Giải Toán 8 - Tập 1 trang 55
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 55–56
HĐ2: Tính chất về đường chéo của hình thang cân
Đề bài:
Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh △ACD = △BDC. Từ đó suy ra AC = BD.
Cách giải
Chứng minh △ACD = △BDC:
Xét △ACD và △BDC có:
- CD là cạnh chung
- AD = BC (hai cạnh bên của hình thang cân)
- Góc ADC = Góc BCD (hai góc kề đáy của hình thang cân)
⇒ △ACD = △BDC (c.g.c)
Suy ra: AC = BD (hai cạnh tương ứng)
Kết luận: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Luyện tập 3
Đề bài:
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).
a) Tứ giác DECB là hình gì?
b) Chứng minh BE = CD.
Câu a) Tứ giác DECB là hình gì?
Cách 1 — Dựa vào định nghĩa hình thang cân
Bước 1: Xác định loại tứ giác
Vì d // BC (giả thiết) nên DE // BC
⇒ Tứ giác DECB có một cặp cạnh đối song song
⇒ DECB là hình thang (với hai đáy là DE và BC)
Bước 2: Chứng minh DECB là hình thang cân
Vì △ABC cân tại A nên: Góc ABC = Góc ACB (hai góc ở đáy)
Hay: Góc DBC = Góc ECB
⇒ Hình thang DECB có hai góc kề đáy lớn bằng nhau
Đáp án: Tứ giác DECB là hình thang cân.
Câu b) Chứng minh BE = CD
Cách 1 — Dùng tính chất đường chéo hình thang cân
Vì DECB là hình thang cân (chứng minh ở câu a)
⇒ Hai đường chéo bằng nhau (theo Định lí 2)
⇒ BE = CD (đpcm)
Cách 2 — Chứng minh hai tam giác bằng nhau
Xét △DBE và △ECD có:
- Góc DBE = Góc ECD (hai góc ở đáy tam giác cân ABC)
- BC là cạnh chung...
Thực ra cách 1 đã đủ gọn. Ta dùng trực tiếp tính chất đường chéo.
Đáp án: BE = CD (hai đường chéo của hình thang cân bằng nhau)
Thực hành (H.3.22)
Đề bài:
a) Vẽ hình thang có hai đường chéo bằng nhau theo các bước sau:
- Vẽ hai đường thẳng song song a, b. Trên a lấy hai điểm A, B.
- Vẽ hai cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho cung tròn tâm A cắt b tại C; cung tròn tâm B cắt b tại D và hai đoạn thẳng AC, BD cắt nhau.
b) Hình thang ABCD có là hình thang cân không? Vì sao?
Câu a) Hướng dẫn vẽ hình
Bước 1: Vẽ hai đường thẳng song song
- Dùng thước kẻ vẽ đường thẳng a
- Vẽ đường thẳng b song song với a (cách a một khoảng vừa phải)
Bước 2: Lấy điểm trên đường thẳng a
- Trên đường thẳng a, đánh dấu hai điểm A và B
Bước 3: Vẽ các cung tròn
- Mở compa với bán kính r (chọn r đủ lớn để cắt được đường thẳng b)
- Đặt mũi compa tại A, vẽ cung tròn cắt đường thẳng b tại điểm C
- Giữ nguyên bán kính r, đặt mũi compa tại B, vẽ cung tròn cắt đường thẳng b tại điểm D
- Lưu ý: Chọn C và D sao cho AC và BD cắt nhau (C ở phía B, D ở phía A)
Bước 4: Nối các điểm
- Nối A với C, nối B với D
- Ta được hình thang ABCD với AC = BD (cùng bằng bán kính r)
Câu b) Hình thang ABCD có là hình thang cân không?
Cách giải
Theo cách vẽ:
- AB // CD (vì A, B ∈ a và C, D ∈ b, mà a // b)
- AC = BD = r (cùng bán kính)
⇒ Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau
Theo Định lí 3: Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
Đáp án: Có, hình thang ABCD là hình thang cân vì có hai đường chéo bằng nhau.
BÀI TẬP
Bài 3.4
Đề bài: Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao?
(Hình 3.23: Hình thang ABCD với góc A = 120°, góc C = 80°)
Cách giải
Bước 1: Xác định các góc của hình thang
Từ hình vẽ:
- Góc A = 120°
- Góc C = 80°
Bước 2: Tính các góc còn lại
Vì AB // CD nên:
- Góc A + Góc D = 180° (hai góc trong cùng phía)
- ⇒ Góc D = 180° - 120° = 60°
- Góc B + Góc C = 180° (hai góc trong cùng phía)
- ⇒ Góc B = 180° - 80° = 100°
Bước 3: Kiểm tra điều kiện hình thang cân
Hình thang cân có hai góc kề mỗi đáy bằng nhau.
- Góc A = 120° ≠ Góc B = 100° (hai góc kề đáy nhỏ AB)
- Góc D = 60° ≠ Góc C = 80° (hai góc kề đáy lớn DC)
Đáp án: Hình thang ABCD không phải là hình thang cân vì hai góc kề mỗi đáy không bằng nhau.
Bài 3.5
Đề bài: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.
Cách giải
Giả thiết:
- Hình thang ABCD với AB // CD
- EC ⊥ AC tại C
- ED ⊥ BD tại D
- EC = ED
Kết luận: ABCD là hình thang cân
Chứng minh:
Bước 1: Xét tam giác ECD
Vì EC = ED (giả thiết)
⇒ △ECD cân tại E
⇒ Góc ECD = Góc EDC (hai góc ở đáy tam giác cân)
Bước 2: Tính các góc
Gọi góc ECD = góc EDC = α
Vì EC ⊥ AC nên góc ECA = 90°
⇒ Góc ACD = Góc ECA - Góc ECD = 90° - α (nếu D ở phía ngoài)
Hoặc góc ACD = 90° + α (tùy vị trí)
Tương tự với góc BDC.
