HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán 8 - Tập 1 trang 61

Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 61–62

Luyện tập 2

Đề bài:

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (Hình 3.32).

a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau.

b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

Câu a

Đề bài: Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau.

Cách giải

Bước 1: Chứng minh tam giác ADE cân

Vì ABCD là hình bình hành nên:

  • AD // BC (hai cạnh đối song song)
  • Góc DAB + góc ABC = 180° (hai góc trong cùng phía)

Vì DE là tia phân giác của góc D nên:

  • Góc ADE = góc ADC / 2

Vì AD // BC, ta có:

  • Góc AED = góc ADE (hai góc so le trong, vì DE cắt hai đường thẳng song song)

Do đó tam giác ADE có góc AED = góc ADE, suy ra tam giác ADE cân tại A.

Bước 2: Chứng minh tam giác CBF cân

Tương tự, vì BF là tia phân giác của góc B nên:

  • Góc CBF = góc ABC / 2

Vì AD // BC, ta có:

  • Góc CFB = góc CBF (hai góc so le trong)

Do đó tam giác CBF có góc CFB = góc CBF, suy ra tam giác CBF cân tại C.

Bước 3: Chứng minh tam giác ADE = tam giác CBF

Trong hình bình hành ABCD:

  • AD = BC (hai cạnh đối)
  • Góc DAB = góc BCD (hai góc đối)
  • Góc ADE = góc CBF (vì góc ADC = góc ABC, mà DE và BF là các tia phân giác)

Xét tam giác ADE và tam giác CBF:

  • AD = BC (cạnh đối hình bình hành)
  • Góc DAE = góc BCF (góc đối hình bình hành)
  • Góc ADE = góc CBF (đã chứng minh)

Suy ra: Tam giác ADE = tam giác CBF (g.c.g)

Kết luận: Tam giác ADE và tam giác CBF là những tam giác cân và bằng nhau.

Câu b

Đề bài: Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

Cách giải

Bước 1: Xác định các cạnh đối

Từ câu a, ta có tam giác ADE = tam giác CBF, suy ra:

  • AE = CF (hai cạnh tương ứng)
  • DE = BF (hai cạnh tương ứng)

Bước 2: Chứng minh DE // BF

Vì AB // CD (cạnh đối hình bình hành) và:

  • Góc AED = góc CFB (góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

Ta có DE // BF (vì có hai góc so le trong bằng nhau).

Bước 3: Kết luận

Tứ giác DEBF có:

  • DE // BF
  • DE = BF

Theo định lí 2 (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành):

Kết luận: Tứ giác DEBF là hình bình hành.

Thực hành 2

Đề bài:

Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác ABCD (có các đỉnh tại các điểm chia) như Hình 3.33 thì tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

Cách giải

Bước 1: Phân tích dữ kiện

Theo đề bài, sợi dây xích được chia thành 4 đoạn xen kẽ:

  • Hai đoạn dài bằng nhau
  • Hai đoạn ngắn bằng nhau
  • Đoạn dài và đoạn ngắn xen kẽ

Khi móc lại thành tứ giác ABCD, ta có:

  • AB = CD (hai đoạn dài bằng nhau)
  • BC = DA (hai đoạn ngắn bằng nhau)

Bước 2: Áp dụng định nghĩa

Tứ giác ABCD có:

  • Hai cặp cạnh đối bằng nhau: AB = CD và BC = DA

Theo định nghĩa hình bình hành: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

Ta cần chứng minh thêm các cạnh đối song song.

Bước 3: Chứng minh

Nối đường chéo AC.

Xét tam giác ABC và tam giác CDA:

  • AB = CD (giả thiết)
  • BC = DA (giả thiết)
  • AC là cạnh chung

Suy ra: Tam giác ABC = tam giác CDA (c.c.c)

Do đó:

  • Góc BAC = góc DCA (hai góc tương ứng) → AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau)
  • Góc BCA = góc DAC (hai góc tương ứng) → BC // AD (hai góc so le trong bằng nhau)
Kết luận: Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.
💡 Mẹo nhớ: Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau thì là hình bình hành.

Câu hỏi: Viết giả thiết, kết luận của Định lí 3

Đề bài:

Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 3.

