Giải Toán 8 - Tập 2 trang 82

Tóm tắt lý thuyết

Trang này khép lại Bài 33 (các phần Luyện tập, Vận dụng, Bài tập) và mở đầu Bài 34 – "Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác".

Kiến thức then chốt cần nhớ:

• Nếu $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$ thì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Thứ tự đỉnh trong kí hiệu phải đúng theo cặp tương ứng.
• Hai tam giác bằng nhau là trường hợp đặc biệt của đồng dạng (tỉ số bằng 1).
• Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

---

Luyện tập 2 (Hình 9.8)

Đề: Các đường thẳng $AB$, $CD$, $EF$ song song với nhau. Hãy liệt kê ba cặp tam giác (phân biệt) đồng dạng.

Trong hình, hai đường chéo cắt nhau tại $O$:

• Tia $A$–$C$–$O$–$F$ là một đường chéo.
• Tia $B$–$D$–$O$–$E$ là đường chéo còn lại.

Vì $AB \parallel CD \parallel EF$ nên ta có ba cặp tam giác đồng dạng:

1. $\triangle OAB \backsim \triangle OCD$ (vì $CD \parallel AB$, $C$ thuộc $OA$, $D$ thuộc $OB$).
2. $\triangle OCD \backsim \triangle OFE$ (vì $CD \parallel EF$, hai góc đối đỉnh $\widehat{COD} = \widehat{FOE}$).
3. $\triangle OAB \backsim \triangle OFE$ (suy ra từ hai cặp trên, hoặc do $AB \parallel EF$).

---

Vận dụng (tính chiều cao cột đèn)

Đề: Cọc gỗ cao 1 m, $EC = 80\ \text{cm} = 0{,}8\ \text{m}$, $EB = 4\ \text{m}$.

Bác Dương dùng hai tam giác đồng dạng: tam giác tạo bởi cọc gỗ (cao 1 m, cách điểm ngắm $E$ là $EC = 0{,}8$ m) và tam giác tạo bởi cột đèn $AB$ (cách $E$ là $EB = 4$ m). Hai tam giác này đồng dạng nên các cạnh tương ứng tỉ lệ:

$$\frac{AB}{\text{cọc gỗ}} = \frac{EB}{EC} \;\Rightarrow\; AB = 1 \cdot \frac{4}{0{,}8} = 5\ \text{(m)}.$$

Vậy chiều cao cột đèn là 5 m.

---

BÀI TẬP

Bài 9.1

Cho $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$, khẳng định nào không đúng?

Cặp tương ứng đúng: $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$.

Đáp án: d). Vì ở câu d), $C$ ứng với $N$ và $B$ ứng với $P$ là sai (lẽ ra $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$).

Bài 9.2

Khẳng định nào đúng?

• a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng. → Đúng (tỉ số đồng dạng bằng 1).
• b) Hai tam giác bất kì đồng dạng. → Sai.
• c) Hai tam giác đều bất kì đồng dạng. → Đúng (mọi tam giác đều đều có ba góc $60^\circ$).
• d) Hai tam giác vuông bất kì đồng dạng. → Sai (chỉ chắc bằng một góc $90^\circ$).
• e) Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau. → Sai.

Đáp án đúng: a) và c).

Bài 9.3 (Hình 9.9)

Đề: $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$. Tìm năm tam giác đôi một đồng dạng và giải thích.

$PN$, $PM$, $MN$ là các đường trung bình nên:

• $PN \parallel BC$, $PM \parallel AC$, $MN \parallel AB$, mỗi đoạn bằng nửa cạnh tương ứng.

Năm tam giác là: $\triangle ABC$, $\triangle APN$, $\triangle PBM$, $\triangle NMC$, $\triangle MNP$.

Giải thích:

1. $\triangle APN \backsim \triangle ABC$: chung góc $A$, $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{2}$ (c.g.c).
2. $\triangle BPM \backsim \triangle BAC$: chung góc $B$, $\dfrac{BP}{BA} = \dfrac{BM}{BC} = \dfrac{1}{2}$ (c.g.c).
3. $\triangle CNM \backsim \triangle CAB$: chung góc $C$, $\dfrac{CN}{CA} = \dfrac{CM}{CB} = \dfrac{1}{2}$ (c.g.c).
4. $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$: ba cạnh đều bằng nửa ba cạnh của $\triangle ABC$, $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{NP}{BC} = \dfrac{PM}{CA} = \dfrac{1}{2}$ (c.c.c).

