Giải Toán 8 - Tập 1 trang 71

HĐ2: Tính chất đường chéo của hình vuông

Câu hỏi

Đề bài: Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Cách giải

Bước 1: Nhận biết hình vuông có những tính chất gì

Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi. Do đó, nó có đầy đủ tính chất của cả hai loại hình này.

Bước 2: Áp dụng tính chất của hình chữ nhật

Vì hình vuông là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau.

Bước 3: Áp dụng tính chất của hình thoi

Vì hình vuông là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau.

Kết luận: Hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau vì hình vuông vừa là hình chữ nhật (có hai đường chéo bằng nhau), vừa là hình thoi (có hai đường chéo vuông góc với nhau).

---

Câu hỏi về Định lí 4

Đề bài: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.

Cách giải

Định lí 4a: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Viết dưới dạng giả thiết - kết luận:

• Giả thiết: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật và có hai cạnh kề bằng nhau (ví dụ: AB = BC)

• Kết luận: Tứ giác ABCD là hình vuông

Đáp án: - GT: ABCD là hình chữ nhật, AB = BC (hai cạnh kề bằng nhau) - KL: ABCD là hình vuông

---

Luyện tập 2

Đề bài: Với mỗi hình dưới đây (Hình 3.54), ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Câu a) Tứ giác ABCD

Cách giải

Quan sát hình:

• Tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau (có dấu gạch bằng nhau trên các cạnh)
• Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (có dấu góc vuông)

Nhận xét:

• Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau → đây là hình thoi
• Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau → đây là tính chất sẵn có của hình thoi

Tìm dấu hiệu khác:

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (có dấu bằng nhau)
• Đây là hình thoi có một góc vuông (góc tại giao điểm hai đường chéo)

Đáp án: Tứ giác ABCD là hình thoi (4 cạnh bằng nhau) có một góc vuông, nên ABCD là hình vuông.

---

Câu b) Tứ giác EFGH

Cách giải

Quan sát hình:

• Tứ giác EFGH có các cạnh được đánh dấu bằng nhau → 4 cạnh bằng nhau → là hình thoi
• Hai đường chéo tạo với nhau các góc 45° và 45°
• Có dấu góc vuông tại các đỉnh

Phân tích:

• EFGH là hình thoi (4 cạnh bằng nhau)
• Đường chéo là đường phân giác của góc (góc 45° + 45° = 90°)
• Hình thoi có đường chéo là phân giác góc vuông → hình vuông

Đáp án: Tứ giác EFGH là hình thoi có một góc vuông (góc E = 90°), nên EFGH là hình vuông.

---

Câu c) Tứ giác IJKL

Cách giải

Quan sát hình:

• Tứ giác IJKL có 4 góc vuông (có dấu góc vuông tại các đỉnh) → là hình chữ nhật
• Có hình tròn nội tiếp (tâm Q) → các cạnh bằng nhau

Phân tích:

• IJKL là hình chữ nhật (4 góc vuông)
• Hình chữ nhật có đường tròn nội tiếp → 4 cạnh bằng nhau → 2 cạnh kề bằng nhau

Đáp án: Tứ giác IJKL là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, nên IJKL là hình vuông.

---

Vận dụng

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu. Hãy giải thích tại sao:

• Trường hợp a, ta được hình thoi.
• Trường hợp b, ta được hình vuông.

Cách giải

Trường hợp a - Được hình thoi:

Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo cách a:

• Ta tạo ra một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau (do tính chất đối xứng khi gấp)
• Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi

Giải thích: Trường hợp a được hình thoi vì tứ giác tạo thành có 4 cạnh bằng nhau.

Trường hợp b - Được hình vuông:

Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo cách b:

• Ta tạo ra một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau (là hình thoi)
• Đồng thời có một góc vuông (do cách gấp tạo góc 90°)
• Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

Giải thích: Trường hợp b được hình vuông vì tứ giác tạo thành là hình thoi có một góc vuông.

---

Bài 3.29

Đề bài: Tìm các hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55.

Câu a) Tứ giác ABCD

Cách giải

Quan sát hình:

• Cạnh AB = AD (có dấu gạch đơn)
• Cạnh BC = DC (có dấu gạch đôi)
• Chưa đủ thông tin về 4 cạnh bằng nhau

Nhận xét:

• Tứ giác có AB = AD và BC = DC
• Đây là hình diều (hình cánh diều), không phải hình thoi
• Không có đủ dấu hiệu để khẳng định là hình thoi hay hình vuông

Đáp án: Tứ giác ABCD không phải hình thoi, không phải hình vuông. Đây là hình diều.

---

Câu b) Tứ giác EFGH

Cách giải

Quan sát hình:

• Có dấu góc vuông tại giao điểm hai đường chéo
• EF = EH (dấu gạch đơn)
• FG = GH (dấu gạch đôi)
• Hai đường chéo cắt nhau và vuông góc

Phân tích:

• Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau
• Các cạnh: EF = EH và FG = GH
• Nếu EF = FG thì 4 cạnh bằng nhau → hình thoi

Kiểm tra thêm:

• Từ hình vẽ, có vẻ 4 cạnh bằng nhau (dấu gạch cho thấy các cặp cạnh kề bằng nhau)

Đáp án: Tứ giác EFGH là hình thoi (có 4 cạnh bằng nhau). Chưa đủ thông tin để khẳng định là hình vuông.

---

Câu c) Tứ giác MNPQ

Cách giải

Quan sát hình:

• Góc M = 45°
• Có dấu góc vuông tại đỉnh P
• Tứ giác có dạng hình thoi (4 đỉnh nhọn)

Phân tích:

• Nếu MNPQ là hình thoi và có góc P = 90°
• Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

Kiểm tra:

• Góc M = 45° (chỉ là một phần của góc đỉnh)
• Góc tại P là góc vuông
• Hình có 4 cạnh bằng nhau (dạng hình thoi)

Đáp án: Tứ giác MNPQ là hình thoi có một góc vuông, nên MNPQ là hình vuông.

---

Câu d) Tứ giác RSTU

Cách giải

Quan sát hình:

• Tứ giác RSTU có dạng hình bình hành dẹt
• Các cạnh RS, ST, TU, UR
• Có các dấu gạch trên cạnh cho thấy các cặp cạnh đối bằng nhau

Phân tích:

• Hình có dạng hình bình hành
• Không có dấu hiệu 4 cạnh bằng nhau
• Không có góc vuông

Đáp án: Tứ giác RSTU không phải hình thoi, không phải hình vuông. Đây là hình bình hành.

---

Tổng kết Bài 3.29

---

🎯 Ghi nhớ: - Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau - Hình vuông = Hình thoi + 1 góc vuông = Hình chữ nhật + 2 cạnh kề bằng nhau - Hình vuông có đầy đủ tính chất của cả hình chữ nhật và hình thoi - Hai đường chéo hình vuông: bằng nhau, vuông góc, cắt nhau tại trung điểm, là phân giác các góc