Giải Toán 8 - Tập 1 trang 47
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 47–48
Tóm tắt lý thuyết
Phần bài tập này ôn lại các kiến thức:
- Hằng đẳng thức: hiệu hai bình phương, bình phương của tổng/hiệu, tổng/hiệu hai lập phương.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng nhóm hạng tử và dùng hằng đẳng thức.
Mục "Em có biết" giới thiệu Định lí Bézout: Nếu đa thức $f(x)$ có nghiệm $x = a$ thì $f(x) = (x-a)\,g(x)$, với $g(x)$ là thương của phép chia $f(x)$ cho $x-a$.
Bài 2.26: Phân tích thành nhân tử
a) $x^2 - 6x + 9 - y^2 = (x-3)^2 - y^2 = (x-3-y)(x-3+y)$
b) $4x^2 - y^2 + 4y - 4 = 4x^2 - (y^2 - 4y + 4) = (2x)^2 - (y-2)^2$
$$= (2x - y + 2)(2x + y - 2)$$
c) $xy + z^2 + xz + yz = (xy + xz) + (yz + z^2) = x(y+z) + z(y+z) = (y+z)(x+z)$
d) $x^2 - 4xy + 4y^2 + xz - 2yz = (x - 2y)^2 + z(x - 2y) = (x - 2y)(x - 2y + z)$
Bài 2.27: Phân tích thành nhân tử
a) $x^3 + y^3 + x + y = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + (x+y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2 + 1)$
b) $x^3 - y^3 + x - y = (x-y)(x^2 + xy + y^2) + (x-y) = (x-y)(x^2 + xy + y^2 + 1)$
c) $(x-y)^3 + (x+y)^3$. Đặt $A = x-y,\ B = x+y$, dùng $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$:
- $A + B = 2x$
- $A^2 - AB + B^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 - y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) = x^2 + 3y^2$
$$= 2x(x^2 + 3y^2)$$
d) $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + y^2 - x^2 = (x-y)^3 - (x^2 - y^2)$
$$= (x-y)^3 - (x-y)(x+y) = (x-y)\big[(x-y)^2 - (x+y)\big] = (x-y)(x^2 - 2xy + y^2 - x - y)$$
A. TRẮC NGHIỆM
Bài 2.28
Đa thức $x^2 - 9x + 8$ được phân tích thành tích của hai đa thức nào?
Ta tìm hai số có tổng $9$, tích $8$ là $1$ và $8$:
$$x^2 - 9x + 8 = (x-1)(x-8)$$
Đáp án: B. $x-1$ và $x-8$
Bài 2.29
Khẳng định nào đúng?
Hằng đẳng thức đúng là $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$.
Đáp án: D
Bài 2.30
$25x^2 + 20xy + 4y^2$ viết dưới dạng bình phương của một tổng:
$$25x^2 + 20xy + 4y^2 = (5x)^2 + 2\cdot 5x \cdot 2y + (2y)^2 = (5x + 2y)^2$$
Đáp án: D. $(5x + 2y)^2$
Bài 2.31
Rút gọn $A = (2x+1)^3 - 6x(2x+1)$:
$$(2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$$
$$6x(2x+1) = 12x^2 + 6x$$
$$A = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 - 12x^2 - 6x = 8x^3 + 1$$
Đáp án: C. $8x^3 + 1$
B. TỰ LUẬN
Bài 2.32: Tính nhanh giá trị biểu thức
a) $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ tại $x = 102$:
$$(102 - 2)^2 = 100^2 = 10\,000$$
b) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x+1)^3$ tại $x = 999$:
$$(999 + 1)^3 = 1000^3 = 1\,000\,000\,000$$
Bài 2.33: Rút gọn biểu thức
a) $(2x-5y)(2x+5y) + (2x+5y)^2$
$$= (4x^2 - 25y^2) + (4x^2 + 20xy + 25y^2) = 8x^2 + 20xy$$
b) $(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$
Dùng tổng/hiệu hai lập phương:
- $(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$
- $(2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2) = (2x)^3 - y^3 = 8x^3 - y^3$
$$= x^3 + 8y^3 + 8x^3 - y^3 = 9x^3 + 7y^3$$
Bài 2.34: Phân tích thành nhân tử
a) $6x^2 - 24y^2 = 6(x^2 - 4y^2) = 6(x - 2y)(x + 2y)$
b) $64x^3 - 27y^3 = (4x)^3 - (3y)^3 = (4x - 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2)$
c) $x^4 - 2x^3 + x^2 = x^2(x^2 - 2x + 1) = x^2(x-1)^2$
d) $(x-y)^3 + 8y^3 = (x-y)^3 + (2y)^3$
$$= \big[(x-y) + 2y\big]\big[(x-y)^2 - (x-y)(2y) + (2y)^2\big]$$
$$= (x+y)(x^2 - 2xy + y^2 - 2xy + 2y^2 + 4y^2) = (x+y)(x^2 - 4xy + 7y^2)$$
Bài 2.35: Giải thích hằng đẳng thức bằng Hình 2.3
Hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a + b$.
Cách 1 — Tính trực tiếp diện tích cả hình vuông:
$$S = (a+b)^2$$
Cách 2 — Cộng diện tích bốn phần $P, Q, R, S$:
| Phần | Kích thước | Diện tích |
|---|---|---|
| $P$ | $a \times a$ | $a^2$ |
| $Q$ | $a \times b$ | $ab$ |
| $R$ | $b \times a$ | $ab$ |
| $S$ | $b \times b$ | $b^2$ |
$$S = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Hai cách tính cùng một diện tích nên:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một tổng.
Em ôn kỹ ba dạng phân tích chính nhé: nhóm hạng tử (2.26, 2.27), dùng hằng đẳng thức (2.30, 2.34) và tính nhanh bằng cách đưa về hằng đẳng thức (2.32). Đây đều là kỹ năng then chốt cho cả chương.