Giải Toán 8 - Tập 1 trang 33
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 33–34
PHẦN LUYỆN TẬP (Trang 32)
Luyện tập 3
Câu 1
Đề bài: Khai triển (2b + 1)²
Cách 1 — Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng
Ta có hằng đẳng thức: (A + B)² = A² + 2AB + B²
Với A = 2b và B = 1, ta được:
(2b + 1)² = (2b)² + 2 × 2b × 1 + 1²
= 4b² + 4b + 1
Đáp án: (2b + 1)² = 4b² + 4b + 1
Cách 2 — Nhân đa thức với đa thức
(2b + 1)² = (2b + 1)(2b + 1)
= 2b × 2b + 2b × 1 + 1 × 2b + 1 × 1
= 4b² + 2b + 2b + 1
= 4b² + 4b + 1
💡 Mẹo nhớ: "Bình phương số đầu, cộng hai lần tích, cộng bình phương số sau"
Câu 2
Đề bài: Viết biểu thức 9y² + 6yx + x² dưới dạng bình phương của một tổng.
Cách giải
Bước 1: Nhận dạng các thành phần
- 9y² = (3y)² → đây là bình phương của 3y
- x² = x² → đây là bình phương của x
- 6yx = 2 × 3y × x → đây là 2 lần tích của 3y và x
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức ngược
Theo hằng đẳng thức: A² + 2AB + B² = (A + B)²
Với A = 3y và B = x:
9y² + 6yx + x² = (3y)² + 2 × 3y × x + x² = (3y + x)²
Đáp án: 9y² + 6yx + x² = (3y + x)² hoặc (x + 3y)²
Luyện tập 4
Đề bài: Khai triển (3x – 2y)²
Cách 1 — Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu
Ta có hằng đẳng thức: (A – B)² = A² – 2AB + B²
Với A = 3x và B = 2y, ta được:
(3x – 2y)² = (3x)² – 2 × 3x × 2y + (2y)²
= 9x² – 12xy + 4y²
Đáp án: (3x – 2y)² = 9x² – 12xy + 4y²
Cách 2 — Nhân đa thức với đa thức
(3x – 2y)² = (3x – 2y)(3x – 2y)
= 3x × 3x + 3x × (–2y) + (–2y) × 3x + (–2y) × (–2y)
= 9x² – 6xy – 6xy + 4y²
= 9x² – 12xy + 4y²
Vận dụng
Đề bài: Trong trò chơi "Ai thông minh hơn học sinh lớp 8", người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính 1002². Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.
Cách giải
Bước 1: Viết 1002 dưới dạng tổng
1002 = 1000 + 2
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng
(A + B)² = A² + 2AB + B²
Với A = 1000 và B = 2:
1002² = (1000 + 2)²
= 1000² + 2 × 1000 × 2 + 2²
= 1 000 000 + 4000 + 4
= 1 004 004
Đáp án: Nam đã tính nhanh bằng cách viết 1002 = 1000 + 2, rồi áp dụng hằng đẳng thức (A + B)² = A² + 2AB + B². Kết quả là 1002² = 1 004 004
💡 Mẹo bấm máy: Để kiểm tra, bấm1002x²=được 1004004
PHẦN BÀI TẬP (Trang 33)
Bài 2.1
Đề bài: Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
Câu a) x + 2 = 3x + 1
Cách giải:
Thử với x = 0:
- Vế trái: 0 + 2 = 2
- Vế phải: 3 × 0 + 1 = 1
Vì 2 ≠ 1 nên đẳng thức không đúng với mọi giá trị của x.
Đáp án: Không phải hằng đẳng thức
Câu b) 2x(x + 1) = 2x² + 2x
Cách giải:
Khai triển vế trái:
2x(x + 1) = 2x × x + 2x × 1 = 2x² + 2x
Vế trái = Vế phải với mọi giá trị của x.
Đáp án: Là hằng đẳng thức
Câu c) (a + b)a = a² + ba
Cách giải:
Khai triển vế trái:
(a + b)a = a × a + b × a = a² + ba
Vế trái = Vế phải với mọi giá trị của a và b.
