Giải Toán 8 - Tập 1 trang 31
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 31–32
Luyện tập 1
Câu hỏi
Đề bài: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?
a) a(a + 2b) = a² + 2ab
b) a + 1 = 3a − 1
Cách 1 — Kiểm tra bằng định nghĩa
Nhắc lại: Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn bằng nhau với mọi giá trị của các biến.
a) a(a + 2b) = a² + 2ab
Bước 1: Khai triển vế trái
Vế trái = a(a + 2b) = a × a + a × 2b = a² + 2ab
Bước 2: So sánh với vế phải
Vế phải = a² + 2ab
Bước 3: Kết luận
Vế trái = Vế phải với mọi giá trị của a và b.
✅ Đáp án: a(a + 2b) = a² + 2ab là hằng đẳng thức.
b) a + 1 = 3a − 1
Bước 1: Thử với một giá trị cụ thể, ví dụ a = 0
- Vế trái = 0 + 1 = 1
- Vế phải = 3 × 0 − 1 = −1
Bước 2: So sánh
Vế trái = 1 ≠ −1 = Vế phải
Bước 3: Kết luận
Tồn tại giá trị a = 0 mà hai vế không bằng nhau.
❌ Đáp án: a + 1 = 3a − 1 không là hằng đẳng thức.
Cách 2 — Biến đổi đại số
a) Khai triển vế trái: a(a + 2b) = a² + 2ab = Vế phải ✅
b) Chuyển vế: a + 1 = 3a − 1 ⟺ a − 3a = −1 − 1 ⟺ −2a = −2 ⟺ a = 1
Đẳng thức chỉ đúng khi a = 1, không đúng với mọi a ❌
💡 Mẹo nhớ: Để kiểm tra hằng đẳng thức, ta có thể: - Khai triển/rút gọn hai vế rồi so sánh - Hoặc thử một vài giá trị cụ thể (nếu có giá trị làm hai vế khác nhau → không phải hằng đẳng thức)
Hoạt động 1 (HĐ1) — Hiệu hai bình phương
Câu hỏi
Đề bài: Quan sát Hình 2.1
a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a.
b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1b.
c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b?
Cách giải
Mô tả hình:
- Hình 2.1a: Hình vuông cạnh a, bên trong có hình vuông nhỏ cạnh b (góc trên bên phải). Phần màu xanh là phần còn lại.
- Hình 2.1b: Hình chữ nhật có chiều dài (a + b) và chiều rộng (a − b).
a) Diện tích phần màu xanh ở Hình 2.1a
Bước 1: Tính diện tích hình vuông lớn cạnh a
- S₁ = a × a = a²
Bước 2: Tính diện tích hình vuông nhỏ cạnh b
- S₂ = b × b = b²
Bước 3: Tính diện tích phần màu xanh
- S(xanh) = S₁ − S₂ = a² − b²
✅ Đáp án câu a: Diện tích phần màu xanh = a² − b²
b) Diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1b
Hình chữ nhật có:
- Chiều dài = a + b
- Chiều rộng = a − b
Diện tích = chiều dài × chiều rộng = (a + b)(a − b)
✅ Đáp án câu b: Diện tích hình chữ nhật = (a + b)(a − b)
c) Nhận xét về diện tích hai hình
Từ hình vẽ, ta thấy phần màu xanh ở Hình 2.1a được cắt ghép thành hình chữ nhật ở Hình 2.1b.
Do đó, hai diện tích bằng nhau:
a² − b² = (a + b)(a − b)
✅ Đáp án câu c: Diện tích hai hình bằng nhau. Từ đó suy ra công thức: a² − b² = (a − b)(a + b)
Luyện tập 2
Câu hỏi
Đề bài:
a) Tính nhanh 99² − 1
b) Viết x² − 9 dưới dạng tích
Cách 1 — Áp dụng công thức hiệu hai bình phương
Công thức: A² − B² = (A − B)(A + B)
a) Tính nhanh 99² − 1
Bước 1: Nhận dạng
99² − 1 = 99² − 1²
Đây là hiệu hai bình phương với A = 99, B = 1
Bước 2: Áp dụng công thức
99² − 1² = (99 − 1)(99 + 1) = 98 × 100
Bước 3: Tính kết quả
= 9800
✅ Đáp án câu a: 99² − 1 = 9800
b) Viết x² − 9 dưới dạng tích
Bước 1: Nhận dạng
x² − 9 = x² − 3²
Đây là hiệu hai bình phương với A = x, B = 3
Bước 2: Áp dụng công thức
x² − 3² = (x − 3)(x + 3)
✅ Đáp án câu b: x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Cách 2 — Tính trực tiếp (chỉ áp dụng cho câu a)
a) 99² − 1 = 9801 − 1 = 9800
💡 Mẹo bấm máy: - Bấm:99x²−1=- Kết quả: 9800
Vận dụng
Câu hỏi
Đề bài: Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.
Cách giải
Giải thích: Bạn đó đã sử dụng công thức hiệu hai bình phương:
A² − B² = (A − B)(A + B)
Ví dụ với 101² − 99²:
- A = 101, B = 99
- 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 × 200 = 400
Thay vì tính 101² = 10201 và 99² = 9801 rồi trừ, ta chỉ cần nhân 2 × 200.
✅ Đáp án: Bạn đó áp dụng công thức hiệu hai bình phương: A² − B² = (A − B)(A + B) để biến phép tính lũy thừa thành phép nhân đơn giản hơn.
Hoạt động 3 (HĐ3) — Bình phương của một tổng
Câu hỏi
Đề bài: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b) · (a + b).
Từ đó rút ra liên hệ giữa (a + b)² và a² + 2ab + b².
Cách giải
Bước 1: Thực hiện phép nhân
(a + b) · (a + b) = (a + b)²
Khai triển:
= a · a + a · b + b · a + b · b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
Bước 2: Rút ra liên hệ
✅ Đáp án: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Đây chính là công thức bình phương của một tổng.
🎯 Ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. Hiệu hai bình phương: A² − B² = (A − B)(A + B) 2. Bình phương của một tổng: (A + B)² = A² + 2AB + B² 💡 Mẹo nhớ công thức bình phương tổng: "Bình phương số đầu, cộng 2 lần tích, cộng bình phương số sau"