Giải Toán 8 - Tập 1 trang 45
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 45–46
Tóm tắt lý thuyết
Phần này luyện tập về phân tích đa thức thành nhân tử, dùng các kỹ thuật:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức:
- $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$
- $A^3 \pm 3A^2B + 3AB^2 \pm B^3 = (A \pm B)^3$
- $A^3 \pm B^3 = (A \pm B)(A^2 \mp AB + B^2)$
- Nhóm hạng tử (nhóm rồi đặt nhân tử chung).
Luyện tập 3: Phân tích thành nhân tử
a) $(x+1)^2 - y^2$ — dạng hiệu hai bình phương:
$$(x+1)^2 - y^2 = (x+1-y)(x+1+y)$$
b) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ — nhận ra đúng dạng $(A+B)^3$ với $A=x,\ B=1$:
$$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x+1)^3$$
c) $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$ — dạng $(A-B)^3$ với $A=2x,\ B=1$:
$$8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x-1)^3$$
Kiểm tra: $(2x)^3 - 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$ ✓
Tranh luận: Phân tích $x^3 - x$
- Bạn Vuông: $x^3 - x = x(x^2 - 1)$
- Bạn Tròn: $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$
Ý kiến: Cả hai bạn đều làm đúng, nhưng lời giải của bạn Tròn đầy đủ hơn. Bạn Vuông mới phân tích được một bước, mà $x^2 - 1$ vẫn còn tiếp tục phân tích được:
$$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$
Vậy kết quả phân tích triệt để là:
$$x^3 - x = x(x-1)(x+1)$$
Vận dụng 2: Tính nhanh
Tính $A = x^2 + 2y - 2x - xy$ tại $x = 2022,\ y = 2020$.
Nhóm hạng tử:
$$A = (x^2 - 2x) - (xy - 2y) = x(x-2) - y(x-2) = (x-2)(x-y)$$
Thay số:
$$A = (2022 - 2)(2022 - 2020) = 2020 \cdot 2 = 4040$$
Bài 2.22: Phân tích thành nhân tử
a) $x^2 + xy = x(x + y)$
b) $6a^2b - 18ab = 6ab(a - 3)$
c) $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)$
d) $x^4 - 8x = x(x^3 - 8) = x(x-2)(x^2 + 2x + 4)$
(dùng $A^3 - B^3$ với $A=x,\ B=2$)
Bài 2.23: Phân tích thành nhân tử
a) $x^2 - 9 + xy + 3y$
Nhóm: hằng đẳng thức + nhân tử chung:
$$= (x^2 - 9) + (xy + 3y) = (x-3)(x+3) + y(x+3) = (x+3)(x - 3 + y)$$
b) $x^2y + x^2 + xy - 1$
Nhóm khéo để xuất hiện nhân tử chung $(x+1)$:
$$= (x^2y + xy) + (x^2 - 1) = xy(x+1) + (x-1)(x+1) = (x+1)(xy + x - 1)$$
Kiểm tra: $(x+1)(xy+x-1) = x^2y + x^2 - x + xy + x - 1 = x^2y + x^2 + xy - 1$ ✓
Bài 2.24: Tìm $x$
a) $x^2 - 4x = 0$
$$x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \ \text{hoặc}\ x = 4$$
b) $2x^3 - 2x = 0$
$$2x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow 2x(x-1)(x+1) = 0$$
$$\Rightarrow x = 0,\ x = 1,\ x = -1$$
Bài 2.25: Mảnh vườn hình vuông
Mảnh vườn hình vuông cạnh $x$ (mét). Đường đi nằm dọc theo viền trong, rộng $y$ (mét) đều nhau (phần xanh trong hình). Phần trắng ở giữa là hình vuông cạnh $(x - 2y)$.
a) Biểu thức diện tích $S$ của đường đi:
Diện tích đường = diện tích cả vườn − diện tích phần trắng giữa:
$$S = x^2 - (x - 2y)^2$$
b) Phân tích $S$ thành nhân tử rồi tính:
Đây là hiệu hai bình phương:
$$S = x^2 - (x-2y)^2 = \big[x - (x-2y)\big]\big[x + (x-2y)\big] = 2y(2x - 2y) = 4y(x - y)$$
Thay $x = 102$ m, $y = 2$ m:
$$S = 4 \cdot 2 \cdot (102 - 2) = 8 \cdot 100 = 800 \ (\text{m}^2)$$
Trang 45 – Ví dụ mẫu (Luyện tập chung)
Trang 45 là phần ví dụ có lời giải sẵn trong sách. Thầy giải thích lại cách làm cho em dễ nắm:
Ví dụ 1
a) $x^2 - x + 2y - 4y^2 = [x^2 - (2y)^2] - (x - 2y) = (x-2y)(x+2y) - (x-2y) = (x-2y)(x+2y-1)$
b) $3xy + 2z^2 - 6y - xz^2 = (3xy - 6y) + (2z^2 - xz^2) = 3y(x-2) - z^2(x-2) = (3y - z^2)(x-2)$
Ví dụ 2
a) $4x^2 - 4x + 1 - 4y^2 = (2x-1)^2 - (2y)^2 = (2x-1-2y)(2x-1+2y)$
b) $8x^3 - 27y^3 - 27y^2 - 9y - 1 = (2x)^3 - (3y+1)^3 = (2x - 3y - 1)\big[4x^2 + 2x(3y+1) + (3y+1)^2\big]$
(gom $27y^3 + 27y^2 + 9y + 1 = (3y+1)^3$ rồi dùng hiệu hai lập phương)
Ví dụ 3
a) $x^3 - x + 2y - 8y^3 = (x^3 - 8y^3) - (x - 2y) = (x-2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) - (x-2y) = (x-2y)(x^2 + 2xy + 4y^2 - 1)$
b) $2x^3 - 8x^2 - 24x + 54 = 2(x^3 - 4x^2 - 12x + 27)$. Tách $x^3 + 27 = (x+3)(x^2-3x+9)$ và $4x^2 + 12x = 4x(x+3)$:
$$= 2(x+3)(x^2 - 3x + 9 - 4x) = 2(x+3)(x^2 - 7x + 9)$$
Mẹo chung khi gặp bài phân tích nhân tử: ưu tiên đặt nhân tử chung trước, sau đó để ý xem có hằng đẳng thức nào không, cuối cùng mới thử nhóm hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung. Em cần thầy giải kỹ thêm bài nào trong số này không?