Giải Toán 8 - Tập 2 trang 86

Câu hỏi (Hình 9.17)

Đề bài: Những cặp tam giác nào trong Hình 9.17 là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Thông tin từ hình:

• Tam giác ABC: góc A = 70°, AC = 2, AB = 3
• Tam giác DEF: góc D = 70°, DF = 3, DE = 4
• Tam giác MNP: góc M = 70°, MN = 6, MP = 4

---

Cách giải

Bước 1: Xác định các yếu tố của từng tam giác

Bước 2: Kiểm tra điều kiện đồng dạng c.g.c

Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c khi có một góc bằng nhau và hai cạnh kề góc đó tỉ lệ.

So sánh △ABC và △DEF:

• Â = D̂ = 70° ✓
• Tỉ số các cạnh kề:
• AB/DE = 3/4
• AC/DF = 2/3

Vì 3/4 ≠ 2/3 nên △ABC và △DEF không đồng dạng.

So sánh △ABC và △MNP:

• Â = M̂ = 70° ✓
• Tỉ số các cạnh kề:
• AB/MN = 3/6 = 1/2
• AC/MP = 2/4 = 1/2

Vì AB/MN = AC/MP = 1/2 và Â = M̂ nên theo trường hợp c.g.c:

△ABC ∼ △MNP (c.g.c)

So sánh △DEF và △MNP:

• D̂ = M̂ = 70° ✓
• Tỉ số các cạnh kề:
• DE/MN = 4/6 = 2/3
• DF/MP = 3/4

Vì 2/3 ≠ 3/4 nên △DEF và △MNP không đồng dạng.

Đáp án: △ABC ∼ △MNP

---

Luyện tập 2

Đề bài: Cho △A'B'C' ∼ △ABC. Trên tia đối của các tia CB, C'B' lần lượt lấy các điểm M, M' sao cho MC/MB = M'C'/M'B'. Chứng minh rằng △A'B'M' ∼ △ABM.

---

Cách giải

Bước 1: Ghi nhận giả thiết

• △A'B'C' ∼ △ABC với tỉ số k
• M nằm trên tia đối của tia CB (tức B nằm giữa C và M)
• M' nằm trên tia đối của tia C'B' (tức B' nằm giữa C' và M')
• MC/MB = M'C'/M'B'

Bước 2: Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng

Vì △A'B'C' ∼ △ABC nên:

• B̂' = B̂
• A'B'/AB = B'C'/BC = k

Bước 3: Tính tỉ số M'B'/MB

Từ MC/MB = M'C'/M'B', ta có:

MC = MB + BC (vì B nằm giữa C và M)

M'C' = M'B' + B'C' (vì B' nằm giữa C' và M')

Đặt MC/MB = M'C'/M'B' = t

Suy ra: MC = t × MB và M'C' = t × M'B'

Ta có:

• MB + BC = t × MB → BC = (t-1) × MB → MB = BC/(t-1)
• M'B' + B'C' = t × M'B' → B'C' = (t-1) × M'B' → M'B' = B'C'/(t-1)

Do đó: M'B'/MB = B'C'/BC = k

Bước 4: Chứng minh △A'B'M' ∼ △ABM

Xét △A'B'M' và △ABM có:

• B̂' = B̂ (vì △A'B'C' ∼ △ABC)
• M'B'/MB = k (chứng minh trên)
• A'B'/AB = k (vì △A'B'C' ∼ △ABC)

Suy ra: M'B'/MB = A'B'/AB

Vậy △A'B'M' ∼ △ABM (c.g.c)

---

Tranh luận

Câu 1

Đề bài: Bạn Lan nhận xét rằng nếu tam giác ABC và tam giác A'B'C' có A'B'/AB = A'C'/AC và B̂' = B̂ thì chúng đồng dạng. Theo em, bạn Lan nhận xét có đúng không? Vì sao?

