b và d), (c và d).
Bài Ví dụ 3 (tham khảo)
Đề: Tìm $m$ để $y = mx - 2$ ($m \neq 0$) cắt $y = -2x + 1$.
Lời giải: Hai đường cắt nhau khi $m \neq -2$. Kết hợp điều kiện $m \neq 0$, ta được: $m \neq 0$ và $m \neq -2$.
Tổng kết: bài học này giúp em nắm được hai ý chính: hệ số góc $a$ cho biết chiều dốc của đường thẳng, và chỉ cần so sánh cặp $(a, b)$ là biết được hai đường song song, trùng hay cắt nhau. Em nhớ luôn rút gọn hàm số về dạng $y = ax + b$ trước khi xét nhé.