Giải Toán 8 - Tập 1 trang 63
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 63–64
Mình thấy hai trang trong ảnh đánh số là 62 và 63 (không phải 63–64), nên mình ghi header theo đúng số trang trên ảnh nhé.
Tóm tắt phần Luyện tập chung (trang 62)
Trang 62 là phần ví dụ mẫu áp dụng kiến thức về hình bình hành:
- Ví dụ 1: Nối trung điểm các cạnh của một hình bình hành thì được một hình bình hành mới (dùng dấu hiệu hai cặp cạnh đối bằng nhau).
- Ví dụ 2: Tính diện tích hình bình hành bằng cách chia thành hai tam giác vuông qua đường chéo.
Hai kiến thức cốt lõi cần nhớ:
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: hai cặp cạnh đối bằng nhau / song song; hai cặp góc đối bằng nhau; một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Trong hình bình hành: cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, hai góc kề một cạnh bù nhau (tổng 180°).
Bài 3.19: Nhận biết hình bình hành (Hình 3.39)
Đề: Trong các tứ giác ở Hình 3.39, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?
a) Tứ giác có hai cặp góc đối được đánh dấu bằng nhau: $\hat{A}=\hat{C}$ và $\hat{B}=\hat{D}$.
→ Theo dấu hiệu hai cặp góc đối bằng nhau, đây là hình bình hành.
b) Tứ giác có $\hat{A}=110^\circ,\ \hat{B}=70^\circ,\ \hat{D}=75^\circ$.
Tổng bốn góc trong tứ giác bằng $360^\circ$ nên:
$$\hat{C}=360^\circ-110^\circ-70^\circ-75^\circ=105^\circ.$$
Hai góc đối: $\hat{A}=110^\circ$ nhưng $\hat{C}=105^\circ$ → $\hat{A}\neq\hat{C}$.
→ Không phải hình bình hành.
c) Góc tại $D$ là $80^\circ$, góc ngoài tại $C$ là $80^\circ$ nên góc trong tại $C$ là $180^\circ-80^\circ=100^\circ$.
Ta có $\hat{D}+\hat{C}=80^\circ+100^\circ=180^\circ$ (hai góc trong cùng phía của cát tuyến $DC$) ⟹ $AD\parallel BC$.
Kết hợp dấu hiệu hai cạnh được đánh dấu bằng nhau (cặp cạnh đối bằng nhau) ⟹ đây là hình bình hành.
Kết luận: a) và c) là hình bình hành; b) không phải.
Bài 3.20: Chứng minh AN = CM và hai góc bằng nhau
Đề: Cho hình bình hành $ABCD$. Lấy $M$ thuộc $AB$, $N$ thuộc $CD$ sao cho $AM=CN$. Chứng minh:
a) $AN=CM$; b) $\widehat{AMC}=\widehat{ANC}$.
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, tức $AM\parallel CN$ (vì $M\in AB$, $N\in CD$).
Xét tứ giác $AMCN$:
- $AM\parallel CN$ (chứng minh trên),
- $AM=CN$ (giả thiết).
Một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau ⟹ $AMCN$ là hình bình hành.
a) Trong hình bình hành $AMCN$, hai cạnh đối còn lại bằng nhau:
$$AN=CM.\qquad\checkmark$$
b) Trong hình bình hành $AMCN$, hai góc đối bằng nhau:
$$\widehat{AMC}=\widehat{ANC}.\qquad\checkmark$$
Bài 3.21: Giải thích cách vẽ hình bình hành
Đề: Vẽ tứ giác $ABCD$: vẽ $AB$ và đường thẳng $a\parallel AB$; lấy $C\in a$; trên $a$ lấy $D$ sao cho $CD=AB$ và $A,D$ cùng phía đối với $BC$. Giải thích vì sao $ABCD$ là hình bình hành.
Vì $C$ và $D$ cùng nằm trên đường thẳng $a$ mà $a\parallel AB$ nên $CD\parallel AB$.
Lại có $CD=AB$ (theo cách dựng).
Vậy tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối $AB$ và $CD$ vừa song song vừa bằng nhau ⟹ $ABCD$ là hình bình hành.
(Điều kiện "$A,D$ cùng phía đối với $BC$" để đảm bảo tứ giác $ABCD$ không bị "xoắn", tức các đỉnh đặt đúng thứ tự tạo thành hình bình hành.)