Đáp án: Là hằng đẳng thức
Câu d) a – 2 = 2a + 1
Cách giải:
Thử với a = 0:
- Vế trái: 0 – 2 = –2
- Vế phải: 2 × 0 + 1 = 1
Vì –2 ≠ 1 nên đẳng thức không đúng với mọi giá trị của a.
Đáp án: Không phải hằng đẳng thức
Bài 2.2
Đề bài: Thay [?] bằng biểu thức thích hợp.
Câu a) (x – 3y)(x + 3y) = x² – [?]
Cách giải:
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: (A – B)(A + B) = A² – B²
Với A = x và B = 3y:
(x – 3y)(x + 3y) = x² – (3y)² = x² – 9y²
Đáp án: [?] = 9y²
Câu b) (2x – y)(2x + y) = 4[?] – y²
Cách giải:
Áp dụng hằng đẳng thức: (A – B)(A + B) = A² – B²
Với A = 2x và B = y:
(2x – y)(2x + y) = (2x)² – y² = 4x² – y²
Vậy 4[?] = 4x², suy ra [?] = x²
Đáp án: [?] = x²
Câu c) x² + 8xy + [?] = ([?] + 4y)²
Cách giải:
Vế phải có dạng (A + 4y)², khai triển được: A² + 2 × A × 4y + 16y² = A² + 8Ay + 16y²
So sánh với vế trái x² + 8xy + [?]:
- A² = x² → A = x
- 8Ay = 8xy (đúng với A = x)
- Số hạng còn lại = 16y²
Đáp án: [?] = 16y² và [?] = x
Viết đầy đủ: x² + 8xy + 16y² = (x + 4y)²
Câu d) [?] – 12xy + 9y² = (2x – [?])²
Cách giải:
Vế phải có dạng (2x – B)², khai triển được: 4x² – 2 × 2x × B + B² = 4x² – 4Bx + B²
So sánh với vế trái [?] – 12xy + 9y²:
- 9y² = B² → B = 3y
- –4Bx = –12xy → –4 × 3y × x = –12xy (đúng)
- Số hạng đầu = 4x²
Đáp án: [?] = 4x² và [?] = 3y
Viết đầy đủ: 4x² – 12xy + 9y² = (2x – 3y)²
Bài 2.3
Đề bài: Tính nhanh
Câu a) 54 × 66
Cách 1 — Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
Bước 1: Viết 54 và 66 dưới dạng hiệu và tổng
54 = 60 – 6
66 = 60 + 6
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức (A – B)(A + B) = A² – B²
54 × 66 = (60 – 6)(60 + 6) = 60² – 6²
= 3600 – 36
= 3564
Đáp án: 54 × 66 = 3564
Cách 2 — Tính trực tiếp
54 × 66 = 54 × (60 + 6) = 54 × 60 + 54 × 6 = 3240 + 324 = 3564
💡 Mẹo bấm máy: Bấm54×66=được 3564
Câu b) 203²
Cách 1 — Dùng hằng đẳng thức bình phương của một tổng
Bước 1: Viết 203 = 200 + 3
Bước 2: Áp dụng (A + B)² = A² + 2AB + B²
203² = (200 + 3)²
= 200² + 2 × 200 × 3 + 3²
= 40 000 + 1200 + 9
= 41 209
Đáp án: 203² = 41 209
Cách 2 — Dùng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu
203 = 210 – 7
203² = (210 – 7)² = 210² – 2 × 210 × 7 + 7² = 44100 – 2940 + 49 = 41209
💡 Mẹo bấm máy: Bấm203x²=được 41209
Bài 2.4
Đề bài: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu.
