Giải Toán 8 - Tập 2 trang 12
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 12–13
Hai trang này gồm phần bài tập (6.8 → 6.14) và phần LUYỆN TẬP CHUNG với hai ví dụ mẫu. Mình sẽ giải hết bài tập, rồi tóm tắt lại hai ví dụ nhé.
Tóm tắt lý thuyết cần dùng
- Đổi dấu phân thức: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{-B}$.
- Rút gọn: phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cho nhân tử chung.
- Hai phân thức bằng nhau: $\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D} \Leftrightarrow A\cdot D = B\cdot C$.
- Quy đồng: tìm mẫu thức chung (MTC) là BCNN của các mẫu, rồi nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ.
Bài 6.8: Tìm đa thức thay cho dấu "?"
Đề: $\dfrac{y-x}{4-x} = \dfrac{?}{x-4}$.
Nhân cả tử và mẫu vế trái với $-1$:
$$\frac{y-x}{4-x} = \frac{-(y-x)}{-(4-x)} = \frac{x-y}{x-4}.$$
Vậy dấu "?" là $\boxed{x-y}$.
Bài 6.9: Rút gọn các phân thức
a) $\dfrac{5x+10}{25x^2+50}$
$$= \frac{5(x+2)}{25(x^2+2)} = \frac{x+2}{5(x^2+2)}.$$
b) $\dfrac{45x(3-x)}{15x(x-3)^3}$
Vì $3-x = -(x-3)$ nên:
$$= \frac{45x\cdot[-(x-3)]}{15x(x-3)^3} = \frac{-3(x-3)}{(x-3)^3} = \frac{-3}{(x-3)^2}.$$
c) $\dfrac{(x^2-1)^2}{(x+1)(x^3+1)}$
Ta có $x^2-1=(x-1)(x+1)$ nên $(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2$; và $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.
$$= \frac{(x-1)^2(x+1)^2}{(x+1)\cdot(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{(x-1)^2}{x^2-x+1}.$$
Bài 6.10: Cho phân thức $P=\dfrac{x+1}{x^2-1}$
a) Rút gọn:
$$P = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} = Q.$$
b) Tại $x=11$:
$$P = \frac{11+1}{11^2-1} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}; \qquad Q = \frac{1}{11-1} = \frac{1}{10}.$$
Hai kết quả bằng nhau ($P=Q=\dfrac{1}{10}$). Điều này hợp lý vì $Q$ chính là dạng rút gọn của $P$.
Bài 6.11: Tìm $a$ để hai phân thức bằng nhau
Đề: $\dfrac{5x}{x+1}$ và $\dfrac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}$.
Biến đổi phân thức thứ hai, chú ý $x-1 = -(1-x)$:
$$\frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)} = \frac{ax\cdot[-(1-x)]}{(1-x)(x+1)} = \frac{-ax}{x+1}.$$
Để bằng $\dfrac{5x}{x+1}$ thì $-ax = 5x \Rightarrow -a = 5 \Rightarrow a = -5.$
Vậy $\boxed{a=-5}$.
Bài 6.12: Quy đồng mẫu thức
a) $\dfrac{1}{x^3-8}$ và $\dfrac{3}{4-2x}$
Phân tích mẫu: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$; $\;4-2x = -2(x-2)$.
MTC $= 2(x-2)(x^2+2x+4)$.
$$\frac{1}{x^3-8} = \frac{2}{2(x-2)(x^2+2x+4)};$$
$$\frac{3}{4-2x} = \frac{3}{-2(x-2)} = \frac{-3(x^2+2x+4)}{2(x-2)(x^2+2x+4)}.$$
b) $\dfrac{x}{x^2-1}$ và $\dfrac{1}{x^2+2x+1}$
Phân tích: $x^2-1=(x-1)(x+1)$; $\;x^2+2x+1=(x+1)^2$.
MTC $=(x-1)(x+1)^2$.
$$\frac{x}{x^2-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)^2}; \qquad \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)^2}.$$
Bài 6.13: Quy đồng mẫu thức
a) $\dfrac{1}{x+2};\; \dfrac{x+1}{x^2-4x+4};\; \dfrac{5}{2-x}$
Phân tích: $x^2-4x+4=(x-2)^2$; $\;2-x=-(x-2)$.
MTC $=(x+2)(x-2)^2$.
$$\frac{1}{x+2} = \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)^2};$$
$$\frac{x+1}{(x-2)^2} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)^2};$$
$$\frac{5}{2-x} = \frac{-5}{x-2} = \frac{-5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)^2}.$$
b) $\dfrac{1}{3x+3y};\; \dfrac{2x}{x^2-y^2};\; \dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}$
Phân tích: $3x+3y=3(x+y)$; $\;x^2-y^2=(x-y)(x+y)$; $\;x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$.
MTC $=3(x+y)(x-y)^2$.
$$\frac{1}{3(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{3(x+y)(x-y)^2};$$
$$\frac{2x}{(x-y)(x+y)} = \frac{6x(x-y)}{3(x+y)(x-y)^2};$$
$$\frac{x^2-xy+y^2}{(x-y)^2} = \frac{3(x+y)(x^2-xy+y^2)}{3(x+y)(x-y)^2} = \frac{3(x^3+y^3)}{3(x+y)(x-y)^2}.$$
(Dùng hằng đẳng thức $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.)
Bài 6.14: Cho hai phân thức $\dfrac{9x^2+3x+1}{27x^3-1}$ và $\dfrac{x^2-4x}{16-x^2}$
a) Rút gọn từng phân thức:
$27x^3-1=(3x-1)(9x^2+3x+1)$, nên:
$$\frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1} = \frac{9x^2+3x+1}{(3x-1)(9x^2+3x+1)} = \frac{1}{3x-1}.$$
$x^2-4x=x(x-4)$; $\;16-x^2=(4-x)(4+x)=-(x-4)(x+4)$, nên:
$$\frac{x^2-4x}{16-x^2} = \frac{x(x-4)}{-(x-4)(x+4)} = \frac{-x}{x+4}.$$
b) Quy đồng $\dfrac{1}{3x-1}$ và $\dfrac{-x}{x+4}$.
MTC $=(3x-1)(x+4)$.
$$\frac{1}{3x-1} = \frac{x+4}{(3x-1)(x+4)}; \qquad \frac{-x}{x+4} = \frac{-x(3x-1)}{(3x-1)(x+4)}.$$
Tóm tắt LUYỆN TẬP CHUNG (phần ví dụ mẫu)
Ví dụ 1: Cho $P=\dfrac{x^2-4}{x-2}$.
- ĐKXĐ: $x\neq 2$.
- Rút gọn: $P=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 = Q$.
- Tại $x=13$ (thỏa ĐKXĐ): $P=\dfrac{165}{11}=15$ và $Q=13+2=15$ → bằng nhau.
Chú ý quan trọng: khi tính giá trị phân thức tại một giá trị của biến thỏa ĐKXĐ, ta nên rút gọn trước rồi mới thay số, tính sẽ nhanh và gọn hơn.
Ví dụ 2: Lá cờ hình chữ nhật rộng 12 cm, dài 19 cm, tăng mỗi cạnh thêm $x$ cm.
- Tỉ số rộng/dài mới: $\dfrac{12+x}{19+x}$.
- Tại $x=2$: $\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$ → đúng tỉ lệ chuẩn 2 : 3 của quốc kì Việt Nam.
Chúc em ôn tập tốt phần phân thức nhé!