Giải Toán 8 - Tập 1 trang 37

Hai trang này thuộc cuối Bài 7 (các hằng đẳng thức lập phương) và mở đầu Bài 8 (Tổng và hiệu hai lập phương) trong sách Toán 8 – Tập 1 (Kết nối tri thức).

Tóm tắt lý thuyết

Các hằng đẳng thức cần dùng:

---

Luyện tập 4

Đề: Viết biểu thức $8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$ dưới dạng lập phương của một hiệu.

Lời giải:

Nhận dạng theo $(A-B)^3$ với $A = 2x$, $B = 3y$:

$$8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 - (3y)^3 = (2x - 3y)^3$$

Vận dụng

Đề: Rút gọn $(x-y)^3 + (x+y)^3$.

Lời giải:

$$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$$

$$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$$

Cộng lại, các hạng tử chứa số mũ lẻ của $y$ triệt tiêu:

$$(x-y)^3 + (x+y)^3 = 2x^3 + 6xy^2$$

---

Bài 2.7: Khai triển

a) $(x^2 + 2y)^3$

Áp dụng $(A+B)^3$ với $A = x^2$, $B = 2y$:

$$(x^2 + 2y)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2(2y) + 3(x^2)(2y)^2 + (2y)^3 = x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3$$

b) $\left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)^3$

Áp dụng $(A-B)^3$ với $A = \dfrac{1}{2}x$, $B = 1$:

$$\left(\tfrac{1}{2}x - 1\right)^3 = \tfrac{1}{8}x^3 - 3\cdot\tfrac{1}{4}x^2 + 3\cdot\tfrac{1}{2}x - 1 = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x - 1$$

Bài 2.8: Viết dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu

a) $27 + 54x + 36x^2 + 8x^3$

Nhận dạng với $A = 3$, $B = 2x$ (kiểm tra: $3\cdot 3^2\cdot 2x = 54x$, $3\cdot 3\cdot 4x^2 = 36x^2$):

$$27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 = (3 + 2x)^3$$

b) $64x^3 + 144x^2y + 108xy^2 + 27y^3$

Nhận dạng với $A = 4x$, $B = 3y$ (kiểm tra: $3(4x)^2(3y) = 144x^2y$, $3(4x)(3y)^2 = 108xy^2$):

$$64x^3 + 144x^2y + 108xy^2 + 27y^3 = (4x + 3y)^3$$

Bài 2.9: Tính nhanh giá trị biểu thức

a) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$ tại $x = 7$

Thu gọn về lập phương: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3$.

Thay $x = 7$:

$$(7 + 3)^3 = 10^3 = 1000$$

b) $27 - 54x + 36x^2 - 8x^3$ tại $x = 6{,}5$

Thu gọn: $27 - 54x + 36x^2 - 8x^3 = (3 - 2x)^3$.

Thay $x = 6{,}5$:

$$(3 - 2\cdot 6{,}5)^3 = (3 - 13)^3 = (-10)^3 = -1000$$

Bài 2.10: Rút gọn

a) $(x - 2y)^3 + (x + 2y)^3$

Khi cộng hai lập phương đối xứng, các hạng tử mũ lẻ triệt tiêu:

$$(x-2y)^3 + (x+2y)^3 = 2x^3 + 6x(2y)^2 = 2x^3 + 24xy^2$$

b) $(3x + 2y)^3 + (3x - 2y)^3$

Tương tự với $A = 3x$, $B = 2y$:

$$(3x+2y)^3 + (3x-2y)^3 = 2(3x)^3 + 6(3x)(2y)^2 = 54x^3 + 72xy^2$$

Bài 2.11: Chứng minh $(a-b)^3 = -(b-a)^3$

Lời giải:

Ta có $b - a = -(a - b)$. Lập phương hai vế:

$$(b - a)^3 = \big[-(a-b)\big]^3 = (-1)^3 (a-b)^3 = -(a-b)^3$$

Nhân hai vế với $-1$:

$$-(b-a)^3 = (a-b)^3$$

Vậy $(a-b)^3 = -(b-a)^3$ (điều phải chứng minh).

---

Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Phần 1 – Tổng hai lập phương

HĐ1: Thực hiện phép tính $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$$

Từ đó rút ra hằng đẳng thức với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý:

$$\boxed{A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)}$$

Ví dụ 1: Viết dưới dạng tích (đã giải trong sách)

a) $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

b) $8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3 = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

a) $(x+3)(x^2 - 3x + 9) - x^3$

Phần $(x+3)(x^2-3x+9)$ chính là dạng tổng hai lập phương với $A=x$, $B=3$:

$$(x+3)(x^2 - 3x + 9) - x^3 = (x^3 + 27) - x^3 = 27$$

b) $(3x+y)(9x^2 - 3xy + y^2) - y^3 - 26x^3$

Phần $(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$ là tổng hai lập phương với $A=3x$, $B=y$:

$$= \big[(3x)^3 + y^3\big] - y^3 - 26x^3 = 27x^3 + y^3 - y^3 - 26x^3 = x^3$$

---