Cách giải

Định lí 3a:

Giả thiếtKết luận
Tứ giác ABCD có góc A = góc C và góc B = góc DABCD là hình bình hành

Định lí 3b:

Giả thiếtKết luận
Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại O, OA = OC và OB = ODABCD là hình bình hành
Tóm tắt: - Định lí 3a: GT: Góc A = góc C, góc B = góc D → KL: ABCD là hình bình hành - Định lí 3b: GT: OA = OC, OB = OD (O là giao điểm hai đường chéo) → KL: ABCD là hình bình hành

Luyện tập 3

Đề bài:

Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A', B' là các điểm sao cho O là trung điểm của AA', BB'. Chứng minh rằng A'B' = AB và đường thẳng A'B' song song với đường thẳng AB.

Cách giải

Bước 1: Vẽ hình và xác định dữ kiện

  • O là trung điểm của AA' → OA = OA'
  • O là trung điểm của BB' → OB = OB'

Bước 2: Chứng minh tứ giác ABB'A' là hình bình hành

Xét tứ giác ABB'A':

  • Hai đường chéo là AA' và BB'
  • Hai đường chéo cắt nhau tại O
  • O là trung điểm của AA' (OA = OA')
  • O là trung điểm của BB' (OB = OB')

Theo Định lí 3b: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Suy ra: Tứ giác ABB'A' là hình bình hành.

Bước 3: Kết luận

Vì ABB'A' là hình bình hành nên:

  • AB = A'B' (hai cạnh đối của hình bình hành)
  • AB // A'B' (hai cạnh đối của hình bình hành)
Kết luận: A'B' = AB và đường thẳng A'B' song song với đường thẳng AB.

Vận dụng

Đề bài:

Trở lại bài toán mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở đi qua O sao cho theo con đường đó, hai đoạn đường từ O tới a và tới b bằng nhau.

Cách giải

Phân tích bài toán:

  • Có hai con đường a và b
  • Cần vẽ con đường đi qua O sao cho khoảng cách từ O đến a bằng khoảng cách từ O đến b

Cách vẽ:

Bước 1: Từ O, vẽ đường thẳng cắt đường a tại điểm M.

Bước 2: Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho O là trung điểm của MM' (tức OM = OM').

Bước 3: Từ O, vẽ đường thẳng cắt đường b tại điểm N.

Bước 4: Trên tia ON, lấy điểm N' sao cho O là trung điểm của NN' (tức ON = ON').

Bước 5: Con đường cần mở là đường chéo của hình bình hành có các đỉnh nằm trên a và b, đi qua O.

Giải thích: Con đường cần mở là đường chéo của hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm trên hai con đường a và b. Khi đó, O là giao điểm của hai đường chéo, nên khoảng cách từ O đến hai đường a và b bằng nhau.

Bài tập

Bài 3.13

Đề bài: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?

a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.

b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.

Cách giải

Câu a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.

Đáp án: ĐÚNG

Giải thích:

  • Hình thang có hai cạnh đáy song song (theo định nghĩa hình thang)
  • Nếu hai cạnh bên cũng song song
  • Thì tứ giác có hai cặp cạnh đối song song
  • Theo định nghĩa, đó là hình bình hành

Câu b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.

Đáp án: SAI

Giải thích:

  • Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau gọi là hình thang cân
  • Hình thang cân có hai cạnh đáy không bằng nhau (một đáy lớn, một đáy nhỏ)
  • Hình bình hành phải có hai cặp cạnh đối bằng nhau
  • Vì hai đáy không bằng nhau nên không phải hình bình hành

Ví dụ: Hình thang cân ABCD với AB = 4 cm, CD = 8 cm, AD = BC = 5 cm không phải là hình bình hành.

Câu c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.

Đáp án: ĐÚNG

Giải thích:

  • "Hai cạnh đối nào cũng song song" nghĩa là cả hai cặp cạnh đối đều song song
  • Đây chính là định nghĩa của hình bình hành

Bài 3.14

Đề bài: Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong Hình 3.35 (biết góc A = 100°).

Cách 1 — Dùng tính chất góc đối

Bước 1: Xác định góc đối với góc A

Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.

