Giải Toán 8 - Tập 1 trang 41
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 41–42
Lưu ý: Trang 40 chứa phần LUYỆN TẬP CHUNG với các Ví dụ 1, 2, 3 đã có lời giải sẵn trong sách. Trang 41 chứa phần BÀI TẬP với các bài 2.16 đến 2.21 cần giải.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập:
Bài 2.16
Đề bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức x² + (1/2)x + 1/16 tại x = 99,75.
Cách 1 — Nhận dạng hằng đẳng thức
Bước 1: Nhận dạng biểu thức
Ta có: x² + (1/2)x + 1/16
Viết lại: x² + 2 × x × (1/4) + (1/4)²
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức
Đây là hằng đẳng thức: A² + 2AB + B² = (A + B)²
Với A = x và B = 1/4
Vậy: x² + (1/2)x + 1/16 = (x + 1/4)²
Bước 3: Thay x = 99,75
(x + 1/4)² = (99,75 + 0,25)² = 100² = 10000
Đáp án: x² + (1/2)x + 1/16 = 10000 tại x = 99,75
Cách 2 — Tính trực tiếp (để kiểm tra)
x² + (1/2)x + 1/16 tại x = 99,75
= 99,75² + 0,5 × 99,75 + 0,0625
= 9950,0625 + 49,875 + 0,0625
= 10000
💡 Mẹo nhớ: Khi thấy biểu thức dạng a² + 2ab + b², hãy nghĩ ngay đến (a + b)². Số 1/16 = (1/4)² là dấu hiệu nhận biết!
💡 Mẹo bấm máy: Bấm99.75x²+0.5×99.75+1÷16=để kiểm tra kết quả.
Bài 2.17
Đề bài: Chứng minh đẳng thức (10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25. Từ đó nêu quy tắc tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là 5.
Áp dụng: Tính 25²; 35².
Cách giải
Phần 1: Chứng minh đẳng thức
Bước 1: Khai triển vế trái
(10a + 5)² = (10a)² + 2 × 10a × 5 + 5²
= 100a² + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25 = Vế phải ✓
Kết luận: Đẳng thức (10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25 được chứng minh.
Phần 2: Quy tắc tính nhẩm
Số có tận cùng là 5 có dạng: N = 10a + 5 (với a là phần chục)
Bình phương của nó: N² = 100a(a + 1) + 25
Quy tắc: Để tính bình phương một số tận cùng bằng 5: - Lấy phần chục (a) nhân với số liền sau nó (a + 1) - Viết thêm 25 vào sau kết quả
Phần 3: Áp dụng
Tính 25²:
- Số 25 có phần chục a = 2
- Tính: 2 × (2 + 1) = 2 × 3 = 6
- Viết thêm 25: 625
Đáp án: 25² = 625
Tính 35²:
- Số 35 có phần chục a = 3
- Tính: 3 × (3 + 1) = 3 × 4 = 12
- Viết thêm 25: 1225
Đáp án: 35² = 1225
💡 Mẹo nhớ: "Chục nhân chục cộng một, thêm hai lăm" — Ví dụ: 75² → 7 × 8 = 56, thêm 25 → 5625
Bài 2.18
Đề bài: Tính nhanh giá trị của các biểu thức:
a) x³ + 3x² + 3x + 1 tại x = 99
b) x³ − 3x²y + 3xy² − y³ tại x = 88 và y = −12
Câu a)
Cách 1 — Nhận dạng hằng đẳng thức lập phương
Bước 1: Nhận dạng biểu thức
x³ + 3x² + 3x + 1
Viết lại: x³ + 3 × x² × 1 + 3 × x × 1² + 1³
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức
Đây là: A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A + B)³
Với A = x và B = 1
Vậy: x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³
Bước 3: Thay x = 99
(x + 1)³ = (99 + 1)³ = 100³ = 1000000
Đáp án: x³ + 3x² + 3x + 1 = 1000000 tại x = 99
Câu b)
Cách 1 — Nhận dạng hằng đẳng thức hiệu lập phương
Bước 1: Nhận dạng biểu thức
x³ − 3x²y + 3xy² − y³
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức
Đây là: A³ − 3A²B + 3AB² − B³ = (A − B)³
Với A = x và B = y
Vậy: x³ − 3x²y + 3xy² − y³ = (x − y)³
Bước 3: Thay x = 88 và y = −12
(x − y)³ = (88 − (−12))³ = (88 + 12)³ = 100³ = 1000000
Đáp án: x³ − 3x²y + 3xy² − y³ = 1000000 tại x = 88, y = −12
💡 Mẹo nhớ: - (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ (các dấu đều +) - (A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³ (dấu xen kẽ: + − + −)
Bài 2.19
Đề bài: Rút gọn các biểu thức:
a) (x − 2)³ + (x + 2)³ − 6x(x + 2)(x − 2)
b) (2x − y)³ + (2x + y)³
Câu a)
Cách 1 — Khai triển từng phần
Bước 1: Khai triển (x − 2)³
(x − 2)³ = x³ − 3 × x² × 2 + 3 × x × 4 − 8
= x³ − 6x² + 12x − 8
Bước 2: Khai triển (x + 2)³
(x + 2)³ = x³ + 3 × x² × 2 + 3 × x × 4 + 8
= x³ + 6x² + 12x + 8
Bước 3: Tính (x + 2)(x − 2)
(x + 2)(x − 2) = x² − 4
Bước 4: Tính 6x(x + 2)(x − 2)
6x(x² − 4) = 6x³ − 24x
Bước 5: Tổng hợp
(x − 2)³ + (x + 2)³ − 6x(x + 2)(x − 2)
= (x³ − 6x² + 12x − 8) + (x³ + 6x² + 12x + 8) − (6x³ − 24x)
