Giải Toán 8 - Tập 1 trang 9
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 9–10
Tóm tắt lý thuyết
Hai kiến thức cốt lõi của hai trang này:
- Đơn thức đồng dạng: Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức với hệ số khác 0 và có phần biến giống nhau.
- Nhận xét: Hai đơn thức đồng dạng thì có cùng bậc (nhưng cùng bậc chưa chắc đồng dạng).
- Cộng (trừ) đơn thức đồng dạng: Cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.
Luyện tập 2: Thu gọn và xác định bậc
Đề: Thu gọn và xác định bậc của đơn thức $4{,}5x^2y \cdot (-2)xyz$.
Lời giải:
$$4{,}5x^2y \cdot (-2)xyz = [4{,}5 \cdot (-2)] \cdot (x^2 \cdot x)(y \cdot y) z = -9x^3y^2z$$
- Hệ số: $-9$
- Phần biến: $x^3y^2z$
- Bậc: $3 + 2 + 1 = 6$
HĐ3: Viết đơn thức cùng bậc với M
Đề: Cho đơn thức một biến $M = 3x^2$. Hãy viết ba đơn thức biến $x$, cùng bậc với $M$ rồi so sánh phần biến của các đơn thức đó.
Lời giải:
$M = 3x^2$ có bậc 2. Ba đơn thức biến $x$ cùng bậc (bậc 2), ví dụ:
$$5x^2; \quad -7x^2; \quad \tfrac{1}{2}x^2$$
So sánh: tất cả đều có phần biến giống nhau là $x^2$ (chỉ khác hệ số). Với đơn thức một biến, cùng bậc thì luôn cùng phần biến.
HĐ4: So sánh ba đơn thức A, B, C
Đề: Xét ba đơn thức $A = 2x^2y^3$, $B = -\dfrac{1}{2}x^2y^3$ và $C = x^3y^2$. So sánh:
a) Bậc của ba đơn thức;
b) Phần biến của ba đơn thức.
Lời giải:
a) Bậc:
- $A$: bậc $2 + 3 = 5$
- $B$: bậc $2 + 3 = 5$
- $C$: bậc $3 + 2 = 5$
→ Cả ba đơn thức đều có cùng bậc 5.
b) Phần biến:
- $A$ và $B$ có phần biến giống nhau: $x^2y^3$
- $C$ có phần biến khác: $x^3y^2$
→ A và B đồng dạng, còn C không đồng dạng với A, B (dù cùng bậc).
Luyện tập 3: Phân nhóm đơn thức đồng dạng
Đề: Cho các đơn thức:
$$\tfrac{5}{3}x^2y; \quad -xy^2; \quad 0{,}5x^4; \quad -2xy^2; \quad 2{,}75x^4; \quad -\tfrac{1}{4}x^2y; \quad 3xy^2$$
Hãy sắp xếp thành từng nhóm sao cho các đơn thức đồng dạng thuộc cùng một nhóm.
Lời giải: Ta nhóm theo phần biến giống nhau:
| Nhóm | Phần biến | Các đơn thức |
|---|---|---|
| 1 | $x^2y$ | $\tfrac{5}{3}x^2y;\ -\tfrac{1}{4}x^2y$ |
| 2 | $xy^2$ | $-xy^2;\ -2xy^2;\ 3xy^2$ |
| 3 | $x^4$ | $0{,}5x^4;\ 2{,}75x^4$ |
Tranh luận
Đề: Hai đơn thức một biến có cùng biến và cùng bậc thì đồng dạng. Hỏi điều đó có còn đúng với hai đơn thức nhiều hơn một biến không?
Trả lời: Không còn đúng.
Phản ví dụ chính là HĐ4: $A = 2x^2y^3$ và $C = x^3y^2$ đều cùng bậc 5 nhưng phần biến khác nhau ($x^2y^3 \ne x^3y^2$), nên không đồng dạng. Với đơn thức nhiều biến, cùng bậc chưa đủ, cần phần biến giống hệt nhau.
HĐ5: Tính chất phép nhân
Đề: Quan sát ví dụ:
$$2{,}5 \cdot 3^2 \cdot 5^3 + 8{,}5 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = (2{,}5 + 8{,}5) \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 11 \cdot 3^2 \cdot 5^3$$
Đã vận dụng tính chất gì của phép nhân?
Trả lời: Đã vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
$$a \cdot m + b \cdot m = (a + b) \cdot m$$
với $m = 3^2 \cdot 5^3$.
HĐ6: Thu gọn tổng và hiệu
Đề: Cho hai đơn thức đồng dạng $M = 2{,}5x^2y^3$ và $P = 8{,}5x^2y^3$.
a) Thu gọn tổng $M + P$;
b) Thu gọn hiệu $M - P$.
