Giải Toán 8 - Tập 1 trang 51
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 51–52
Phần lý thuyết (Trang 50)
Trang 50 trình bày lý thuyết về tổng các góc của một tứ giác:
- Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°
- Có hoạt động khám phá và ví dụ minh họa
Luyện tập 2
Đề bài: Cho tứ giác EFGH như Hình 3.7. Hãy tính góc F.
(Hình 3.7: Tứ giác EFGH có góc H = 55°, góc E và góc F là góc vuông)
Cách giải
Bước 1: Xác định các góc đã biết từ hình vẽ.
Quan sát Hình 3.7:
- Góc H = 55°
- Góc E = 90° (góc vuông, có dấu vuông góc)
- Góc G = 90° (góc vuông, có dấu vuông góc)
Bước 2: Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác.
Tổng các góc của tứ giác EFGH bằng 360°:
Góc E + Góc F + Góc G + Góc H = 360°
Bước 3: Thay số và tính góc F.
90° + Góc F + 90° + 55° = 360°
235° + Góc F = 360°
Góc F = 360° − 235° = 125°
Đáp án: Góc F = 125°
💡 Mẹo bấm máy: Bấm trực tiếp 360 - 90 - 90 - 55 = để ra kết quả 125.
Vận dụng
Đề bài: Giải bài toán mở đầu.
(Bài toán mở đầu thường ở đầu bài học, liên quan đến tính góc của tứ giác)
Cách giải
Bài toán mở đầu yêu cầu tính các góc của tứ giác dựa vào định lí tổng các góc bằng 360°.
Áp dụng công thức: Góc A + Góc B + Góc C + Góc D = 360°
Từ đó tính góc chưa biết bằng cách lấy 360° trừ đi tổng các góc đã biết.
Thử thách nhỏ
Đề bài: Trong một tứ giác, hỏi số góc tù nhiều nhất là bao nhiêu và số góc nhọn nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?
Cách giải
Phần 1: Số góc tù nhiều nhất
- Góc tù là góc có số đo lớn hơn 90° và nhỏ hơn 180°.
- Giả sử tứ giác có 4 góc tù, mỗi góc > 90°.
- Khi đó tổng 4 góc > 90° × 4 = 360°.
- Điều này mâu thuẫn với định lí (tổng = 360°).
Kết luận: Số góc tù nhiều nhất là 3 góc.
Ví dụ: Tứ giác có 3 góc bằng 100° và 1 góc bằng 60°. Tổng = 100° + 100° + 100° + 60° = 360° ✓
Phần 2: Số góc nhọn nhiều nhất
- Góc nhọn là góc có số đo nhỏ hơn 90°.
- Giả sử tứ giác có 4 góc nhọn, mỗi góc < 90°.
- Khi đó tổng 4 góc < 90° × 4 = 360°.
- Điều này mâu thuẫn với định lí (tổng = 360°).
Kết luận: Số góc nhọn nhiều nhất là 3 góc.
Ví dụ: Tứ giác có 3 góc bằng 80° và 1 góc bằng 120°. Tổng = 80° + 80° + 80° + 120° = 360° ✓
Đáp án: - Số góc tù nhiều nhất: 3 góc - Số góc nhọn nhiều nhất: 3 góc - Lý do: Vì tổng 4 góc của tứ giác luôn bằng 360°, nên không thể có 4 góc cùng tù (tổng > 360°) hoặc 4 góc cùng nhọn (tổng < 360°).
Bài 3.1
Đề bài: Tính góc chưa biết của các tứ giác trong Hình 3.8.
Câu a) Tứ giác ABCD (hình chữ nhật)
Quan sát hình: Tứ giác ABCD có 3 góc vuông tại A, B, D. Cần tính góc C.
Cách giải
Bước 1: Xác định các góc đã biết.
- Góc A = 90°
- Góc B = 90°
- Góc D = 90°
Bước 2: Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác.
Góc A + Góc B + Góc C + Góc D = 360°
90° + 90° + Góc C + 90° = 360°
270° + Góc C = 360°
Góc C = 360° − 270° = 90°
Đáp án câu a: Góc C = 90°
Câu b) Tứ giác VURS
Quan sát hình:
- Góc V = 60°
- Góc S = 110°
- Góc R = góc U (cần tính, đều có dấu ?)
