Giải Toán 8 - Tập 1 trang 59

Hai trang này thuộc bài "Hình bình hành" (sách Toán 8 - Tập 1, bộ Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải chi tiết tất cả hoạt động, ví dụ, bài luyện tập có trên trang nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Tính chất của hình bình hành (Định lí 1): Trong hình bình hành

• Các cạnh đối bằng nhau.
• Các góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Dấu hiệu nhận biết theo cạnh (Định lí 2):

• a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
• b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

---

Thực hành 1: Vẽ hình bình hành biết hai cạnh và góc xen giữa

Đề: Vẽ hình bình hành, biết hai cạnh liên tiếp bằng 3 cm, 4 cm và góc xen giữa hai cạnh đó bằng $60^\circ$. Mô tả cách vẽ và giải thích tại sao hình vẽ được là hình bình hành.

Cách vẽ:

1. Vẽ đoạn thẳng $AB = 4$ cm.
2. Tại đỉnh $A$, dùng thước đo góc vẽ tia $Ax$ tạo với $AB$ một góc $60^\circ$. Trên tia $Ax$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = 3$ cm.
3. Từ $B$ vẽ tia song song với $AD$, từ $D$ vẽ tia song song với $AB$; hai tia này cắt nhau tại $C$.
4. Nối các điểm lại, ta được tứ giác $ABCD$.

Giải thích: Theo cách vẽ, $BC \parallel AD$ và $CD \parallel AB$. Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song nên theo định nghĩa, $ABCD$ là hình bình hành.

---

HĐ2: Các tính chất của hình bình hành đã biết

Trong hình bình hành:

• Các cạnh đối song song và bằng nhau.
• Các góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

---

HĐ3: Chứng minh các tam giác bằng nhau trong hình bình hành ABCD

Cho hình bình hành $ABCD$, $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$, $BD$.

a) Chứng minh $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

• $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$ (so le trong, do $AB \parallel CD$).
• $AC$ cạnh chung.
• $\widehat{BCA} = \widehat{DAC}$ (so le trong, do $AD \parallel BC$).

Vậy $\triangle ABC = \triangle CDA$ (g.c.g).

Từ đó suy ra $AB = CD$, $AD = BC$ (cạnh tương ứng) và $\widehat{ABC} = \widehat{CDA}$ (góc tương ứng).

b) Chứng minh $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Xét hai tam giác:

• $AB = CD$ (chứng minh trên).
• $AD = CB$ (chứng minh trên).
• $BD$ cạnh chung.

Vậy $\triangle ABD = \triangle CDB$ (c.c.c). Suy ra $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$ (góc tương ứng).

c) Chứng minh $\triangle AOB = \triangle COD$.

Xét hai tam giác:

• $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (so le trong, $AB \parallel CD$).
• $AB = CD$ (chứng minh trên).
• $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (so le trong, $AB \parallel CD$).

Vậy $\triangle AOB = \triangle COD$ (g.c.g). Suy ra $OA = OC$, $OB = OD$, nghĩa là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Nhận xét: Hai góc kề một cạnh bất kì của hình bình hành là hai góc bù nhau (tổng bằng $180^\circ$), vì hai cạnh đối song song.

---

Luyện tập 1: Trung điểm của NP cũng là trung điểm của AM

Đề: Cho tam giác $ABC$. Từ điểm $M$ tuỳ ý trên cạnh $BC$, kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $AC$ tại $N$; kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt $AB$ tại $P$. Gọi $I$ là trung điểm của $NP$. Chứng minh $I$ cũng là trung điểm của đoạn $AM$.

Lời giải:

Theo cách dựng:

• $MN \parallel AB$, tức $MN \parallel AP$.
• $MP \parallel AC$, tức $MP \parallel AN$.

Xét tứ giác $ANMP$ có hai cặp cạnh đối song song ($AP \parallel MN$ và $AN \parallel MP$) nên $ANMP$ là hình bình hành.

Trong hình bình hành $ANMP$, hai đường chéo là $AM$ và $NP$. Mà hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên trung điểm của $NP$ cũng chính là trung điểm của $AM$.

$I$ là trung điểm của $NP$, do đó $I$ là giao điểm hai đường chéo, suy ra $I$ cũng là trung điểm của $AM$. (đpcm)

---

Tranh luận: Hình thang cân và hai cạnh bên bằng nhau

Đề: Vuông nói "Hình thang cân thì có hai cạnh bên bằng nhau. Ngược lại, hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình thang cân." Tròn phản đối: "Có trường hợp hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng lại là hình bình hành mà không phải hình thang cân." Theo em, bạn nào đúng? Vì sao?

Trả lời: Bạn Tròn đúng.

Một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân. Cụ thể, hình bình hành cũng là một hình thang (có một cặp cạnh đối song song) và có hai cạnh bên bằng nhau, nhưng hai góc kề một đáy của nó nói chung không bằng nhau nên không phải hình thang cân.

Như vậy mệnh đề đảo của bạn Vuông là sai. Chỉ có chiều "hình thang cân thì hai cạnh bên bằng nhau" là đúng.

---

Viết giả thiết, kết luận của Định lí 2

a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

---

Ví dụ 2: Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

Đề: Cho hình bình hành $ABCD$. Từ $A$, $C$ kẻ $AH$, $CK$ cùng vuông góc với $BD$ (H.3.31). Chứng minh tứ giác $AHCK$ là hình bình hành.

Lời giải:

Theo giả thiết $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$ và $AD = BC$. Do $AD \parallel BC$ nên $\widehat{D_1} = \widehat{B_1}$ (hai góc so le trong).

Xét hai tam giác vuông $AHD$ và $CKB$ (vuông tại $H$ và $K$) có:

• $AD = CB$ (cạnh huyền, vì $AD = BC$).
• $\widehat{D_1} = \widehat{B_1}$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle AHD = \triangle CKB$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó $AH = CK$.

Mặt khác, $AH$ và $CK$ cùng vuông góc với $BD$ nên $AH \parallel CK$.

Tứ giác $AHCK$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau ($AH \parallel CK$ và $AH = CK$), nên theo Định lí 2b, $AHCK$ là hình bình hành. (đpcm)

---