Giải Toán 8 - Tập 2 trang 10
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 10–11
Luyện tập 3
Đề bài: Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
(Lưu ý: Tình huống mở đầu nằm ở trang trước, không có trong hình. Tuy nhiên, trang này có phần Tranh luận liên quan)
Tranh luận
Đề bài: Tròn thực hiện rút gọn một phân thức như hình bên. Hỏi bạn Tròn làm đúng hay sai? Vì sao?
Hình ảnh cho thấy Tròn làm:
- (x² + 2x)/(3x³ + 2x) = (x² + 2x)/(3x³ + 2x)
- = x²/3x³ = 1/3x
Cách giải
Bước 1: Phân tích cách làm của Tròn
Tròn đã tách phân thức (x² + 2x)/(3x³ + 2x) thành x²/3x³ rồi rút gọn được 1/3x.
Bước 2: Kiểm tra tính đúng đắn
Cách làm của Tròn SAI vì:
- Tròn đã gạch bỏ số hạng 2x ở cả tử và mẫu. Đây là sai lầm nghiêm trọng!
- Khi rút gọn phân thức, ta chỉ được chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung, chứ không được gạch bỏ các số hạng riêng lẻ.
Bước 3: Cách làm đúng
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử:
- Tử: x² + 2x = x(x + 2)
- Mẫu: 3x³ + 2x = x(3x² + 2)
Phân thức trở thành:
- x(x + 2) / [x(3x² + 2)] = (x + 2)/(3x² + 2)
Đáp án: Bạn Tròn làm SAI. Lý do: Không được phép gạch bỏ các số hạng trong tổng. Chỉ được rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Kết quả đúng là (x + 2)/(3x² + 2).
💡 Mẹo nhớ: "Rút gọn phân thức - chia nhân tử, không chia số hạng!"
Thử thách nhỏ
Đề bài: Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
(-ax² - ax)/(x² - 1) và 3x/(x - 1)
Cách giải
Bước 1: Phân tích mẫu thức thứ nhất
x² - 1 = (x - 1)(x + 1) (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
Bước 2: Phân tích tử thức thứ nhất
-ax² - ax = -ax(x + 1)
Bước 3: Viết lại phân thức thứ nhất
(-ax² - ax)/(x² - 1) = [-ax(x + 1)]/[(x - 1)(x + 1)]
Rút gọn (x + 1):
= -ax/(x - 1)
Bước 4: So sánh hai phân thức
Để hai phân thức bằng nhau:
- -ax/(x - 1) = 3x/(x - 1)
Suy ra: -ax = 3x
Chia cả hai vế cho x (với x ≠ 0):
- -a = 3
- a = -3
Bước 5: Kiểm tra
Với a = -3:
- Tử: -(-3)x² - (-3)x = 3x² + 3x = 3x(x + 1)
- Phân thức: 3x(x + 1)/[(x - 1)(x + 1)] = 3x/(x - 1) ✓
Đáp án: a = -3
Luyện tập 4
Đề bài: Quy đồng mẫu thức hai phân thức 1/(3x² - 3) và 1/(x³ - 1).
Cách giải
Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử
- 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
- x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) (hằng đẳng thức hiệu hai lập phương)
Bước 2: Tìm mẫu thức chung (MTC)
MTC = 3(x - 1)(x + 1)(x² + x + 1)
Bước 3: Tìm nhân tử phụ
- Nhân tử phụ của 3(x - 1)(x + 1) là:
MTC ÷ 3(x - 1)(x + 1) = (x² + x + 1)
- Nhân tử phụ của (x - 1)(x² + x + 1) là:
MTC ÷ (x - 1)(x² + x + 1) = 3(x + 1)
Bước 4: Quy đồng mẫu thức
- 1/(3x² - 3) = (x² + x + 1)/[3(x - 1)(x + 1)(x² + x + 1)]
- 1/(x³ - 1) = 3(x + 1)/[3(x - 1)(x + 1)(x² + x + 1)]
Đáp án: - 1/(3x² - 3) = (x² + x + 1)/[3(x - 1)(x + 1)(x² + x + 1)] - 1/(x³ - 1) = 3(x + 1)/[3(x - 1)(x + 1)(x² + x + 1)]
Tranh luận (về MTC)
Đề bài: Hai phân thức 5/(x - 1) và x/(1 - x). Một bạn nói MTC là x - 1. Bạn khác nói MTC là (x - 1)(1 - x). Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?