Góc A và góc C là hai góc đối, nên:

  • Góc C = góc A = 100°

Bước 2: Tính góc B

Trong hình bình hành, hai góc kề nhau bù nhau (tổng bằng 180°).

Góc A và góc B là hai góc kề, nên:

  • Góc A + góc B = 180°
  • 100° + góc B = 180°
  • Góc B = 180° - 100° = 80°

Bước 3: Tính góc D

Góc B và góc D là hai góc đối, nên:

  • Góc D = góc B = 80°
Đáp án: Góc B = 80°, góc C = 100°, góc D = 80°
Cách 2 — Dùng tổng các góc trong tứ giác

Tổng các góc trong tứ giác bằng 360°.

Trong hình bình hành:

  • Góc A = góc C (góc đối)
  • Góc B = góc D (góc đối)

Ta có:

  • Góc A + góc B + góc C + góc D = 360°
  • 100° + góc B + 100° + góc B = 360°
  • 200° + 2 × góc B = 360°
  • 2 × góc B = 160°
  • Góc B = 80°

Suy ra: Góc D = 80°, góc C = 100°

💡 Mẹo nhớ: Trong hình bình hành: "Đối thì bằng, kề thì bù" (góc đối bằng nhau, góc kề bù nhau).

Bài 3.15

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh BF = DE.

Cách 1 — Chứng minh tam giác bằng nhau

Bước 1: Xác định dữ kiện

  • ABCD là hình bình hành
  • E là trung điểm của AB → AE = EB = AB/2
  • F là trung điểm của CD → CF = FD = CD/2

Bước 2: Xác định các yếu tố liên quan

Vì ABCD là hình bình hành:

  • AB = CD (cạnh đối)
  • AB // CD (cạnh đối)
  • Góc ABF = góc CDF (so le trong, vì AB // CD và BD là cát tuyến)

Suy ra:

  • EB = AB/2 = CD/2 = FD

Bước 3: Chứng minh tam giác bằng nhau

Xét tam giác EBF và tam giác FDE:

  • EB = FD (đã chứng minh)
  • Góc EBF = góc FDE (so le trong, vì AB // CD)
  • BF là cạnh chung? (Không đúng)

Cách khác: Xét tam giác BCF và tam giác DAE:

  • BC = DA (cạnh đối hình bình hành)
  • Góc BCF = góc DAE (góc đối hình bình hành)
  • CF = AE (vì CF = CD/2 = AB/2 = AE)

Suy ra: Tam giác BCF = tam giác DAE (c.g.c)

Do đó: BF = DE (hai cạnh tương ứng)

Kết luận: BF = DE
Cách 2 — Chứng minh BFDE là hình bình hành

Bước 1: Chứng minh EF // BD và EF = BD/2 (không cần thiết)

Cách khác:

Vì E là trung điểm AB và F là trung điểm CD:

  • AE = EB = CF = FD (vì AB = CD)

Xét tứ giác EBFD:

  • EB // FD (vì AB // CD)
  • EB = FD (đã chứng minh)

Theo định lí 2: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Suy ra: EBFD là hình bình hành.

Do đó: BF = DE (cạnh đối của hình bình hành)

Kết luận: BF = DE

Bài 3.16

Đề bài: Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?

Hình a)

Dữ kiện: Góc A = 100°, góc B = 80°, góc C = 100°

Bước 1: Tính góc D

  • Tổng các góc trong tứ giác = 360°
  • Góc D = 360° - 100° - 80° - 100° = 80°

Bước 2: Kiểm tra điều kiện

  • Góc A = góc C = 100° (hai góc đối bằng nhau)
  • Góc B = góc D = 80° (hai góc đối bằng nhau)

Theo Định lí 3a: Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

Kết luận: Hình a) là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau.
Hình b)

Dữ kiện: Góc A = 75°, góc D = 75°

Bước 1: Phân tích

  • Góc A = 75° và góc D = 75°
  • Góc A và góc D là hai góc kề (không phải góc đối)

Bước 2: Kiểm tra

Nếu là hình bình hành thì:

  • Góc A + góc D = 180° (hai góc kề bù nhau)
  • Nhưng 75° + 75° = 150° ≠ 180°
Kết luận: Hình b) không là hình bình hành vì hai góc kề không bù nhau.
Hình c)

Dữ kiện: Góc A = 70°, góc B = 110°, góc D = 110°

Bước 1: Tính góc C

  • Góc C = 360° - 70° - 110° - 110° = 70°

Bước 2: Kiểm tra điều kiện

  • Góc A = góc C = 70° (hai góc đối bằng nhau)
  • Góc B = góc D = 110° (hai góc đối bằng nhau)

Theo Định lí 3a: Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

Kết luận: Hình c) là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau.