Cả bốn tam giác nhỏ đều đồng dạng với $\triangle ABC$ (tỉ số $\tfrac12$), nên năm tam giác đôi một đồng dạng với nhau.

Bài 9.4

Đề: $\triangle ABC$ cân tại $A$, $\triangle MNP$ cân tại $M$, $\widehat{BAC} = \widehat{PMN}$, $AB = 2MN$. Chứng minh $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$ và tìm tỉ số đồng dạng.

Vì $\triangle MNP$ cân tại $M$ nên $MN = MP$; $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.

Xét $\triangle MNP$ và $\triangle ABC$:

• $\widehat{NMP} = \widehat{BAC}$ (giả thiết).
• $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{MP}{AC}$ vì $MN = MP$, $AB = AC$, và $AB = 2MN$ nên cả hai tỉ số đều bằng $\dfrac{1}{2}$.

Hai cạnh tỉ lệ kèm góc xen giữa bằng nhau nên:

$$\triangle MNP \backsim \triangle ABC \ (\text{c.g.c}).$$

Tỉ số đồng dạng: $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{1}{2}$.

---

Bài 34: BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC

Tình huống mở đầu (Hình 9.10)

Đề: Khung thành rộng $7{,}32$ m, bóng cách hai cột gôn lần lượt $10{,}98$ m và $14{,}64$ m. Làm sao đo được góc sút bằng dụng cụ học tập?

Gợi ý: Để ý $7{,}32 : 10{,}98 : 14{,}64 = 2 : 3 : 4$. Em hãy vẽ trên giấy một tam giác có ba cạnh dài $2$ cm, $3$ cm, $4$ cm. Tam giác này đồng dạng (c.c.c) với tam giác thực tế, nên góc tại vị trí trái bóng (góc đối diện cạnh $7{,}32$ m, tức cạnh $2$ cm) bằng góc sút thật. Dùng thước đo độ đo góc đó trên hình vẽ là ra góc sút.

HĐ1 – Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh

Cho $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{B'C'}{BC}$.

a) Nếu $A'B' = AB$:
Khi đó tỉ số bằng $1$, suy ra $A'B' = AB$, $A'C' = AC$, $B'C' = BC$. Hai tam giác có ba cặp cạnh bằng nhau nên $\triangle A'B'C' = \triangle ABC$ (c.c.c), do đó chúng đồng dạng (tỉ số $1$).

b) Nếu $A'B' < AB$ (Hình 9.11): lấy $M$ trên $AB$ với $AM = A'B'$, kẻ $MN \parallel BC$ ($N$ trên $AC$).

• Vì $MN \parallel BC$ nên $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$ (theo định lí về đường thẳng song song với một cạnh).
• Từ đó $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. Mà $AM = A'B'$ và theo giả thiết $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{B'C'}{BC}$, suy ra $AN = A'C'$ và $MN = B'C'$.
• Vậy $\triangle AMN$ và $\triangle A'B'C'$ có $AM = A'B'$, $AN = A'C'$, $MN = B'C'$ nên $\triangle AMN = \triangle A'B'C'$ (c.c.c).
• Kết hợp $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$, ta được $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$.

c) Nếu $A'B' > AB$:
Lúc này $AB < A'B'$, ta lặp lại lập luận ở câu b) nhưng đổi vai trò hai tam giác (lấy điểm trên $A'B'$). Kết quả vẫn cho $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$. Quan hệ tỉ lệ ba cạnh là đối xứng nên hai tam giác luôn đồng dạng.

Kết luận: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng (trường hợp c.c.c).

---

Em nắm chắc trường hợp c.c.c ở HĐ1 nhé, vì đây là nền tảng để học tiếp hai trường hợp c.g.c và g.g ngay sau đó. Nếu cần thầy vẽ lại Hình 9.8 hay 9.9 rõ hơn để dễ hình dung, cứ nói nhé.