= x³ − 6x² + 12x − 8 + x³ + 6x² + 12x + 8 − 6x³ + 24x
= (x³ + x³ − 6x³) + (−6x² + 6x²) + (12x + 12x + 24x) + (−8 + 8)
= −4x³ + 0 + 48x + 0
= −4x³ + 48x
Đáp án: (x − 2)³ + (x + 2)³ − 6x(x + 2)(x − 2) = −4x³ + 48x hay 4x(12 − x²)
Câu b)
Cách 1 — Khai triển trực tiếp
Bước 1: Khai triển (2x − y)³
(2x − y)³ = (2x)³ − 3(2x)²y + 3(2x)y² − y³
= 8x³ − 12x²y + 6xy² − y³
Bước 2: Khai triển (2x + y)³
(2x + y)³ = (2x)³ + 3(2x)²y + 3(2x)y² + y³
= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³
Bước 3: Cộng hai kết quả
(2x − y)³ + (2x + y)³
= (8x³ − 12x²y + 6xy² − y³) + (8x³ + 12x²y + 6xy² + y³)
= 8x³ + 8x³ + (−12x²y + 12x²y) + (6xy² + 6xy²) + (−y³ + y³)
= 16x³ + 0 + 12xy² + 0
= 16x³ + 12xy²
Đáp án: (2x − y)³ + (2x + y)³ = 16x³ + 12xy² hay 4x(4x² + 3y²)
Cách 2 — Dùng công thức tổng hai lập phương
Công thức: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)
Đặt A = 2x − y và B = 2x + y
A + B = (2x − y) + (2x + y) = 4x
A² = 4x² − 4xy + y²
B² = 4x² + 4xy + y²
AB = (2x − y)(2x + y) = 4x² − y²
A² − AB + B² = (4x² − 4xy + y²) − (4x² − y²) + (4x² + 4xy + y²)
= 4x² − 4xy + y² − 4x² + y² + 4x² + 4xy + y²
= 4x² + 3y²
Vậy: (2x − y)³ + (2x + y)³ = 4x × (4x² + 3y²) = 16x³ + 12xy²
Bài 2.20
Đề bài: Chứng minh rằng a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b).
Áp dụng, tính a³ + b³ biết a + b = 4 và ab = 3.
Cách giải
Phần 1: Chứng minh
Bước 1: Khai triển vế phải
(a + b)³ − 3ab(a + b)
Bước 2: Khai triển (a + b)³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Bước 3: Khai triển 3ab(a + b)
3ab(a + b) = 3a²b + 3ab²
Bước 4: Trừ hai biểu thức
(a + b)³ − 3ab(a + b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) − (3a²b + 3ab²)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ − 3a²b − 3ab²
= a³ + b³ = Vế trái ✓
Kết luận: Đẳng thức a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) được chứng minh.
Phần 2: Áp dụng
Cho a + b = 4 và ab = 3
Tính: a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)
= 4³ − 3 × 3 × 4
= 64 − 36
= 28
Đáp án: a³ + b³ = 28
💡 Mẹo nhớ: Công thức này rất hữu ích khi biết tổng và tích của hai số mà không cần tìm từng số!
Bài 2.21
Đề bài: Bác Tùng gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất x mỗi năm. Biểu thức S = 200(1 + x)³ (triệu đồng) là số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm.
a) Tính số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất là x = 5,5%.
b) Khai triển S thành đa thức theo x và xác định bậc của đa thức.
Câu a)
Cách giải
Bước 1: Đổi lãi suất sang số thập phân
x = 5,5% = 5,5/100 = 0,055
Bước 2: Tính 1 + x
1 + x = 1 + 0,055 = 1,055
Bước 3: Tính (1 + x)³
(1,055)³ = 1,055 × 1,055 × 1,055
= 1,113025 × 1,055
= 1,174241375
Bước 4: Tính S
S = 200 × (1,055)³ = 200 × 1,174241375 = 234,848275 (triệu đồng)
Đáp án: Số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm là 234,848275 triệu đồng (khoảng 234.848.275 đồng)
💡 Mẹo bấm máy: Bấm200×1.055x³=hoặc200×(1.055)^3=
Câu b)
Cách giải
Bước 1: Khai triển (1 + x)³
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
(1 + x)³ = 1³ + 3 × 1² × x + 3 × 1 × x² + x³
= 1 + 3x + 3x² + x³
Bước 2: Nhân với 200
S = 200(1 + x)³ = 200(1 + 3x + 3x² + x³)
= 200 × 1 + 200 × 3x + 200 × 3x² + 200 × x³
= 200 + 600x + 600x² + 200x³
Bước 3: Viết theo thứ tự bậc giảm dần
S = 200x³ + 600x² + 600x + 200
Bước 4: Xác định bậc
Số mũ cao nhất của x là 3.
Đáp án: - S = 200x³ + 600x² + 600x + 200 (triệu đồng) - S là đa thức bậc 3 theo biến x
🎯 Ghi nhớ chung cho bài học: Các hằng đẳng thức lập phương cần nhớ: - (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ - (A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³ - A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) = (A + B)³ − 3AB(A + B) - A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²) Mẹo tính nhanh: Luôn tìm cách đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức để tính nhanh, đặc biệt khi giá trị thay vào "gần" với số tròn (99, 100, 88 + 12 = 100,...)