Bài 3.17

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) EF = AD, AF = EC.

Câu a)

Chứng minh AEFD là hình bình hành:

Bước 1: Xác định dữ kiện

  • E là trung điểm AB → AE = AB/2
  • F là trung điểm CD → DF = CD/2
  • ABCD là hình bình hành → AB = CD và AB // CD

Bước 2: Chứng minh

  • AE = AB/2 = CD/2 = DF (vì AB = CD)
  • AE // DF (vì AB // CD, mà E ∈ AB, F ∈ CD)

Tứ giác AEFD có:

  • AE // DF
  • AE = DF

Theo định lí 2: AEFD là hình bình hành.

Chứng minh EBCF là hình bình hành:

Tương tự:

  • EB = AB/2 = CD/2 = FC
  • EB // FC (vì AB // CD)

Theo định lí 2: EBCF là hình bình hành.

Kết luận: Hai tứ giác AEFD và EBCF là những hình bình hành.

Lưu ý: Đề bài ghi AECF, nhưng theo hình vẽ thông thường, có thể là EBCF. Nếu đề đúng là AECF thì cần xem lại vị trí các điểm.

Câu b)

Chứng minh EF = AD:

Vì AEFD là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a):

  • EF = AD (cạnh đối của hình bình hành)

Chứng minh AF = EC:

Vì AEFD là hình bình hành:

  • AF // ED và AF = ED

Vì EBCF là hình bình hành:

  • EC // BF và EC = BF

Ta cần chứng minh AF = EC.

Trong hình bình hành ABCD, nối AF và EC.

Xét tam giác ADF và tam giác CBE:

  • AD = CB (cạnh đối hình bình hành ABCD)
  • DF = BE (vì DF = CD/2 = AB/2 = BE)
  • Góc ADF = góc CBE (góc đối hình bình hành)

Suy ra: Tam giác ADF = tam giác CBE (c.g.c)

Do đó: AF = CE

Kết luận: EF = AD và AF = EC

Bài 3.18

Đề bài: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh tam giác OAM = tam giác OCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.

Cách giải

Phần 1: Chứng minh tam giác OAM = tam giác OCN

Bước 1: Xác định dữ kiện

  • ABCD là hình bình hành
  • O là giao điểm hai đường chéo AC và BD
  • Đường thẳng qua O cắt AB tại M, cắt CD tại N

Bước 2: Sử dụng tính chất hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành:

  • O là trung điểm của AC → OA = OC
  • O là trung điểm của BD → OB = OD
  • AB // CD

Bước 3: Chứng minh tam giác bằng nhau

Xét tam giác OAM và tam giác OCN:

  • OA = OC (O là trung điểm AC)
  • Góc AOM = góc CON (hai góc đối đỉnh)
  • Góc OAM = góc OCN (hai góc so le trong, vì AB // CD)

Suy ra: Tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g)

Kết luận: Tam giác OAM = tam giác OCN

Phần 2: Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành

Bước 1: Suy ra từ tam giác bằng nhau

Từ tam giác OAM = tam giác OCN:

  • OM = ON (cạnh tương ứng)
  • AM = CN (cạnh tương ứng)

Bước 2: Chứng minh MBND là hình bình hành

Xét tứ giác MBND:

  • Hai đường chéo là MN và BD
  • Hai đường chéo cắt nhau tại O
  • O là trung điểm của MN (vì OM = ON)
  • O là trung điểm của BD (tính chất hình bình hành ABCD)

Theo Định lí 3b: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Kết luận: Tứ giác MBND là hình bình hành.
🎯 Ghi nhớ: Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành: 1. Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song 2. Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau 3. Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau 4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau 5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Chế độ đọc sách →