Cách giải
Bước 1: Xác định các góc đã biết.
- Góc V = 60°
- Góc S = 110°
Bước 2: Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác.
Góc V + Góc U + Góc R + Góc S = 360°
60° + Góc U + Góc R + 110° = 360°
Góc U + Góc R = 360° − 170° = 190°
Bước 3: Từ hình vẽ, ta thấy góc U và góc R đều cần tìm.
Nếu đề cho góc U = góc R (hai góc bằng nhau):
2 × Góc R = 190°
Góc R = Góc U = 95°
Đáp án câu b: Góc R = Góc U = 95°
Bài 3.2
Đề bài: Tính góc chưa biết của tứ giác trong Hình 3.9. Biết rằng góc H = góc E + 10°.
Quan sát hình: Tứ giác GHEF có:
- Góc G = 50°
- Góc F = 60°
- Góc H = ? và Góc E = ?
Cách 1 — Lập phương trình
Bước 1: Đặt ẩn.
Gọi góc E = x (với x > 0)
Theo đề bài: Góc H = x + 10°
Bước 2: Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác.
Góc G + Góc H + Góc E + Góc F = 360°
50° + (x + 10°) + x + 60° = 360°
120° + 2x = 360°
2x = 240°
x = 120°
Bước 3: Tính các góc.
- Góc E = 120°
- Góc H = 120° + 10° = 130°
Bước 4: Kiểm tra.
50° + 130° + 120° + 60° = 360° ✓
Đáp án: Góc E = 120°, Góc H = 130°
💡 Mẹo bấm máy: Bấm (360 - 50 - 60 - 10) ÷ 2 = để tính góc E = 120°.
Bài 3.3
Đề bài: Tứ giác ABCD trong Hình 3.10 có AB = AD, CB = CD, được gọi là hình "cái diều".
Câu a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Cách giải
Bước 1: Xét tam giác ABD.
Vì AB = AD (giả thiết)
⇒ Tam giác ABD cân tại A.
⇒ Đường thẳng đi qua A và trung điểm của BD là đường trung trực của BD.
Bước 2: Xét tam giác CBD.
Vì CB = CD (giả thiết)
⇒ Tam giác CBD cân tại C.
⇒ Đường thẳng đi qua C và trung điểm của BD là đường trung trực của BD.
Bước 3: Kết luận.
Cả A và C đều nằm trên đường trung trực của BD.
Mà qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng.
⇒ Đường thẳng AC chính là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Kết luận: AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD. (đpcm)
Câu b) Tính các góc B, D biết rằng góc A = 100°, góc C = 60°.
Cách giải
Bước 1: Tính tổng góc B và góc D.
Áp dụng định lí tổng các góc của tứ giác:
Góc A + Góc B + Góc C + Góc D = 360°
100° + Góc B + 60° + Góc D = 360°
Góc B + Góc D = 360° − 160° = 200°
Bước 2: Chứng minh góc B = góc D.
Từ câu a, AC là đường trung trực của BD.
⇒ Mọi điểm trên AC cách đều B và D.
Xét tam giác ABC và tam giác ADC:
- AB = AD (giả thiết)
- BC = DC (giả thiết)
- AC là cạnh chung
⇒ Tam giác ABC = Tam giác ADC (c.c.c)
⇒ Góc B = Góc D (hai góc tương ứng)
Bước 3: Tính góc B và góc D.
Vì góc B = góc D và góc B + góc D = 200°
⇒ 2 × Góc B = 200°
⇒ Góc B = 100°
⇒ Góc D = 100°
Đáp án: Góc B = Góc D = 100°
💡 Mẹo bấm máy: Bấm (360 - 100 - 60) ÷ 2 = để ra kết quả 100.
🎯 Ghi nhớ: - Tổng các góc của tứ giác luôn bằng 360° - Để tính góc chưa biết: Lấy 360° trừ đi tổng các góc đã biết - Tứ giác có tối đa 3 góc tù hoặc 3 góc nhọn - Hình "cái diều" có hai cặp cạnh kề bằng nhau, đường chéo nối hai đỉnh của các cặp cạnh bằng nhau là đường trung trực của đường chéo còn lại