Giải Toán 8 - Tập 1 trang 53
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 53–54
Tóm tắt lý thuyết
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
- Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại là hai cạnh bên.
- Đường vuông góc kẻ từ đỉnh đáy này đến đáy kia gọi là đường cao.
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
- Với hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$): $\widehat{A} = \widehat{B}$ (hai góc kề đáy nhỏ), $\widehat{C} = \widehat{D}$ (hai góc kề đáy lớn).
Tính chất (Định lí 1): Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Bài mở đầu (Hình 3.11)
Đề: Cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát cắt thẳng cắt cả hai cạnh đáy thì được hai hình thang. Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu. Hãy giải thích tại sao hình tạo thành cũng là một hình thang cân.
Lời giải:
Khi cắt hình thang cân $ABCD$ bằng nhát cắt $MN$ (với $M$ trên $AB$, $N$ trên $DC$), ta được hai hình thang nhỏ. Vì cạnh cắt $MN$ là cạnh chung, hai đáy vẫn song song nên mỗi mảnh là một hình thang.
Khi lật một mảnh và ghép theo cạnh bên ban đầu:
- Hai cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang cân ban đầu bằng nhau, nên sau khi ghép, hình mới vẫn có hai cạnh bên đối xứng.
- Hai đáy của hình mới vẫn song song (do được ghép từ các đoạn song song của hai hình thang cũ).
- Các góc kề một đáy của hình mới bằng nhau (do được tạo thành từ các góc bằng nhau của hình thang cân ban đầu).
Vậy hình tạo thành thỏa mãn định nghĩa: là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau, nên đó cũng là một hình thang cân.
Bài Ví dụ 1 (Hình 3.14)
Đề: Chứng minh rằng hai góc kề một cạnh bên của hình thang bù nhau.
Lời giải:
Cho hình thang $ABCD$ có $AB \parallel CD$.
- Vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{D} = \widehat{A_1}$ (hai góc đồng vị).
- Mặt khác $\widehat{DAB} + \widehat{A_1} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).
Suy ra:
$$\widehat{D} + \widehat{DAB} = 180^\circ$$
Vậy hai góc $\widehat{D}$ và $\widehat{DAB}$ kề cạnh bên $AD$ bù nhau (điều phải chứng minh).
Bài Luyện tập 1 (Hình 3.15)
Đề: Tính các góc của hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$), biết $\widehat{C} = 40^\circ$.
Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình thang cân nên hai góc kề đáy lớn $CD$ bằng nhau:
$$\widehat{D} = \widehat{C} = 40^\circ$$
Hai góc kề cạnh bên $AD$ bù nhau (theo Ví dụ 1):
$$\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$
Vì $ABCD$ là hình thang cân nên hai góc kề đáy nhỏ $AB$ bằng nhau:
$$\widehat{B} = \widehat{A} = 140^\circ$$
Đáp án:
| Góc | Số đo |
|---|---|
| $\widehat{A}$ | $140^\circ$ |
| $\widehat{B}$ | $140^\circ$ |
| $\widehat{C}$ | $40^\circ$ |
| $\widehat{D}$ | $40^\circ$ |
Kiểm tra: $140^\circ + 140^\circ + 40^\circ + 40^\circ = 360^\circ$ ✓
Bài HĐ1 (Hình 3.16)
Đề: Cho hình thang cân $ABCD$, $AB \parallel CD$ và $AB < CD$.
a) Từ $A$ và $B$ kẻ $AH \perp DC$, $BI \perp DC$ ($H \in CD$, $I \in CD$). Chứng minh rằng $AH = BI$ bằng cách chứng minh $\triangle AHI = \triangle IBA$.
b) Chứng minh $\triangle AHD = \triangle BIC$, từ đó suy ra $AD = BC$.
Lời giải:
Câu a)
Vì $AH \perp DC$ và $BI \perp DC$ nên $AH \parallel BI$.
Tứ giác $ABIH$ có $AB \parallel HI$ (cùng nằm trên $DC$ và $AB$ song song với $DC$) và $AH \parallel BI$, nên $ABIH$ là hình bình hành.
Xét $\triangle AHI$ và $\triangle IBA$:
- $AI$ là cạnh chung
- $\widehat{HAI} = \widehat{BIA}$ (so le trong, do $AH \parallel BI$)...
Cách rõ ràng hơn: trong hình bình hành $ABIH$ có $AH = BI$ (hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau).
Vậy $AH = BI$.
Câu b)
Xét hai tam giác vuông $\triangle AHD$ và $\triangle BIC$:
- $\widehat{AHD} = \widehat{BIC} = 90^\circ$
- $AH = BI$ (chứng minh ở câu a)
- $\widehat{ADH} = \widehat{BCI}$ (hai góc kề đáy lớn của hình thang cân bằng nhau)
Suy ra $\triangle AHD = \triangle BIC$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Do đó $AD = BC$ (hai cạnh tương ứng).
Đây chính là nội dung Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Bài Luyện tập 2 (Hình 3.18)
Đề: Cho tứ giác $ABCD$ như Hình 3.18. Biết rằng $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{D_1}$. Chứng minh rằng $AD = BC$.
Lời giải:
Quan sát Hình 3.18: đáy $AB$ ở dưới, đáy $DC$ ở trên, $\widehat{D_1}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$ (góc kề bù với $\widehat{ADC}$).
Bước 1: Chứng minh $ABCD$ là hình thang.
Ta có $\widehat{A} = \widehat{D_1}$. Hai góc này ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng $AD$, $BC$...
Thực ra dùng quan hệ: $\widehat{A} = \widehat{D_1}$ là hai góc đồng vị tạo bởi đường thẳng $DC$ kéo dài cắt hai cạnh $AD$ và đường $DC$. Do $\widehat{A} = \widehat{D_1}$ (hai góc đồng vị) nên $AB \parallel DC$.
Vậy $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB \parallel DC$.
Bước 2: Chứng minh hình thang cân.
Hình thang $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{B}$ (giả thiết) — đây là hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau.
Theo định nghĩa, hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. Vậy $ABCD$ là hình thang cân.
Bước 3: Kết luận.
Theo Định lí 1, trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau, suy ra:
$$AD = BC \quad \text{(điều phải chứng minh)}$$
Em lưu ý: phần này chủ yếu là làm quen định nghĩa và tính chất hình thang cân. Điểm mấu chốt cần nhớ là hai dấu hiệu — hai góc kề một đáy bằng nhau (định nghĩa) và hai cạnh bên bằng nhau (tính chất). Nếu cần cô vẽ thêm hình minh họa cho phần chứng minh, cứ nói nhé.