Giải Toán 8 - Tập 1 trang 57

Hai trang này gồm phần cuối của bài "Luyện tập chung" (giải các bài tập về hình thang) và mở đầu Bài 12 "Hình bình hành". Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải chi tiết toàn bộ bài tập nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Ví dụ trong sách chứng minh một dấu hiệu quan trọng:

Hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song thì là hình thang cân.

Mở đầu Bài 12, ta có định nghĩa:

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

---

Bài 3.9: Nhận biết hình thang

Đề: Tứ giác $ABCD$ trong Hình 3.25 có phải là hình thang không? Vì sao? (Cho $\widehat{A}=120^\circ$, $\widehat{D}=60^\circ$).

Lời giải:

Hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ là hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng $AB$ và $DC$ với cát tuyến $AD$.

$$\widehat{A}+\widehat{D}=120^\circ+60^\circ=180^\circ$$

Hai góc trong cùng phía bù nhau nên $AB \parallel DC$.

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình thang (đáy $AB$ và $DC$).

---

Bài 3.10: Tính các góc hình thang cân

Đề: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $AB = AD$. Biết $\widehat{ABD}=30^\circ$, tính số đo các góc của hình thang.

Lời giải:

Vì $AB = AD$ nên tam giác $ABD$ cân tại $A$, suy ra:

$$\widehat{ADB}=\widehat{ABD}=30^\circ$$

Trong tam giác $ABD$:

$$\widehat{BAD}=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$$

Vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}=30^\circ$ (hai góc so le trong). Do đó:

$$\widehat{ADC}=\widehat{ADB}+\widehat{BDC}=30^\circ+30^\circ=60^\circ$$

Hình thang cân $ABCD$ có hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau:

$$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}=60^\circ$$

Hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau:

$$\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=120^\circ$$

Kết quả:

---

Bài 3.11: Tính các góc của tứ giác (Hình 3.26)

Đề: Tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$ trong Hình 3.26, biết $AB = AD$, $CB = CD$, $\widehat{A}=40^\circ$ và $\widehat{D}=120^\circ$.

Lời giải:

Tứ giác có $AB=AD$ và $CB=CD$ nên đây là hình có trục đối xứng là đường chéo $AC$ (hình "cái diều"). Xét hai tam giác $ABC$ và $ADC$:

• $AB = AD$ (giả thiết)
• $CB = CD$ (giả thiết)
• $AC$ cạnh chung

Nên $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c.c.c), suy ra $\widehat{B}=\widehat{D}=120^\circ$.

Tổng các góc của tứ giác bằng $360^\circ$:

$$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^\circ$$
$$40^\circ+120^\circ+\widehat{C}+120^\circ=360^\circ$$
$$\widehat{C}=80^\circ$$

Kết quả: $\widehat{A}=40^\circ$, $\widehat{B}=120^\circ$, $\widehat{C}=80^\circ$, $\widehat{D}=120^\circ$.

---

Bài 3.12: Điểm M trong tam giác đều

Đề: Cho $M$ nằm trong tam giác đều $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt cắt $AB$, $BC$, $CA$ tại $P$, $Q$, $R$.

a) Chứng minh tứ giác $APMR$ là hình thang cân.
b) Chứng minh chu vi tam giác $PQR$ bằng $MA+MB+MC$.
c) Với vị trí nào của $M$ thì $PQR$ là tam giác đều?

Câu a)

$P \in AB$, $R \in CA$. Theo cách dựng:

• $MR \parallel AB$, mà $AP$ nằm trên $AB$ nên $AP \parallel MR$.

Vậy $APMR$ là hình thang (hai đáy $AP$ và $RM$).

Xét hai góc kề đáy $AP$:

• $\widehat{PAR}=\widehat{BAC}=60^\circ$ (góc tam giác đều).
• $MP \parallel BC$, cát tuyến $AB$ nên $\widehat{APM}=\widehat{ABC}=60^\circ$ (hai góc đồng vị).

Hai góc kề một đáy bằng nhau:

$$\widehat{PAR}=\widehat{APM}=60^\circ$$

Vậy $APMR$ là hình thang cân.

Câu b)

Vì $APMR$ là hình thang cân nên hai đường chéo bằng nhau:

$$PR = AM \quad (1)$$

Lập luận tương tự cho hai tứ giác còn lại:

• Tứ giác $BPMQ$ có $BP$ nằm trên $AB$, $MQ \parallel CA$ và $PM \parallel BC$, là hình thang cân với góc $\widehat{B}=60^\circ$. Hai đường chéo bằng nhau:

$$PQ = BM \quad (2)$$

• Tứ giác $CRMQ$ có $MR \parallel AB$, $MQ \parallel CA$ và góc $\widehat{C}=60^\circ$, là hình thang cân. Hai đường chéo bằng nhau:

$$QR = CM \quad (3)$$

Cộng $(1)$, $(2)$, $(3)$:

$$PR + PQ + QR = MA + MB + MC$$

Vậy chu vi tam giác $PQR$ bằng $MA + MB + MC$. (đpcm)

Câu c)

Tam giác $PQR$ đều khi $PQ = QR = RP$, tức là:

$$MB = MC = MA$$

$M$ cách đều ba đỉnh nên $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều $ABC$, cũng chính là trọng tâm (giao điểm ba đường trung trực) của tam giác đều $ABC$.

---

Bài 12: Hình bình hành (Trang 57)

HĐ1: Tìm hình bình hành trong Hình 3.28

Hình bình hành là hình c).

Lý do: ở hình c) các cạnh đối song song với nhau ($AB \parallel DC$ và $AD \parallel BC$, các cạnh nằm theo cùng hướng trên lưới ô vuông). Còn hình a) là tứ giác thường, hình b) chỉ có dạng "cái diều" nên các cạnh đối không song song.

Ví dụ 1 (Hình 3.29)

Đề: Tứ giác $ABCD$ có ba góc bằng nhau như hình. Tứ giác $ABCD$ có là hình bình hành không? Tại sao?

Ý tưởng lời giải: Dựa vào các góc bằng nhau đã đánh dấu (bao gồm cả góc tạo bởi các tia $Bx$, $Dy$ kéo dài), ta chứng minh được:

• $\widehat{DAB}$ bằng góc ngoài tại $D$ $\Rightarrow$ $\widehat{DAB}+\widehat{ADC}=180^\circ$ $\Rightarrow$ $AB \parallel CD$.
• $\widehat{DAB}$ bằng góc ngoài tại $B$ $\Rightarrow$ $\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=180^\circ$ $\Rightarrow$ $AD \parallel BC$.

Tứ giác có cả hai cặp cạnh đối song song nên $ABCD$ là hình bình hành.

---