Bài 3.22: Tia phân giác trong hình bình hành
Đề: Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB=3$ cm, $AD=5$ cm.
a) Tia phân giác góc $A$ cắt cạnh $CD$ hay $BC$?
b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến $C$.
a) Gọi tia phân giác góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại $P$. Ta xét tam giác $ABP$:
- $\widehat{BAP}=\dfrac{\hat{A}}{2}$ (tia phân giác).
- Vì $AD\parallel BC$ nên $\widehat{APB}=\widehat{DAP}=\dfrac{\hat{A}}{2}$ (hai góc so le trong).
Suy ra $\widehat{BAP}=\widehat{APB}$ ⟹ tam giác $ABP$ cân tại $B$ ⟹ $BP=AB=3$ cm.
Vì $BP=3<5=BC$ nên điểm $P$ nằm trong đoạn $BC$.
→ Tia phân giác góc $A$ cắt cạnh $BC$.
b) Khoảng cách từ giao điểm $P$ đến $C$:
$$PC=BC-BP=5-3=2\ \text{(cm)}.$$
Bài 3.23: Hai hình bình hành và ba trung điểm trùng nhau
Đề: Cho hình bình hành $ABCD$. Lấy $E$ sao cho $B$ là trung điểm $AE$; lấy $F$ sao cho $C$ là trung điểm $DF$. Chứng minh:
a) $AEFD$, $ABFC$ là hình bình hành;
b) Trung điểm của ba đoạn $AF$, $DE$, $BC$ trùng nhau.
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$ và $AB=DC$.
Xét tứ giác $AEFD$:
- $B$ là trung điểm $AE$ nên $AE=2AB$.
- $C$ là trung điểm $DF$ nên $DF=2DC=2AB$.
- Mặt khác $E\in$ tia $AB$, $F\in$ tia $DC$ mà $AB\parallel DC$ nên $AE\parallel DF$.
Vậy $AE\parallel DF$ và $AE=DF$ ⟹ $AEFD$ là hình bình hành.
Xét tứ giác $ABFC$:
- $AB\parallel DC$ và $CF$ nằm trên đường thẳng $DC$ nên $AB\parallel CF$.
- $AB=DC=CF$ (vì $C$ là trung điểm $DF$ nên $CF=DC$).
Vậy $AB\parallel CF$ và $AB=CF$ ⟹ $ABFC$ là hình bình hành.
b)
- $AEFD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AF$ và $ED$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⟹ trung điểm $AF$ trùng trung điểm $DE$.
- $ABFC$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AF$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⟹ trung điểm $AF$ trùng trung điểm $BC$.
Cả ba đoạn $AF$, $DE$, $BC$ đều có trung điểm trùng với trung điểm của $AF$, nên trung điểm của ba đoạn này trùng nhau. $\checkmark$
Bài 3.24: Tìm đỉnh thứ tư của hình bình hành
Đề: Cho ba điểm không thẳng hàng.
a) Tìm một điểm để cùng ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình bình hành. Vẽ hình và mô tả cách tìm.
b) Tìm được bao nhiêu điểm như vậy?
Gọi ba điểm là $A$, $B$, $C$.
a) Cách tìm một điểm $D$:
- Vẽ đường thẳng qua $A$ song song với $BC$.
- Vẽ đường thẳng qua $C$ song song với $AB$.
- Hai đường thẳng này cắt nhau tại $D$.
Khi đó tứ giác $ABCD$ có $AB\parallel CD$ và $AD\parallel BC$ nên là hình bình hành.
b) Có 3 điểm như vậy, tùy theo ta chọn cặp đỉnh nào làm đường chéo:
| Điểm thứ tư | Đường chéo của hình bình hành | Công thức vị trí |
|---|---|---|
| $D_1$ | $AC$ và $BD_1$ | $D_1=A+C-B$ |
| $D_2$ | $AB$ và $CD_2$ | $D_2=A+B-C$ |
| $D_3$ | $BC$ và $AD_3$ | $D_3=B+C-A$ |
Mỗi cách ghép cho một hình bình hành khác nhau, nên tổng cộng tìm được 3 điểm.
Nếu em muốn mình vẽ minh họa rõ hơn cho bài 3.24 hoặc trình bày chứng minh bài 3.23 bằng cách không dùng tọa độ thì nói mình nhé.