Giải Toán 8 - Tập 2 trang 80
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 80–81
Luyện tập 1
Đề bài:
Trong các tam giác được vẽ trên ô lưới vuông (H.9.3), có một cặp tam giác đồng dạng. Hãy chỉ ra cặp tam giác đó, viết đúng kí hiệu đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng của chúng.
Cách giải
Bước 1: Xác định các tam giác trong hình
Quan sát Hình 9.3, ta thấy có các tam giác:
- Tam giác ABF
- Tam giác FED
- Tam giác EKG
- Tam giác GDC
- Tam giác KHC
Bước 2: Đo độ dài các cạnh dựa trên ô lưới vuông
Giả sử mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 đơn vị.
Tam giác ABF:
- Cạnh AB (đứng): 2 đơn vị
- Cạnh BF (ngang): 2 đơn vị
- Tam giác ABF vuông cân tại B
Tam giác KHC:
- Cạnh HC (ngang): 4 đơn vị
- Cạnh KH (đứng): 4 đơn vị
- Tam giác KHC vuông cân tại H
Bước 3: Kiểm tra tỉ số các cạnh tương ứng
So sánh tam giác ABF và tam giác KHC:
- AB/KH = 2/4 = 1/2
- BF/HC = 2/4 = 1/2
- Góc ABF = góc KHC = 90°
Hai tam giác có:
- Tỉ số các cạnh bằng nhau: AB/KH = BF/HC = 1/2
- Góc xen giữa bằng nhau (đều bằng 90°)
Bước 4: Kết luận
Theo trường hợp đồng dạng cạnh-góc-cạnh (c.g.c):
Đáp án: △ABF ∾ △KHC với tỉ số đồng dạng k = 1/2
Thử thách nhỏ
Đề bài:
Cho △ABC ∾ △MNP. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC cân tại đỉnh A thì tam giác MNP cân tại đỉnh M.
b) Nếu tam giác ABC đều thì tam giác MNP đều.
c) Nếu AB ≥ AC ≥ BC thì MN ≥ MP ≥ NP.
Câu a
Đề bài: Nếu tam giác ABC cân tại đỉnh A thì tam giác MNP cân tại đỉnh M.
Cách giải
Bước 1: Xác định giả thiết
- △ABC ∾ △MNP (giả thiết)
- Tam giác ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC
Bước 2: Sử dụng tính chất đồng dạng
Vì △ABC ∾ △MNP nên các cạnh tương ứng tỉ lệ:
AB/MN = AC/MP = BC/NP = k (tỉ số đồng dạng)
Bước 3: Suy ra kết luận
Từ AB = AC, ta có:
- AB/MN = AC/MP
- Mà AB = AC nên: AB/MN = AB/MP
- Suy ra: MN = MP
Bước 4: Kết luận
Đáp án: Tam giác MNP có MN = MP nên tam giác MNP cân tại đỉnh M (đpcm).
Câu b
Đề bài: Nếu tam giác ABC đều thì tam giác MNP đều.
Cách giải
Bước 1: Xác định giả thiết
- △ABC ∾ △MNP
- Tam giác ABC đều, nghĩa là AB = BC = CA và góc A = góc B = góc C = 60°
Bước 2: Sử dụng tính chất đồng dạng
Vì △ABC ∾ △MNP nên:
- Các góc tương ứng bằng nhau: góc M = góc A = 60°, góc N = góc B = 60°, góc P = góc C = 60°
- Các cạnh tương ứng tỉ lệ: AB/MN = BC/NP = CA/PM = k
Bước 3: Suy ra kết luận
Từ AB = BC = CA, ta có:
- AB/MN = BC/NP = CA/PM = k
- Mà AB = BC = CA nên MN = NP = PM
Bước 4: Kết luận
Đáp án: Tam giác MNP có ba cạnh bằng nhau (MN = NP = PM) và ba góc bằng 60° nên tam giác MNP đều (đpcm).
