Giải Toán 8 - Tập 2 trang 71

Luyện tập 4

Đề bài: Thống kê điểm kiểm tra cuối năm môn Toán của một nhóm 100 học sinh lớp 8 được chọn ngẫu nhiên tại ba lớp của trường Trung học cơ sở X, thu được kết quả như bảng sau:

a) Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X. Hãy tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau:

• A: "Học sinh đó có điểm nhỏ hơn hoặc bằng 5";
• B: "Học sinh đó có điểm từ 4 đến 9".

b) Hãy dự đoán trong nhóm 80 học sinh lớp 8 chọn ngẫu nhiên từ ba lớp khác của trường X:

• Có bao nhiêu học sinh có số điểm không vượt quá 5 điểm?
• Có bao nhiêu học sinh có số điểm từ 4 đến 9 điểm?

---

Câu a

Đề bài: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố A và B.

Cách giải

Bước 1: Xác định tổng số học sinh được khảo sát.

Tổng số học sinh = 100

Bước 2: Tính số học sinh thuộc biến cố A (điểm ≤ 5).

Học sinh có điểm từ 1 đến 5 gồm:

• Điểm 1: 7 học sinh
• Điểm 2: 9 học sinh
• Điểm 3: 11 học sinh
• Điểm 4: 11 học sinh
• Điểm 5: 12 học sinh

Số học sinh thuộc A = 7 + 9 + 11 + 11 + 12 = 50 học sinh

Bước 3: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố A.

P(A) = 50/100 = 0,5

Bước 4: Tính số học sinh thuộc biến cố B (điểm từ 4 đến 9).

Học sinh có điểm từ 4 đến 9 gồm:

• Điểm 4: 11 học sinh
• Điểm 5: 12 học sinh
• Điểm 6: 12 học sinh
• Điểm 7: 13 học sinh
• Điểm 8: 9 học sinh
• Điểm 9: 8 học sinh

Số học sinh thuộc B = 11 + 12 + 12 + 13 + 9 + 8 = 65 học sinh

Bước 5: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố B.

P(B) = 65/100 = 0,65

Đáp án: - P(A) = 0,5 - P(B) = 0,65

💡 Mẹo bấm máy: Để tính tổng nhanh, bấm: 7 + 9 + 11 + 11 + 12 = (được 50)

---

Câu b

Đề bài: Dự đoán số học sinh trong nhóm 80 học sinh.

Cách giải

Bước 1: Dự đoán số học sinh có điểm không vượt quá 5.

Gọi k là số học sinh có điểm ≤ 5.

Ta có: P(A) ≈ k/80

Thay giá trị ước lượng P(A) = 0,5:

k/80 ≈ 0,5

Suy ra: k ≈ 80 × 0,5 = 40

Bước 2: Dự đoán số học sinh có điểm từ 4 đến 9.

Gọi h là số học sinh có điểm từ 4 đến 9.

Ta có: P(B) ≈ h/80

Thay giá trị ước lượng P(B) = 0,65:

h/80 ≈ 0,65

Suy ra: h ≈ 80 × 0,65 = 52

Đáp án: - Có khoảng 40 học sinh có số điểm không vượt quá 5 điểm. - Có khoảng 52 học sinh có số điểm từ 4 đến 9 điểm.

---

Bài 8.8

Đề bài: Tung một chiếc kẹp giấy 145 lần xuống sàn nhà lát gạch đá hoa hình vuông. Quan sát thấy có 113 lần chiếc kẹp nằm hoàn toàn bên trong hình vuông và 32 lần chiếc kẹp nằm trên cạnh hình vuông. Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau:

a) E: "Chiếc kẹp giấy nằm hoàn toàn trong hình vuông";

b) F: "Chiếc kẹp giấy nằm trên cạnh của hình vuông".

---

Câu a

Đề bài: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố E.

Cách 1 — Áp dụng công thức trực tiếp

Bước 1: Xác định các dữ kiện.

• Tổng số lần tung: 145 lần
• Số lần kẹp nằm hoàn toàn trong hình vuông: 113 lần

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất thực nghiệm.

P(E) = Số lần biến cố E xảy ra / Tổng số lần thử nghiệm

P(E) = 113/145

Bước 3: Tính kết quả (làm tròn nếu cần).

P(E) = 113/145 ≈ 0,779

Đáp án: P(E) = 113/145 ≈ 0,78 (hay khoảng 0,779)

Cách 2 — Viết dưới dạng phân số tối giản

113 và 145 có ƯCLN = 1 (vì 113 là số nguyên tố)

Vậy phân số 113/145 đã tối giản.

