Giải Toán 8 - Tập 2 trang 19

Chào các em! Hai trang này thuộc bài về phép cộng, trừ phân thức. Cô sẽ tóm tắt nhanh phần lý thuyết ở trang 18 rồi giải chi tiết toàn bộ bài tập trang 19 nhé.

Tóm tắt lý thuyết (trang 18)

Hai ý chính cần nhớ:

1. Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối, sau đó dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử triệt tiêu nhau.
2. Quy tắc dấu ngoặc:

• Trước dấu ngoặc có dấu "+" → bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu các số hạng.
• Trước dấu ngoặc có dấu "−" → bỏ ngoặc, đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc.

Luyện tập 4

Rút gọn $P = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}$.

$$P = \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right) + \left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y}\right) + \frac{1}{z} = \frac{1}{z}$$

Luyện tập 5

Yêu cầu giải thích cách làm của Vuông trong tình huống mở đầu (ở đầu bài học, không có trong hai trang này). Bản chất là bạn Vuông đã dùng quy tắc dấu ngoặc và tính chất giao hoán, kết hợp để các phân thức giống nhau triệt tiêu, giúp tính nhanh mà không cần quy đồng phức tạp.

Vận dụng (trang 19)

Chú Đức: 20 km trong thành phố với vận tốc $x$; 50 km cao tốc với vận tốc $x+55$; còn 15 phút $= \dfrac14$ giờ.

a) Thời gian chạy trong thành phố: $\dfrac{20}{x}$ (giờ).

Thời gian chạy trên cao tốc: $\dfrac{50}{x+55}$ (giờ).

b) Tổng thời gian:

$$t = \frac{20}{x} + \frac{50}{x+55} + \frac{1}{4}\ \text{(giờ)}$$

Bài 6.20

a) $\dfrac{x^2-3x+1}{2x^2} + \dfrac{5x-1-x^2}{2x^2}$

$$= \frac{x^2-3x+1+5x-1-x^2}{2x^2} = \frac{2x}{2x^2} = \frac{1}{x}$$

b) $\dfrac{y}{x-y} + \dfrac{x}{x+y}$

$$= \frac{y(x+y)+x(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy+y^2+x^2-xy}{x^2-y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$$

c) $\dfrac{x}{2x-6} + \dfrac{9}{2x(3-x)}$

Ta có $2x-6 = 2(x-3)$ và $2x(3-x) = -2x(x-3)$:

$$= \frac{x}{2(x-3)} - \frac{9}{2x(x-3)} = \frac{x\cdot x - 9}{2x(x-3)} = \frac{x^2-9}{2x(x-3)} = \frac{(x-3)(x+3)}{2x(x-3)} = \frac{x+3}{2x}$$

Bài 6.21

a) $\dfrac{5-3x}{x+1} - \dfrac{-2+5x}{x+1}$

$$= \frac{5-3x-(-2+5x)}{x+1} = \frac{5-3x+2-5x}{x+1} = \frac{7-8x}{x+1}$$

b) $\dfrac{x}{x-y} - \dfrac{y}{x+y}$

$$= \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy-xy+y^2}{x^2-y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$$

c) $\dfrac{3}{x+1} - \dfrac{2+3x}{x^3+1}$

Vì $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$:

$$= \frac{3(x^2-x+1)-(2+3x)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{3x^2-3x+3-2-3x}{x^3+1} = \frac{3x^2-6x+1}{x^3+1}$$

Bài 6.22

a) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{3}{x+2}$

Nhóm các hạng tử triệt tiêu:

$$= \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x+2}\right)+\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1}$$

$$= \frac{2(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2-2x-2}{x^2-1} = \frac{-4}{x^2-1}$$

b) $\dfrac{2x-1}{x}+\dfrac{1-x}{2x+1}+\dfrac{3}{x^2-9}+\dfrac{1-2x}{x}+\dfrac{x-1}{2x+1}-\dfrac{3}{x+3}$

Nhóm:

$$\left(\frac{2x-1}{x}+\frac{1-2x}{x}\right)+\left(\frac{1-x}{2x+1}+\frac{x-1}{2x+1}\right)+\frac{3}{x^2-9}-\frac{3}{x+3}$$

Hai nhóm đầu bằng 0. Còn lại:

$$\frac{3}{(x-3)(x+3)}-\frac{3}{x+3} = \frac{3-3(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{12-3x}{(x-3)(x+3)} = \frac{-3(x-4)}{x^2-9}$$

Bài 6.23

a) $\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}+\dfrac{x}{2-x}+\dfrac{4-x}{5x-10}$

Phân tích: $x^2+4x+4=(x+2)^2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, nên $\dfrac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x+2}{x-2}$.

Đổi $\dfrac{x}{2-x}=-\dfrac{x}{x-2}$ và $5x-10=5(x-2)$. Quy đồng về mẫu $5(x-2)$:

$$= \frac{5(x+2)-5x+(4-x)}{5(x-2)} = \frac{5x+10-5x+4-x}{5(x-2)} = \frac{14-x}{5(x-2)}$$

b) $\dfrac{x}{x^2+1}-\left(\dfrac{3}{x+6}+\dfrac{2-x}{x+4}\right)+\left[\dfrac{3}{x+6}-\left(\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{x-2}{x+4}\right)\right]$

Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc:

$$= \frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{2-x}{x+4}+\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{x-2}{x+4}$$

Nhóm lại:

$$= \left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(-\frac{3}{x+6}+\frac{3}{x+6}\right)+\left(\frac{x-2}{x+4}-\frac{2-x}{x+4}\right)$$

$$= \frac{x-1}{x^2+1}+0+\frac{2x-4}{x+4} = \frac{x-1}{x^2+1}+\frac{2x-4}{x+4}$$

Bài 6.24

a) $\dfrac{x-y}{xy}+\dfrac{y-z}{yz}+\dfrac{z-x}{zx}$

Quy đồng về mẫu $xyz$:

$$= \frac{z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)}{xyz} = \frac{zx-zy+xy-xz+yz-yx}{xyz} = \frac{0}{xyz} = 0$$

b) $\dfrac{x}{(x-y)^2}+\dfrac{y}{y^2-x^2}$

Vì $y^2-x^2=-(x-y)(x+y)$:

$$= \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)} = \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}$$

$$= \frac{x^2+xy-xy+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$$

Bài 6.25

Vận tốc tàu khi nước lặng 10 km/h, vận tốc dòng nước $x$ km/h, quãng đường mỗi chiều 15 km.

a) Vận tốc xuôi dòng $= 10+x$, vận tốc ngược dòng $= 10-x$.

• Thời gian xuôi dòng: $\dfrac{15}{10+x}$ (giờ).
• Thời gian ngược dòng: $\dfrac{15}{10-x}$ (giờ).
• Tổng thời gian:

$$t = \frac{15}{10+x}+\frac{15}{10-x} = \frac{15(10-x)+15(10+x)}{(10+x)(10-x)} = \frac{300}{100-x^2}\ \text{(giờ)}$$

b) Với $x=2$:

$$t = \frac{300}{100-4} = \frac{300}{96} = \frac{25}{8} = 3{,}125\ \text{giờ} = 3\ \text{giờ }7{,}5\ \text{phút}$$

Vậy tàu chạy hết khoảng 3 giờ 7,5 phút.

Các em chú ý kĩ thuật chung của cả chương này: nhìn xem có cặp phân thức nào giống nhau để triệt tiêu trước, còn lại mới quy đồng. Làm vậy gọn hơn nhiều so với quy đồng tất cả ngay từ đầu nhé.