Giải Toán 8 - Tập 1 trang 65
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 65–66
Bài 13: HÌNH CHỮ NHẬT
Câu hỏi mở đầu
Đề bài: Hai thanh tre thẳng bằng nhau, được gắn với nhau tại trung điểm của mỗi thanh. Khi các đầu mút của hai thanh tre đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác (H.3.40) thì tứ giác đó là hình gì? Tại sao?
Cách giải
Phân tích bài toán:
- Hai thanh tre bằng nhau → hai đường chéo bằng nhau
- Gắn tại trung điểm của mỗi thanh → hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Lời giải:
Gọi tứ giác tạo thành là ABCD với hai đường chéo AC và BD.
Bước 1: Vì hai thanh tre bằng nhau nên: AC = BD
Bước 2: Vì hai thanh gắn tại trung điểm của mỗi thanh, gọi giao điểm là O, ta có:
- OA = OC = AC/2
- OB = OD = BD/2
Bước 3: Do AC = BD nên OA = OC = OB = OD
Bước 4: Vì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên ABCD là hình bình hành.
Bước 5: Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau (AC = BD) nên ABCD là hình chữ nhật.
Đáp án: Tứ giác đó là hình chữ nhật vì có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
HĐ1 (Hoạt động 1)
Đề bài: Trong các hình dưới đây, hình nào là hình chữ nhật? Tại sao?
(Hình 3.41 gồm 3 tứ giác: a, b, c)
Cách giải
Nhắc lại: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
Xét từng hình:
Hình a) Tứ giác ABCD
- Quan sát hình: Các góc không phải góc vuông
- → Không phải hình chữ nhật
Hình b) Tứ giác ABCD
- Quan sát hình: Có 4 góc vuông tại A, B, C, D (có dấu vuông góc)
- → Là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông
Hình c) Tứ giác ABCD
- Quan sát hình: Các góc không phải góc vuông (hình bình hành xiên)
- → Không phải hình chữ nhật
Đáp án: Hình b) là hình chữ nhật vì có bốn góc vuông.
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Hình chữ nhật có là hình bình hành không, có là hình thang cân không? Tại sao?
Cách giải
Xét hình chữ nhật có phải hình bình hành không:
- Hình chữ nhật có 4 góc vuông
- Suy ra: Góc A = Góc C = 90° và Góc B = Góc D = 90°
- Tức là các góc đối bằng nhau
- Theo định nghĩa, tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
Kết luận 1: Hình chữ nhật là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau.
Xét hình chữ nhật có phải hình thang cân không:
- Hình chữ nhật có AB // CD (vì là hình bình hành)
- Góc A = Góc B = 90° (hai góc kề một đáy bằng nhau)
- Theo định nghĩa hình thang cân: hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
Kết luận 2: Hình chữ nhật là hình thang cân vì có một cặp cạnh đối song song và hai góc kề một đáy bằng nhau.
💡 Ghi nhớ: Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và của hình thang cân.
Luyện tập 1
Đề bài: Cho hình chữ nhật ABCD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Kẻ OH ⊥ DC (H.3.44). Chứng minh rằng H là trung điểm của DC.
Cách 1 — Sử dụng tính chất tam giác cân
Bước 1: Xác định các yếu tố đã biết
- ABCD là hình chữ nhật
- O là giao điểm của AC và BD
- OH ⊥ DC
Bước 2: Sử dụng tính chất đường chéo hình chữ nhật
Trong hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:
- AC = BD
- OA = OC = OB = OD
Bước 3: Xét tam giác ODC
Ta có: OD = OC (chứng minh trên)
Suy ra tam giác ODC là tam giác cân tại O.
Bước 4: Chứng minh H là trung điểm DC
Trong tam giác cân ODC:
- OH ⊥ DC (giả thiết)
- OH là đường cao từ đỉnh O
Trong tam giác cân, đường cao từ đỉnh cũng là đường trung tuyến.
Vậy H là trung điểm của DC.
Kết luận: H là trung điểm của DC. ∎
Cách 2 — Sử dụng tam giác bằng nhau
Bước 1: Xét hai tam giác OHD và OHC
Ta có:
- OD = OC (tính chất đường chéo hình chữ nhật)
- OH là cạnh chung
- Góc OHD = Góc OHC = 90° (vì OH ⊥ DC)
Bước 2: Kết luận
Suy ra: △OHD = △OHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Do đó: HD = HC
Vậy H là trung điểm của DC. ∎
💡 Mẹo nhớ: Trong tam giác cân, "ba đường đồng quy" - đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực từ đỉnh trùng nhau.
HĐ3 (Hoạt động 3)
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD có góc A vuông. Tính các góc B, C, D. Tứ giác ABCD có là hình chữ nhật không? Vì sao?
Cách giải
Bước 1: Tính góc C
Trong hình bình hành, các góc đối bằng nhau:
- Góc C = Góc A = 90°
Bước 2: Tính góc B
Trong hình bình hành, hai góc kề nhau bù nhau:
- Góc A + Góc B = 180°
- 90° + Góc B = 180°
- Góc B = 90°
Bước 3: Tính góc D
Tương tự:
- Góc D = Góc B = 90° (góc đối)
Hoặc: Góc A + Góc D = 180° → Góc D = 90°
Bước 4: Kết luận
Tứ giác ABCD có 4 góc vuông (Góc A = Góc B = Góc C = Góc D = 90°)
Đáp án: - Góc B = Góc C = Góc D = 90° - Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.
Tóm tắt kiến thức quan trọng
🎯 Ghi nhớ: 1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. 2. Tính chất đường chéo: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: - a) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. - b) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 4. Nhận xét: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.