Lời giải:
a) $M + P = (2{,}5 + 8{,}5)x^2y^3 = 11x^2y^3$
b) $M - P = (2{,}5 - 8{,}5)x^2y^3 = -6x^2y^3$
Ví dụ 3 (đã có lời giải trong sách)
Cho $A = 3xy^2$; $B = -5xy^2$; $C = xy^2$.
$$A + B = [3 + (-5)]xy^2 = -2xy^2$$
$$A - B = [3 - (-5)]xy^2 = 8xy^2$$
$$A + B + C = (3 - 5 + 1)xy^2 = -xy^2$$
Luyện tập 4: Tổng ba đơn thức và tính giá trị
Đề: Cho các đơn thức $-x^3y$; $4x^3y$ và $-2x^3y$.
a) Tính tổng $S$ của ba đơn thức đó.
b) Tính giá trị của $S$ tại $x = 2$; $y = -3$.
Lời giải:
a) Ba đơn thức đồng dạng (cùng phần biến $x^3y$):
$$S = (-1 + 4 - 2)x^3y = x^3y$$
b) Thay $x = 2$, $y = -3$:
$$S = 2^3 \cdot (-3) = 8 \cdot (-3) = -24$$
Vận dụng
Đề: Trở lại lập luận của Tròn và Vuông trong tình huống mở đầu. Hãy trả lời và giải thích.
Trả lời: Phần này dựa vào tình huống mở đầu ở đầu bài (không có trong hai trang này), nên thầy chỉ nêu hướng. Nội dung thường là: hai bạn tranh luận về việc hai đơn thức cùng bậc có chắc đồng dạng không. Dựa vào kiến thức vừa học, kết luận: cùng bậc chưa chắc đồng dạng, phải có phần biến giống nhau. Bạn nào khẳng định "cần phần biến giống nhau" là đúng. Em xem lại đề đầu bài để ghép tên đúng cho Tròn/Vuông nhé.
Bài 1.1: Nhận biết đơn thức
Đề: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
$$-x; \quad (1+x)y^2; \quad (3+\sqrt{3})xy; \quad 0; \quad \tfrac{1}{y}x^2; \quad 2\sqrt{xy}$$
Lời giải: Nhắc lại, đơn thức là biểu thức chỉ gồm tích của số với các biến (lũy thừa số mũ tự nhiên), hoặc chỉ là một số.
| Biểu thức | Có là đơn thức? | Lý do |
|---|---|---|
| $-x$ | ✅ | Tích của số $-1$ với biến $x$ |
| $(1+x)y^2$ | ❌ | Chứa tổng $(1+x)$, không phải tích đơn thuần |
| $(3+\sqrt{3})xy$ | ✅ | $(3+\sqrt{3})$ là một số cụ thể, nhân với $xy$ |
| $0$ | ✅ | Là một số (đơn thức 0) |
| $\dfrac{1}{y}x^2$ | ❌ | Biến $y$ ở mẫu (số mũ âm), không phải đơn thức |
| $2\sqrt{xy}$ | ❌ | Biến nằm dưới căn (số mũ phân số) |
Vậy các đơn thức là: $-x$; $(3+\sqrt{3})xy$; $0$.
Bài 1.2: Thu gọn, xác định hệ số, phần biến, bậc
Đề: Cho các đơn thức:
$$A = 4x(-2)x^2y; \quad B = 12{,}75xyz; \quad C = (1 + 2\cdot 4{,}5)x^2y\tfrac{1}{5}y^3; \quad D = (2-\sqrt{5})x$$
a) Liệt kê các đơn thức đã thu gọn và thu gọn các đơn thức còn lại.
b) Với mỗi đơn thức nhận được, cho biết hệ số, phần biến và bậc.
Lời giải:
a) Xét từng đơn thức:
- $A = 4x(-2)x^2y$ — chưa thu gọn (biến $x$ xuất hiện nhiều lần).
$$A = 4\cdot(-2)y = -8x^3y$$
- $B = 12{,}75xyz$ — đã thu gọn.
- $C = (1 + 2\cdot 4{,}5)x^2y\cdot\tfrac{1}{5}y^3$ — chưa thu gọn (hệ số chưa tính, biến $y$ lặp).
$$1 + 2\cdot 4{,}5 = 1 + 9 = 10$$
$$C = 10 \cdot \tfrac{1}{5} \cdot x^2 (y\cdot y^3) = 2x^2y^4$$
- $D = (2-\sqrt{5})x$ — đã thu gọn ($2-\sqrt{5}$ là một số).
Vậy: đã thu gọn sẵn là $B$ và $D$; cần thu gọn là $A$ và $C$.
b) Bảng hệ số – phần biến – bậc:
| Đơn thức | Hệ số | Phần biến | Bậc |
|---|---|---|---|
| $A = -8x^3y$ | $-8$ | $x^3y$ | $3+1 = 4$ |
| $B = 12{,}75xyz$ | $12{,}75$ | $xyz$ | $1+1+1 = 3$ |
| $C = 2x^2y^4$ | $2$ | $x^2y^4$ | $2+4 = 6$ |
| $D = (2-\sqrt{5})x$ | $2-\sqrt{5}$ | $x$ | $1$ |
Em nắm chắc một điều then chốt nhé: muốn hai đơn thức đồng dạng thì phần biến phải giống hệt nhau, chứ không chỉ cùng bậc. Đây là chỗ rất hay nhầm khi làm bài. Cần thầy giải thêm phần tình huống mở đầu thì gửi ảnh trang đó nha.