Gợi ý: Khi góc ACB tù, lấy điểm M trên tia BC sao cho △AMC cân (H.9.19) rồi xét xem trong hai tam giác ABC và ABM, tam giác nào đồng dạng với tam giác A'B'C'.

---

Cách giải

Bước 1: Phân tích nhận xét của bạn Lan

Bạn Lan cho rằng: Nếu A'B'/AB = A'C'/AC và B̂' = B̂ thì △ABC ∼ △A'B'C'.

Đây KHÔNG phải là trường hợp đồng dạng c.g.c vì:

• Trường hợp c.g.c yêu cầu: góc bằng nhau phải xen giữa hai cạnh tỉ lệ
• Ở đây góc B (hoặc B') không xen giữa các cạnh AB, AC (hoặc A'B', A'C')

Bước 2: Tìm phản ví dụ

Theo gợi ý, xét góc ACB là góc tù.

Lấy điểm M trên tia BC sao cho △AMC cân tại A (tức AM = AC).

Khi đó trong △ABM:

• Góc ABM = góc ABC = B̂
• Cạnh AB và AM

Trong △ABC:

• Góc ABC = B̂
• Cạnh AB và AC

Ta có thể chọn tam giác A'B'C' đồng dạng với △ABM (không phải △ABC) mà vẫn thỏa mãn:

• B̂' = B̂
• A'B'/AB = A'C'/AC (với AC ≠ AM trong trường hợp tổng quát)

Bước 3: Kết luận

Bạn Lan nhận xét SAI.

Lý do: Điều kiện A'B'/AB = A'C'/AC và B̂' = B̂ chưa đủ để kết luận hai tam giác đồng dạng vì góc B không xen giữa hai cạnh AB và AC. Có thể tồn tại hai tam giác khác nhau có cùng góc B và cùng tỉ số hai cạnh kề đỉnh A nhưng không đồng dạng với nhau.

---

Câu 2

Đề bài: Nếu thêm giả thiết Ĉ và Ĉ' đều là góc nhọn thì hai tam giác ABC và A'B'C' có đồng dạng không?

---

Cách giải

Bước 1: Phân tích với điều kiện bổ sung

Giả thiết ban đầu:

• A'B'/AB = A'C'/AC = k
• B̂' = B̂

Giả thiết bổ sung:

• Ĉ và Ĉ' đều là góc nhọn

Bước 2: Sử dụng định lý sin

Trong △ABC, theo định lý sin:
AB/sin C = AC/sin B

Trong △A'B'C', theo định lý sin:
A'B'/sin C' = A'C'/sin B'

Vì B̂' = B̂ nên sin B' = sin B.

Từ A'B'/AB = A'C'/AC = k, ta có:

• A'B' = k × AB
• A'C' = k × AC

Suy ra: (k × AB)/sin C' = (k × AC)/sin B

→ AB/sin C' = AC/sin B

Mà AB/sin C = AC/sin B (trong △ABC)

→ sin C' = sin C

Bước 3: Xét trường hợp góc nhọn

Vì Ĉ và Ĉ' đều là góc nhọn và sin C' = sin C, nên:

Ĉ' = Ĉ (vì trong khoảng (0°; 90°), hàm sin là đơn điệu tăng)

Bước 4: Kết luận

Khi đó ta có:

• B̂' = B̂
• Ĉ' = Ĉ
• Suy ra Â' = Â (vì tổng ba góc bằng 180°)

Có, nếu thêm giả thiết Ĉ và Ĉ' đều là góc nhọn thì △ABC ∼ △A'B'C' (g.g)

---

🎯 Ghi nhớ: - Trường hợp đồng dạng c.g.c: Góc bằng nhau phải xen giữa hai cạnh tỉ lệ - Khi viết kí hiệu đồng dạng △ABC ∼ △DEF, các đỉnh tương ứng phải viết theo đúng thứ tự: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F - Điều kiện "hai cạnh tỉ lệ và một góc bằng nhau" chưa đủ nếu góc đó không xen giữa hai cạnh