Đáp án: P(E) = 113/145

💡 Mẹo bấm máy: Bấm 113 ÷ 145 = được khoảng 0,7793...

---

Câu b

Đề bài: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố F.

Cách giải

Bước 1: Xác định các dữ kiện.

• Tổng số lần tung: 145 lần
• Số lần kẹp nằm trên cạnh hình vuông: 32 lần

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất thực nghiệm.

P(F) = Số lần biến cố F xảy ra / Tổng số lần thử nghiệm

P(F) = 32/145

Bước 3: Tính kết quả.

P(F) = 32/145 ≈ 0,221

Đáp án: P(F) = 32/145 ≈ 0,22 (hay khoảng 0,221)

💡 Mẹo nhớ: Kiểm tra lại: P(E) + P(F) = 113/145 + 32/145 = 145/145 = 1. Điều này hợp lý vì kẹp chỉ có thể nằm trong hoặc trên cạnh hình vuông.

---

Bài 8.9

Đề bài: Một nhân viên kiểm tra chất lượng sản phẩm tại một nhà máy trong 20 ngày rồi ghi lại số phế phẩm của nhà máy mỗi ngày và thu được kết quả như sau:

Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau:

a) M: "Trong một ngày nhà máy đó không có phế phẩm";

b) N: "Trong một ngày nhà máy đó chỉ có 1 phế phẩm";

c) K: "Trong một ngày nhà máy đó có ít nhất 2 phế phẩm".

---

Câu a

Đề bài: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố M.

Cách giải

Bước 1: Xác định các dữ kiện.

• Tổng số ngày kiểm tra: 20 ngày
• Số ngày không có phế phẩm (0 phế phẩm): 14 ngày

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất thực nghiệm.

P(M) = Số ngày không có phế phẩm / Tổng số ngày

P(M) = 14/20

Bước 3: Rút gọn phân số.

P(M) = 14/20 = 7/10 = 0,7

Đáp án: P(M) = 14/20 = 7/10 = 0,7

---

Câu b

Đề bài: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố N.

Cách giải

Bước 1: Xác định các dữ kiện.

• Tổng số ngày kiểm tra: 20 ngày
• Số ngày có đúng 1 phế phẩm: 3 ngày

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất thực nghiệm.

P(N) = Số ngày có 1 phế phẩm / Tổng số ngày

P(N) = 3/20

Bước 3: Tính kết quả.

P(N) = 3/20 = 0,15

Đáp án: P(N) = 3/20 = 0,15

---

Câu c

Đề bài: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố K.

Cách 1 — Cộng trực tiếp các trường hợp

Bước 1: Xác định "ít nhất 2 phế phẩm" nghĩa là gì.

"Ít nhất 2 phế phẩm" = có 2 phế phẩm HOẶC 3 phế phẩm HOẶC từ 4 phế phẩm trở lên.

Bước 2: Đếm số ngày thuộc biến cố K.

• Số ngày có 2 phế phẩm: 1 ngày
• Số ngày có 3 phế phẩm: 1 ngày
• Số ngày có ≥ 4 phế phẩm: 1 ngày

Tổng số ngày thuộc K = 1 + 1 + 1 = 3 ngày

Bước 3: Tính xác suất thực nghiệm.

P(K) = 3/20 = 0,15

Đáp án: P(K) = 3/20 = 0,15

Cách 2 — Dùng biến cố đối

Bước 1: Xác định biến cố đối của K.

Biến cố đối của K là "có ít hơn 2 phế phẩm" = có 0 hoặc 1 phế phẩm.

Bước 2: Tính xác suất biến cố đối.

Số ngày có 0 hoặc 1 phế phẩm = 14 + 3 = 17 ngày

P(đối của K) = 17/20

Bước 3: Tính P(K).

P(K) = 1 − P(đối của K) = 1 − 17/20 = 3/20 = 0,15

Đáp án: P(K) = 3/20 = 0,15

💡 Mẹo nhớ: "Ít nhất 2" nghĩa là ≥ 2, tức là 2, 3, 4, 5,... Có thể dùng biến cố đối: P(ít nhất 2) = 1 − P(0 hoặc 1).

---

🎯 Ghi nhớ: - Xác suất thực nghiệm = Số lần biến cố xảy ra / Tổng số lần thử nghiệm - Khi dự đoán cho mẫu mới: Số lượng dự đoán = Xác suất × Kích thước mẫu mới - "Ít nhất n" nghĩa là ≥ n; "Không vượt quá n" nghĩa là ≤ n - Có thể dùng biến cố đối để tính nhanh: P(A) = 1 − P(không phải A)