Bước 3: Sử dụng tính chất góc
Vì EC ⊥ AC: Góc ACE = 90°
Vì ED ⊥ BD: Góc BDE = 90°
Ta có: Góc ACD = 90° - Góc ECD = 90° - α
Góc BDC = 90° - Góc EDC = 90° - α
⇒ Góc ACD = Góc BDC
Bước 4: Chứng minh AC = BD
Xét △ACD và △BDC có:
- CD chung
- Góc ACD = Góc BDC (chứng minh trên)
- Góc ADC = Góc BCD (cùng phụ với các góc bằng nhau, hoặc dùng góc so le trong)
Vì AB // CD nên góc ACD = góc CAB (so le trong) và góc BDC = góc DBA (so le trong)
Từ góc ACD = góc BDC ⇒ góc CAB = góc DBA
⇒ △ACD = △BDC (g.c.g)
⇒ AC = BD
Bước 5: Kết luận
Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD
Theo Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Đáp án: Hình thang ABCD là hình thang cân (đpcm)
Bài 3.6
Đề bài: Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm.
Hướng dẫn vẽ
Bước 1: Vẽ đáy lớn CD
- Vẽ đoạn thẳng CD = 4 cm
Bước 2: Xác định điểm A
- Từ D, vẽ cung tròn tâm D bán kính 2 cm (cạnh bên AD = 2 cm)
- Từ C, vẽ cung tròn tâm C bán kính 3 cm (đường chéo AC = 3 cm)
- Giao điểm của hai cung tròn (ở cùng một phía với CD) là điểm A
Bước 3: Xác định điểm B
- Vì hình thang cân nên B đối xứng với A qua đường trung trực của CD
- Hoặc: Từ C, vẽ cung tròn bán kính 2 cm; từ D, vẽ cung tròn bán kính 3 cm
- Giao điểm là B
Bước 4: Nối các điểm
- Nối A với B, A với D, B với C
- Kiểm tra AB // CD
Kết quả: Hình thang cân ABCD với CD = 4 cm, AD = BC = 2 cm, AC = BD = 3 cm.
Bài 3.7
Đề bài: Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED.
Cách giải
Giả thiết:
- Hình thang cân ABCD với AB // CD
- AE là tia phân giác góc A
- BE là tia phân giác góc B
- E ∈ CD
Kết luận: EC = ED
Chứng minh:
Bước 1: Sử dụng tính chất hình thang cân
Vì ABCD là hình thang cân nên:
- Góc DAB = Góc CBA (hai góc kề đáy nhỏ)
Gọi góc DAB = góc CBA = 2α (để tiện tính toán)
Bước 2: Tính các góc của tia phân giác
Vì AE là phân giác góc A:
- Góc DAE = Góc EAB = α
Vì BE là phân giác góc B:
- Góc ABE = Góc EBC = α
Bước 3: Xét tam giác ADE
Vì AB // CD nên:
- Góc AED = Góc EAB = α (hai góc so le trong)
Trong △ADE:
- Góc DAE = α
- Góc AED = α
⇒ △ADE cân tại D
⇒ DE = DA
Bước 4: Xét tam giác BCE
Tương tự, vì AB // CD:
- Góc BEC = Góc ABE = α (hai góc so le trong)
Trong △BCE:
- Góc CBE = α
- Góc BEC = α
⇒ △BCE cân tại C
⇒ CE = CB
Bước 5: Kết luận
Vì ABCD là hình thang cân nên DA = CB (hai cạnh bên bằng nhau)
Mà DE = DA và CE = CB
⇒ DE = CE hay EC = ED (đpcm)
Đáp án: EC = ED (đpcm)
💡 Mẹo nhớ: Trong bài toán phân giác, hay dùng góc so le trong để tìm tam giác cân!
Bài 3.8
Đề bài: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cách giải
Giả thiết:
- Hình thang cân ABCD với AB // CD
- AD và BC cắt nhau tại I
- AC và BD cắt nhau tại J
Kết luận: IJ là đường trung trực của AB
Chứng minh:
Bước 1: Chứng minh I nằm trên đường trung trực của AB
Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC.
Xét △IAB:
- Vì AD = BC và I là giao điểm của AD kéo dài và BC kéo dài
- Góc IAB = Góc IBA (vì góc DAB = góc CBA, hai góc kề đáy hình thang cân)
⇒ △IAB cân tại I
⇒ IA = IB
⇒ I nằm trên đường trung trực của AB
Bước 2: Chứng minh J nằm trên đường trung trực của AB
Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD (hai đường chéo bằng nhau).
Xét △JAB:
- Góc JAB = Góc JBA (vì góc CAB = góc DBA, do AC = BD và tính đối xứng)
⇒ △JAB cân tại J
⇒ JA = JB
⇒ J nằm trên đường trung trực của AB
Bước 3: Kết luận
Vì I và J đều nằm trên đường trung trực của AB
⇒ Đường thẳng IJ chính là đường trung trực của AB
Đáp án: Đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB (đpcm)
💡 Mẹo nhớ: Đường trung trực là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút. Chỉ cần chứng minh 2 điểm cách đều hai đầu là xác định được đường trung trực!
Vận dụng
Đề bài: Hãy giải bài toán mở đầu.
(Bài toán mở đầu không có trong các trang được cung cấp, cần xem trang trước đó)
🎯 Ghi nhớ: - Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. - Định lí 3: Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì đó là hình thang cân. - Hai định lí này là định lí thuận và đảo của nhau. - Hình thang cân có tính đối xứng trục qua đường trung trực của hai đáy.