Câu c
Đề bài: Nếu AB ≥ AC ≥ BC thì MN ≥ MP ≥ NP.
Cách giải
Bước 1: Xác định giả thiết
- △ABC ∾ △MNP với tỉ số đồng dạng k > 0
- AB ≥ AC ≥ BC
Bước 2: Viết tỉ lệ các cạnh tương ứng
Vì △ABC ∾ △MNP nên:
- AB/MN = k → MN = AB/k
- AC/MP = k → MP = AC/k
- BC/NP = k → NP = BC/k
Bước 3: So sánh các cạnh
Từ AB ≥ AC ≥ BC, chia cả ba vế cho k (k > 0, không đổi chiều bất đẳng thức):
AB/k ≥ AC/k ≥ BC/k
Hay: MN ≥ MP ≥ NP
Bước 4: Kết luận
Đáp án: MN ≥ MP ≥ NP (đpcm).
Hoạt động 2 (HĐ2) - Tìm hiểu định lí
Đề bài:
Cho tam giác ABC và các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC như Hình 9.4.
- Hãy viết các cặp góc bằng nhau của hai tam giác ABC và AMN, giải thích vì sao chúng bằng nhau.
- Kẻ đường thẳng đi qua N song song với AB và cắt BC tại P. Hãy chứng tỏ MN = BP và suy ra MN/BC = AN/AC = AM/AB.
- Tam giác ABC và tam giác AMN có đồng dạng không? Nếu có hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng.
Phần 1: Viết các cặp góc bằng nhau
Cách giải
Bước 1: Xác định các góc chung
Góc A là góc chung của cả hai tam giác ABC và AMN.
Vậy: góc MAN = góc BAC (góc chung)
Bước 2: Xác định các góc đồng vị
Vì MN // BC (giả thiết) và AB là đường thẳng cắt hai đường thẳng song song này:
góc AMN = góc ABC (hai góc đồng vị)
Vì MN // BC và AC là đường thẳng cắt hai đường thẳng song song này:
góc ANM = góc ACB (hai góc đồng vị)
Đáp án: - góc MAN = góc BAC (góc chung) - góc AMN = góc ABC (đồng vị, do MN // BC) - góc ANM = góc ACB (đồng vị, do MN // BC)
Phần 2: Chứng minh MN = BP và tỉ lệ các cạnh
Cách giải
Bước 1: Chứng minh MNPB là hình bình hành
- MN // BC (giả thiết), suy ra MN // BP
- NP // AB (theo cách dựng), suy ra NP // MB
Tứ giác MNPB có hai cặp cạnh đối song song nên MNPB là hình bình hành.
Bước 2: Suy ra MN = BP
Trong hình bình hành MNPB, hai cạnh đối bằng nhau:
MN = BP
Bước 3: Áp dụng định lí Thales
Trong tam giác ABC, có NP // AB (M ∈ AB, P ∈ BC), theo định lí Thales:
AN/AC = CP/CB = NP/AB
Mà NP = MB (cạnh đối hình bình hành) và BP = MN, nên:
CP = BC - BP = BC - MN
Ta có: AN/AC = (BC - MN)/BC = 1 - MN/BC
Từ đó suy ra: MN/BC = AN/AC = AM/AB
Đáp án: MN = BP (cạnh đối hình bình hành) và MN/BC = AN/AC = AM/AB.
Phần 3: Kết luận về đồng dạng
Cách giải
Bước 1: Kiểm tra điều kiện đồng dạng
Hai tam giác AMN và ABC có:
- góc A chung
- góc AMN = góc ABC (đồng vị)
- góc ANM = góc ACB (đồng vị)
Bước 2: Kết luận
Theo trường hợp góc-góc-góc (g.g.g), hai tam giác có ba cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
Đáp án: Có, tam giác ABC và tam giác AMN đồng dạng. Kí hiệu: △AMN ∾ △ABC
🎯 Ghi nhớ: - Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. - Khi viết kí hiệu đồng dạng, phải viết đúng thứ tự các đỉnh tương ứng. - Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.