Câu a) x² + 4x + 4
Cách giải:
Bước 1: Nhận dạng các thành phần
- x² = x² (bình phương của x)
- 4 = 2² (bình phương của 2)
- 4x = 2 × x × 2 (hai lần tích của x và 2)
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức
x² + 4x + 4 = x² + 2 × x × 2 + 2² = (x + 2)²
Đáp án: x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Câu b) 16a² – 16ab + 4b²
Cách giải:
Bước 1: Nhận dạng các thành phần
- 16a² = (4a)² (bình phương của 4a)
- 4b² = (2b)² (bình phương của 2b)
- 16ab = 2 × 4a × 2b (hai lần tích của 4a và 2b)
Bước 2: Vì có dấu trừ ở giữa, đây là bình phương của một hiệu
16a² – 16ab + 4b² = (4a)² – 2 × 4a × 2b + (2b)² = (4a – 2b)²
Đáp án: 16a² – 16ab + 4b² = (4a – 2b)²
Bài 2.5
Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau.
Câu a) (x – 3y)² – (x + 3y)²
Cách 1 — Khai triển từng bình phương
Bước 1: Khai triển (x – 3y)²
(x – 3y)² = x² – 2 × x × 3y + (3y)² = x² – 6xy + 9y²
Bước 2: Khai triển (x + 3y)²
(x + 3y)² = x² + 2 × x × 3y + (3y)² = x² + 6xy + 9y²
Bước 3: Trừ hai kết quả
(x – 3y)² – (x + 3y)² = (x² – 6xy + 9y²) – (x² + 6xy + 9y²)
= x² – 6xy + 9y² – x² – 6xy – 9y²
= –12xy
Đáp án: (x – 3y)² – (x + 3y)² = –12xy
Cách 2 — Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
Đặt A = (x – 3y) và B = (x + 3y)
A² – B² = (A – B)(A + B)
= [(x – 3y) – (x + 3y)][(x – 3y) + (x + 3y)]
= (x – 3y – x – 3y)(x – 3y + x + 3y)
= (–6y)(2x)
= –12xy
Câu b) (3x + 4y)² + (4x – 3y)²
Cách giải:
Bước 1: Khai triển (3x + 4y)²
(3x + 4y)² = (3x)² + 2 × 3x × 4y + (4y)²
= 9x² + 24xy + 16y²
Bước 2: Khai triển (4x – 3y)²
(4x – 3y)² = (4x)² – 2 × 4x × 3y + (3y)²
= 16x² – 24xy + 9y²
Bước 3: Cộng hai kết quả
(3x + 4y)² + (4x – 3y)² = (9x² + 24xy + 16y²) + (16x² – 24xy + 9y²)
= 9x² + 24xy + 16y² + 16x² – 24xy + 9y²
= 25x² + 25y²
= 25(x² + y²)
Đáp án: (3x + 4y)² + (4x – 3y)² = 25x² + 25y² hoặc 25(x² + y²)
Bài 2.6
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có: (n + 2)² – n² chia hết cho 4.
Cách 1 — Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức A² – B² = (A – B)(A + B)
Với A = n + 2 và B = n:
(n + 2)² – n² = [(n + 2) – n][(n + 2) + n]
= (n + 2 – n)(n + 2 + n)
= 2 × (2n + 2)
= 2 × 2 × (n + 1)
= 4(n + 1)
Bước 2: Kết luận
Vì 4(n + 1) có thừa số 4 nên 4(n + 1) chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên n.
Đáp án: (n + 2)² – n² = 4(n + 1) chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên n. (đpcm)
Cách 2 — Khai triển trực tiếp
Bước 1: Khai triển (n + 2)²
(n + 2)² = n² + 4n + 4
Bước 2: Tính hiệu
(n + 2)² – n² = n² + 4n + 4 – n² = 4n + 4 = 4(n + 1)
Bước 3: Kết luận
4(n + 1) chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên n.
🎯 Ghi nhớ: - Bình phương của một tổng: (A + B)² = A² + 2AB + B² - Bình phương của một hiệu: (A – B)² = A² – 2AB + B² - Hiệu hai bình phương: A² – B² = (A – B)(A + B) - Để tính nhanh bình phương của số gần số tròn, viết số đó thành tổng hoặc hiệu rồi áp dụng hằng đẳng thức.