Giải Toán 8 - Tập 1 trang 67
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 67–68
Hai trang này chuyển tiếp giữa cuối Bài 13 (Hình chữ nhật – trang 66) và mở đầu Bài 14 (Hình thoi và hình vuông – trang 67). Mình sẽ giải hết phần luyện tập, bài tập ở trang 66 và tóm tắt phần lý thuyết mở đầu trang 67 nhé.
Phần cuối Bài 13 (trang 66)
Luyện tập 2
Đề: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 90°$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường. Hỏi tứ giác $ABCD$ là hình gì? Tại sao?
Lời giải:
- Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $ABCD$ là hình bình hành.
- Hình bình hành $ABCD$ lại có $\widehat{A} = 90°$.
Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).
Nhận xét
Nếu tam giác có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì tam giác đó là tam giác vuông. (Đây là mệnh đề đảo của tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.)
Vận dụng
Yêu cầu trả lời các câu hỏi trong tình huống mở đầu. Phần này dựa vào nội dung tình huống ở đầu bài (không có trong ảnh), nên mình chỉ ghi lại để bạn lưu ý đối chiếu với sách.
Bài 3.25
Đề: Bằng ê ke, nêu cách kiểm tra một tứ giác có là hình chữ nhật hay không. Hãy giải thích kết quả.
Lời giải:
Cách làm: Dùng ê ke đặt vào ba góc của tứ giác để kiểm tra xem có phải là góc vuông không.
- Nếu cả ba góc đều vuông thì tứ giác là hình chữ nhật.
- Nếu có ít nhất một góc không vuông thì tứ giác không phải hình chữ nhật.
Giải thích: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật (vì tổng bốn góc trong tứ giác bằng $360°$, nên góc thứ tư cũng bằng $360° - 3\cdot 90° = 90°$, tức tứ giác có cả bốn góc vuông).
Bài 3.26
Đề: Bằng compa, nêu cách kiểm tra một tứ giác có là hình chữ nhật hay không. Giải thích kết quả.
Lời giải:
Compa dùng để so sánh độ dài, nên ta kiểm tra theo hai bước:
- Đo và so sánh các cạnh đối: nếu $AB = CD$ và $BC = AD$ thì tứ giác là hình bình hành.
- Đo và so sánh hai đường chéo: nếu $AC = BD$ thì hình bình hành đó là hình chữ nhật.
Giải thích:
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Bài 3.27
Đề: Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, $N$ là điểm sao cho $M$ là trung điểm của $HN$. Chứng minh tứ giác $AHCN$ là hình chữ nhật.
Lời giải:
Xét tứ giác $AHCN$ có hai đường chéo là $AC$ và $HN$.
- $M$ là trung điểm của $AC$ (giả thiết).
- $M$ là trung điểm của $HN$ (giả thiết).
Suy ra hai đường chéo $AC$ và $HN$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường, nên $AHCN$ là hình bình hành.
Mặt khác, $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH \perp BC$, tức $\widehat{AHC} = 90°$.
Hình bình hành $AHCN$ có một góc vuông nên $AHCN$ là hình chữ nhật. (đpcm)
Bài 3.28
Đề: Xét một điểm $M$ trên cạnh huyền của tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Gọi $N$ và $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên các cạnh $AB$ và $AC$.
a) Tứ giác $MPAN$ là hình gì?
Xét tứ giác $MPAN$ (hay $ANMP$):
- $\widehat{A} = 90°$ (tam giác vuông tại $A$).
- $MN \perp AB$ tại $N$ nên $\widehat{N} = 90°$.
- $MP \perp AC$ tại $P$ nên $\widehat{P} = 90°$.
Tứ giác có ba góc vuông nên $MPAN$ là hình chữ nhật.
b) $M$ ở vị trí nào thì $NP$ ngắn nhất? Vì sao?
Vì $MPAN$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau:
$$NP = AM.$$
Do đó $NP$ ngắn nhất khi $AM$ ngắn nhất.
$AM$ là đoạn nối từ $A$ đến điểm $M$ trên cạnh $BC$, nên $AM$ ngắn nhất khi $AM \perp BC$, tức $AM$ là đường cao hạ từ $A$.
Trong tam giác vuông cân tại $A$, đường cao từ $A$ cũng là đường trung tuyến, nên chân đường cao chính là trung điểm của $BC$.
Vậy $NP$ ngắn nhất khi $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$. Khi đó:
$$NP = AM = \frac{1}{2}BC.$$
Mở đầu Bài 14: Hình thoi và hình vuông (trang 67)
Tóm tắt lý thuyết:
Tình huống mở đầu: Gấp tờ giấy tạo một góc vuông $O$, đánh dấu hai điểm $A$, $B$ trên hai cạnh góc vuông rồi cắt chéo theo $AB$. Khi mở tờ giấy ra ta được một tứ giác.
- Tứ giác nhận được là hình thoi (do tính đối xứng qua nếp gấp, bốn cạnh bằng nhau).
- Nếu thêm điều kiện $OA = OB$ thì tứ giác trở thành hình vuông.
Khái niệm hình thoi:
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Câu hỏi gợi mở: Hình thoi có phải là hình bình hành không?
- Có. Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên các cạnh đối bằng nhau, do đó nó là hình bình hành.
- Từ đó hình thoi mang đầy đủ các tính chất của hình bình hành:
- Các cạnh đối song song.
- Các góc đối bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Đây là nền tảng để bài học tiếp tục xây dựng các tính chất riêng của hình thoi (hai đường chéo vuông góc, là phân giác các góc) ở những trang sau.
Bạn muốn mình giải thêm phần lý thuyết và bài tập tiếp theo của Bài 14 không?