Giải Toán 8 - Tập 2 trang 54
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 54–55
Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
Cho hai đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) và $y = a'x + b'$ ($a' \neq 0$):
- Song song khi $a = a'$ và $b \neq b'$.
- Trùng nhau khi $a = a'$ và $b = b'$.
- Cắt nhau khi $a \neq a'$.
- Vuông góc khi $a \cdot a' = -1$.
Hệ số $a$ gọi là hệ số góc. Đường thẳng cắt trục tung tại $(0; b)$, cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng 0.
Luyện tập 2
Cho $y = 2mx + 1$ và $y = (m-1)x + 2$.
Điều kiện để cả hai là hàm bậc nhất: $2m \neq 0$ và $m - 1 \neq 0$, tức $m \neq 0$ và $m \neq 1$.
a) Hai đường thẳng song song khi hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau:
$$2m = m - 1 \Rightarrow m = -1$$
Phần tung độ gốc $1 \neq 2$ luôn đúng. Giá trị $m = -1$ thỏa mãn điều kiện. Vậy $m = -1$.
b) Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số góc khác nhau:
$$2m \neq m - 1 \Rightarrow m \neq -1$$
Kết hợp điều kiện: $m \neq 0,\ m \neq 1,\ m \neq -1$.
Thử thách nhỏ
Hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc thì song song với nhau, nên chúng không có điểm chung nào.
a) Cùng giao điểm với trục $Ox$? Không. Nếu chung một điểm trên $Ox$ thì hai đường sẽ cắt nhau, mâu thuẫn với việc chúng song song.
b) Cùng giao điểm với trục $Oy$? Không. Nếu chung điểm trên $Oy$ thì cùng tung độ gốc $b$, kết hợp cùng hệ số góc sẽ thành một đường thẳng (trùng nhau), trái giả thiết phân biệt.
Vận dụng
Tình huống mở đầu (câu hỏi của bạn Vuông) không xuất hiện trên trang này nên cô nêu cách làm tổng quát: anh Pi sẽ so sánh hệ số góc của hai đường thẳng. Nếu hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau thì hai đường song song; nếu hệ số góc khác nhau thì hai đường cắt nhau. Đây chính là dấu hiệu để trả lời nhanh mà không cần vẽ đồ thị.
Bài 7.30
Đề: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm $(1; -2)$ và có hệ số góc là 3.
Hàm số dạng $y = 3x + b$. Thay $(1; -2)$:
$$-2 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = -5$$
Đáp án: $y = 3x - 5$.
Bài 7.31
Đề: Tìm hàm số bậc nhất có hệ số góc là $-2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
Hàm số dạng $y = -2x + b$. Điểm cắt trục hoành là $(3; 0)$:
$$0 = -2 \cdot 3 + b \Rightarrow b = 6$$
Đáp án: $y = -2x + 6$.
Bài 7.32
Đề: Chỉ ra các cặp đường thẳng song song và các cặp cắt nhau:
a) $y = -x + 1$ b) $y = -2x + 1$ c) $y = -2x + 2$ d) $y = -x$
Ghi lại hệ số góc:
| Đường | Hệ số góc | Tung độ gốc |
|---|---|---|
| a | $-1$ | $1$ |
| b | $-2$ | $1$ |
| c | $-2$ | $2$ |
| d | $-1$ | $0$ |
Các cặp song song (cùng hệ số góc, khác tung độ gốc):
- a và d (cùng hệ số góc $-1$)
- b và c (cùng hệ số góc $-2$)
Các cặp cắt nhau (khác hệ số góc):
- a và b; a và c; d và b; d và c.
