Giải Toán 8 - Tập 1 trang 39
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 39–40
Hai trang này nói về hằng đẳng thức tổng và hiệu hai lập phương. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt các phần luyện tập và bài tập nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Hai hằng đẳng thức trọng tâm:
$$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$$
$$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$$
Cuối bài là bảng tổng kết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
| STT | Hằng đẳng thức |
|---|---|
| 1 | $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ |
| 2 | $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ |
| 3 | $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ |
| 4 | $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ |
| 5 | $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ |
| 6 | $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ |
| 7 | $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ |
Luyện tập 1
Câu 1: Viết $x^3 + 27$ dưới dạng tích.
$$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$$
Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương với $A = x$, $B = 3$.
Câu 2: Rút gọn biểu thức $x^3 + 8y^3 - (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$.
Nhận thấy $x^3 + 8y^3 = x^3 + (2y)^3 = (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$. Do đó:
$$x^3 + 8y^3 - (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) - (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = 0$$
Luyện tập 2
Câu 1: Viết đa thức $x^3 - 8$ dưới dạng tích.
$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$$
Câu 2: Rút gọn biểu thức $(3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) + 8y^3$.
Phần tích chính là hiệu hai lập phương với $A = 3x$, $B = 2y$:
$$(3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) = (3x)^3 - (2y)^3 = 27x^3 - 8y^3$$
Cộng thêm $8y^3$:
$$27x^3 - 8y^3 + 8y^3 = 27x^3$$
Bài 2.12: Viết dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương
a) $(x+4)(x^2 - 4x + 16)$
Đây là dạng $(A+B)(A^2 - AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 4$:
$$(x+4)(x^2 - 4x + 16) = x^3 + 4^3 = x^3 + 64$$
b) $(4x^2 + 2xy + y^2)(2x - y)$
Đổi chỗ thành $(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$, dạng $(A-B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = 2x$, $B = y$:
$$(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) = (2x)^3 - y^3 = 8x^3 - y^3$$
Bài 2.13: Thay ? bằng biểu thức thích hợp
a) $x^3 + 512 = (x+8)(x^2 - \boxed{?} + 64)$
Vì $512 = 8^3$, ta có $x^3 + 8^3 = (x+8)(x^2 - 8x + 64)$.
Vậy $\boxed{?} = 8x$.
b) $27x^3 - 8y^3 = (\boxed{?} - 2y)(\boxed{?} + 6xy + 4y^2)$
Vì $27x^3 = (3x)^3$ và $8y^3 = (2y)^3$, áp dụng hiệu hai lập phương:
$$27x^3 - 8y^3 = (3x - 2y)\big((3x)^2 + 3x\cdot 2y + (2y)^2\big) = (3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)$$
Vậy ô đầu là $3x$, ô sau là $9x^2$.
Bài 2.14: Viết dưới dạng tích
a) $27x^3 + y^3$
$$27x^3 + y^3 = (3x)^3 + y^3 = (3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2)$$
b) $x^3 - 8y^3$
$$x^3 - 8y^3 = x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$$
Bài 2.15: Rút gọn biểu thức
$$(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$$
Tách từng tích:
- Tích thứ nhất là hiệu hai lập phương với $A = x$, $B = 2y$:
$$(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) = x^3 - (2y)^3 = x^3 - 8y^3$$
- Tích thứ hai là tổng hai lập phương với $A = x$, $B = 2y$:
$$(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$$
Cộng lại:
$$(x^3 - 8y^3) + (x^3 + 8y^3) = 2x^3$$
Hai số hạng $-8y^3$ và $+8y^3$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại $2x^3$.