Giải Toán 8 - Tập 1 trang 25
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 25–26
Tóm tắt lý thuyết
Phần này nói về cách chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết):
- Đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ nếu mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$.
- Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$, ta chia từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả lại.
Quy tắc chia lũy thừa: $x^m : x^n = x^{m-n}$ (với $m \ge n$).
Luyện tập 2
Đề: Làm tính chia $(6x^4y^3 - 8x^3y^4 + 3x^2y^2) : 2xy^2$.
Chia từng hạng tử cho $2xy^2$:
$$
\begin{aligned}
&= 6x^4y^3 : 2xy^2 - 8x^3y^4 : 2xy^2 + 3x^2y^2 : 2xy^2 \\
&= 3x^3y - 4x^2y^2 + \frac{3}{2}x
\end{aligned}
$$
Vận dụng 2
Đề: Tìm đa thức $A$ sao cho $A \cdot (-3xy) = 9x^3y + 3xy^3 - 6x^2y^2$.
Vì biết tích và một thừa số, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết:
$$
A = (9x^3y + 3xy^3 - 6x^2y^2) : (-3xy)
$$
$$
\begin{aligned}
&= 9x^3y:(-3xy) + 3xy^3:(-3xy) - 6x^2y^2:(-3xy) \\
&= -3x^2 - y^2 + 2xy
\end{aligned}
$$
Vậy $A = -3x^2 + 2xy - y^2$.
Bài 1.30
a) Tìm đơn thức $M$, biết $\dfrac{7}{3}x^3y^2 : M = 7xy^2$.
Số bị chia chia cho thương sẽ ra số chia:
$$
M = \frac{7}{3}x^3y^2 : 7xy^2 = \frac{7}{3} : 7 \cdot x^{3-1} y^{2-2} = \frac{1}{3}x^2
$$
Vậy $M = \dfrac{1}{3}x^2$.
b) Tìm đơn thức $N$ sao cho $N : 0{,}5xy^2z = -xy$.
Lấy thương nhân với số chia:
$$
N = -xy \cdot 0{,}5xy^2z = -0{,}5x^2y^3z
$$
Bài 1.31
Cho $A = 9xy^4 - 12x^2y^3 + 6x^3y^2$. Xét $A$ có chia hết cho $B$ không.
a) $B = 3x^2y$.
Hạng tử $9xy^4$ chỉ chứa $x^1$, trong khi $B$ chứa $x^2$. Số mũ của $x$ trong $B$ lớn hơn số mũ của $x$ trong hạng tử này, nên $9xy^4$ không chia hết cho $B$.
→ Vậy $A$ không chia hết cho $B = 3x^2y$.
b) $B = -3xy^2$.
Kiểm tra: mọi hạng tử của $A$ đều có $x$ với số mũ $\ge 1$ và $y$ với số mũ $\ge 2$, nên đều chia hết cho $B$. Thực hiện phép chia:
$$
\begin{aligned}
A : B &= 9xy^4:(-3xy^2) - 12x^2y^3:(-3xy^2) + 6x^3y^2:(-3xy^2) \\
&= -3y^2 + 4xy - 2x^2
\end{aligned}
$$
Vậy $A : B = -2x^2 + 4xy - 3y^2$.
Bài 1.32
Đề: Thực hiện phép chia $(7y^5z^2 - 14y^4z^3 + 2{,}1y^3z^4) : (-7y^3z^2)$.
$$
\begin{aligned}
&= 7y^5z^2:(-7y^3z^2) - 14y^4z^3:(-7y^3z^2) + 2{,}1y^3z^4:(-7y^3z^2) \\
&= -y^2 + 2yz - 0{,}3z^2
\end{aligned}
$$
Luyện tập chung (Ví dụ tham khảo)
Trang 25 có hai ví dụ mẫu đã giải sẵn trong sách:
- Ví dụ 1: rút gọn $T = (5xy - 4y^2)(3x^2 + 4xy) - 15xy(x+y)(x-y)$ được $T = 8x^2y^2 - xy^3$, từ đó $D = 8x - y$.
- Ví dụ 2: với $A = 2x^2y^2 - 5xy^3$ và $B = 3x^m y^2$, tìm được $m = 1$ và $A : B = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}y$.
Dưới đây mình giải hai bài tập của phần này.
Bài 1.33
Cho $P = 5x(3x^2y - 2xy^2 + 1) - 3xy(5x^2 - 3xy) + x^2y^2$.
a) Thu gọn $P$:
$$
\begin{aligned}
P &= 15x^3y - 10x^2y^2 + 5x - 15x^3y + 9x^2y^2 + x^2y^2 \\
&= (15x^3y - 15x^3y) + (-10x^2y^2 + 9x^2y^2 + x^2y^2) + 5x \\
&= 0 + 0 + 5x \\
&= 5x
\end{aligned}
$$
Sau khi thu gọn, $P = 5x$ chỉ chứa biến $x$, không còn biến $y$ nào. Vậy giá trị của $P$ chỉ phụ thuộc vào $x$, không phụ thuộc vào $y$.
b) Tìm $x$ để $P = 10$:
$$
5x = 10 \Rightarrow x = 2
$$
Bài 1.34
Đề: Rút gọn $(3x^2 - 5xy - 4y^2)(2x^2 + y^2) + (2x^4y - x^3y^3 - x^2y^4) : \left(\dfrac{1}{5}xy\right)$.
Tính phần nhân trước:
$$
\begin{aligned}
(3x^2 - 5xy - 4y^2)(2x^2 + y^2) &= 6x^4 + 3x^2y^2 - 10x^3y - 5xy^3 - 8x^2y^2 - 4y^4 \\
&= 6x^4 - 10x^3y - 5x^2y^2 - 5xy^3 - 4y^4
\end{aligned}
$$
Tính phần chia (chia cho $\frac{1}{5}xy$ tức là nhân kết quả mỗi hạng tử với $5$):
$$
\begin{aligned}
(2x^4y - x^3y^3 - x^2y^4) : \frac{1}{5}xy &= 2x^4y:\frac{1}{5}xy - x^3y^3:\frac{1}{5}xy - x^2y^4:\frac{1}{5}xy \\
&= 10x^3 - 5x^2y^2 - 5xy^3
\end{aligned}
$$
Cộng hai kết quả:
$$
\begin{aligned}
&= (6x^4 - 10x^3y - 5x^2y^2 - 5xy^3 - 4y^4) + (10x^3 - 5x^2y^2 - 5xy^3) \\
&= 6x^4 - 10x^3y + 10x^3 - 10x^2y^2 - 10xy^3 - 4y^4
\end{aligned}
$$
Vậy kết quả rút gọn là:
$$
6x^4 - 10x^3y + 10x^3 - 10x^2y^2 - 10xy^3 - 4y^4
$$