Cách giải
Bước 1: Phân tích mối quan hệ giữa hai mẫu
Ta có: 1 - x = -(x - 1)
Vậy hai mẫu thức (x - 1) và (1 - x) chỉ khác nhau dấu.
Bước 2: Xét từng cách chọn MTC
Cách 1: MTC = x - 1
- Đây là cách chọn hợp lí hơn
- Vì 1 - x = -(x - 1), ta có thể biến đổi phân thức x/(1 - x) = x/[-(x - 1)] = -x/(x - 1)
- Khi đó cả hai phân thức đều có mẫu (x - 1)
Cách 2: MTC = (x - 1)(1 - x)
- Cách này không sai nhưng không tối ưu
- Vì (x - 1)(1 - x) = -(x - 1)² làm MTC phức tạp hơn cần thiết
Đáp án: Bạn chọn MTC = x - 1 hợp lí hơn. Vì 1 - x = -(x - 1), nên ta chỉ cần đổi dấu phân thức thứ hai là quy đồng được, không cần nhân thêm.
💡 Mẹo nhớ: Khi hai mẫu đối nhau (như x - 1 và 1 - x), chọn một trong hai làm MTC, rồi đổi dấu phân thức còn lại!
BÀI TẬP
Bài 6.7
Đề bài: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.
Câu a)
Đề bài: (x - 2)³/(x² - 2x) = (x - 2)²/x
Cách 1 — Biến đổi vế trái
Bước 1: Phân tích mẫu vế trái thành nhân tử
x² - 2x = x(x - 2)
Bước 2: Viết lại vế trái
(x - 2)³/(x² - 2x) = (x - 2)³/[x(x - 2)]
Bước 3: Rút gọn
Chia cả tử và mẫu cho (x - 2):
= (x - 2)²/x = Vế phải ✓
Đáp án: Đẳng thức đúng vì ta đã chia cả tử và mẫu của vế trái cho (x - 2) để được vế phải. Đây là tính chất cơ bản của phân thức.
Cách 2 — Biến đổi vế phải
Bước 1: Nhân cả tử và mẫu vế phải với (x - 2)
(x - 2)²/x = [(x - 2)² × (x - 2)]/[x × (x - 2)]
= (x - 2)³/[x(x - 2)]
= (x - 2)³/(x² - 2x) = Vế trái ✓
Câu b)
Đề bài: (1 - x)/(-5x + 1) = (x - 1)/(5x - 1)
Cách 1 — Biến đổi vế trái
Bước 1: Phân tích tử và mẫu vế trái
- Tử: 1 - x = -(x - 1)
- Mẫu: -5x + 1 = -(5x - 1)
Bước 2: Viết lại vế trái
(1 - x)/(-5x + 1) = [-(x - 1)]/[-(5x - 1)]
Bước 3: Rút gọn
Chia cả tử và mẫu cho (-1):
= (x - 1)/(5x - 1) = Vế phải ✓
Đáp án: Đẳng thức đúng vì ta đã chia cả tử và mẫu của vế trái cho (-1) để được vế phải. Đây là tính chất cơ bản của phân thức.
Cách 2 — Nhân với (-1)/(-1)
(1 - x)/(-5x + 1) = [(1 - x) × (-1)]/[(-5x + 1) × (-1)]
= (-1 + x)/(5x - 1)
= (x - 1)/(5x - 1) = Vế phải ✓
💡 Mẹo nhớ: Khi tử và mẫu đều có dấu âm "ẩn" (dạng a - b thay vì b - a), nhân cả hai với (-1) để đổi dấu!
🎯 Ghi nhớ: - Tính chất cơ bản của phân thức: Nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0, giá trị phân thức không đổi. - Quy đồng mẫu thức: Phân tích mẫu → Tìm MTC → Tìm nhân tử phụ → Nhân tử và mẫu với nhân tử phụ. - Hai mẫu đối nhau (như x - 1 và 1 - x): Chọn một làm MTC, đổi dấu phân thức còn lại.