Bài 7.33
Đề: Cho $y = mx - 5$ và $y = (2m+1)x + 3$. Tìm $m$ để đồ thị là:
Điều kiện hàm bậc nhất: $m \neq 0$ và $2m + 1 \neq 0$, tức $m \neq 0$ và $m \neq -\dfrac{1}{2}$.
a) Song song:
$$m = 2m + 1 \Rightarrow m = -1$$
Tung độ gốc $-5 \neq 3$ luôn đúng. Giá trị $m = -1$ thỏa mãn điều kiện. Vậy $m = -1$.
b) Cắt nhau:
$$m \neq 2m + 1 \Rightarrow m \neq -1$$
Kết hợp điều kiện: $m \neq 0,\ m \neq -\dfrac{1}{2},\ m \neq -1$.
Bài 7.34
Đề: Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị song song với $y = -3x + 1$ và đi qua điểm $(2; 6)$.
Song song với $y = -3x + 1$ nên có dạng $y = -3x + b$ với $b \neq 1$. Thay $(2; 6)$:
$$6 = -3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 12$$
Vì $12 \neq 1$ nên thỏa mãn. Đáp án: $y = -3x + 12$.
Bài 7.35
Đề: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai đường thẳng $y = x$ và $y = -x + 2$.
a) Vẽ hai đường thẳng:
- $y = x$ đi qua $O(0; 0)$ và $(1; 1)$.
- $y = -x + 2$ đi qua $(0; 2)$ và $(2; 0)$.
b) Tìm giao điểm $A$. Cho hai vế bằng nhau:
$$x = -x + 2 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1,\ y = 1$$
Vậy $A(1; 1)$.
c) $B$ là giao của $y = -x + 2$ với trục $Ox$: cho $y = 0 \Rightarrow x = 2$, nên $B(2; 0)$. Ta có $O(0; 0)$, $A(1; 1)$, $B(2; 0)$.
Tính các bình phương độ dài:
$$OA^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$
$$AB^2 = (2-1)^2 + (0-1)^2 = 1 + 1 = 2$$
$$OB^2 = 2^2 + 0^2 = 4$$
Vì $OA^2 + AB^2 = 2 + 2 = 4 = OB^2$, theo định lí Pythagore đảo, tam giác $OAB$ vuông tại $A$. Do đó hai đường thẳng $y = x$ và $y = -x + 2$ vuông góc với nhau.
d) Tích hai hệ số góc: $1 \cdot (-1) = -1$.
Nhận xét: Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hai hệ số góc của chúng bằng $-1$.
Trang 55 – Luyện tập chung
Hai ví dụ dưới đây sách đã trình bày lời giải đầy đủ, cô tóm tắt lại cách làm để các em nắm phương pháp.
Ví dụ 1
Cho $y = ax + 5$.
a) Đồ thị đi qua $A(1; 3)$ nên thay vào:
$$3 = a \cdot 1 + 5 \Rightarrow a = -2$$
b) Với $a = -2$ ta có $y = -2x + 5$.
- Cho $x = 0 \Rightarrow y = 5$: giao trục tung $P(0; 5)$.
- Cho $y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5}{2}$: giao trục hoành $Q\left(\dfrac{5}{2}; 0\right)$.
Đồ thị là đường thẳng $PQ$ (Hình 7.17). Cách vẽ: xác định hai giao điểm với hai trục rồi nối lại.
Ví dụ 2
Số tiền điện: $T(x) = 1734x - 2800$ (đồng), với $51 \le x \le 100$.
a) Khi $x = 90$:
$$T(90) = 1734 \cdot 90 - 2800 = 153\,260$$
Vậy dùng 90 kWh thì trả 153 260 đồng.
b) Tìm $x$ để $T(x) = 144\,590$:
$$1734x - 2800 = 144\,590$$
$$1734x = 147\,390$$
$$x = 85 \ (\text{thỏa mãn } 51 \le x \le 100)$$
Vậy gia đình đó dùng 85 kWh.
Điểm mấu chốt của hai ví dụ: thay tọa độ điểm để tìm hệ số, và giải phương trình bậc nhất khi biết giá trị của hàm số.