Giải Toán 8 - Tập 1 trang 35

Hai trang này thuộc Bài 7: Lập phương của một tổng hay một hiệu (sách Toán 8 - Tập 1, Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải chi tiết toàn bộ hoạt động và bài luyện tập nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Hai hằng đẳng thức trọng tâm của bài:

Mẹo nhớ: cả hai đều có 4 số hạng, số mũ của $A$ giảm dần từ 3 về 0, số mũ của $B$ tăng dần từ 0 đến 3, hệ số lần lượt là 1, 3, 3, 1. Với hiệu thì dấu đan xen: $+ - + -$.

HĐ1: Xây dựng công thức lập phương của một tổng

Đề: Với hai số $a, b$ bất kì, thực hiện phép tính $(a+b)\cdot(a+b)^2$.

Lời giải:

$$(a+b)\cdot(a+b)^2 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2)$$

Nhân phân phối từng hạng tử:

$$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$$

Gộp các hạng tử đồng dạng:

$$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Vì $(a+b)^3 = (a+b)\cdot(a+b)^2$ nên ta rút ra:

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Tổng quát với hai biểu thức $A, B$ tùy ý: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.

Luyện tập 1

Câu 1. Khai triển:

a) $(x+3)^3$

Áp dụng công thức với $A = x$, $B = 3$:

$$(x+3)^3 = x^3 + 3\cdot x^2 \cdot 3 + 3\cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$$

b) $(x+2y)^3$

Áp dụng với $A = x$, $B = 2y$:

$$(x+2y)^3 = x^3 + 3\cdot x^2\cdot(2y) + 3\cdot x\cdot(2y)^2 + (2y)^3$$

$$= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$$

Câu 2. Rút gọn biểu thức $(2x+y)^3 - 8x^3 - y^3$.

Trước hết khai triển $(2x+y)^3$ với $A = 2x$, $B = y$:

$$(2x+y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 y + 3(2x)y^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$$

Thay vào biểu thức:

$$(2x+y)^3 - 8x^3 - y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 - 8x^3 - y^3$$

Triệt tiêu $8x^3$ và $y^3$:

$$= 12x^2y + 6xy^2$$

Có thể đặt nhân tử chung cho gọn hơn: $= 6xy(2x + y)$.

Luyện tập 2

Đề: Viết biểu thức $x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3$ dưới dạng lập phương của một tổng.

Lời giải:

Ta nhận thấy số hạng đầu là $x^3$ nên $A = x$, số hạng cuối là $27y^3 = (3y)^3$ nên $B = 3y$. Kiểm tra hai số hạng giữa:

• $3A^2B = 3\cdot x^2\cdot 3y = 9x^2y$ ✓
• $3AB^2 = 3\cdot x\cdot(3y)^2 = 3x\cdot 9y^2 = 27xy^2$ ✓

Cả 4 số hạng đều khớp, vậy:

$$x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3 = (x + 3y)^3$$

HĐ2: Xây dựng công thức lập phương của một hiệu

Đề: Với hai số $a, b$ bất kì, viết $a - b = a + (-b)$ rồi áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính $(a-b)^3$.

Lời giải:

$$(a-b)^3 = \big(a + (-b)\big)^3$$

Áp dụng công thức lập phương của một tổng với số hạng thứ hai là $(-b)$:

$$= a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3$$

$$= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Vậy ta rút ra liên hệ: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Tổng quát: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Luyện tập 3

Đề: Khai triển $(2x - y)^3$.

Lời giải:

Áp dụng công thức lập phương của một hiệu với $A = 2x$, $B = y$:

$$(2x-y)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2 y + 3(2x)y^2 - y^3$$

Tính từng số hạng:

• $(2x)^3 = 8x^3$
• $3(2x)^2 y = 3\cdot 4x^2\cdot y = 12x^2y$
• $3(2x)y^2 = 6xy^2$
• $y^3$

Kết quả:

$$(2x-y)^3 = 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$$

Lưu ý các ví dụ (Ví dụ 1, 2, 3) đã được sách giải sẵn nên mình tập trung vào phần các em cần tự làm. Nếu cần mình giải lại chi tiết bất kỳ ví dụ nào, cứ nói nhé.